流体运动学用几何的观点来研究流体的运 动，暂不涉及力。

1. 第三章 流体运动学 课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？ 流体运动学用几何的观点来研究流体的运 动，暂不涉及力。 主要内容： 1.介绍研究流体运动的两种方法 2.用这两种方法来表达流体质点的运动 3.介绍流线、迹线、速度环量等基本概念 4.建立连续性方程

2. 5. 引入流函数的概念 6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移 变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无 旋运动的概念并引入速度势函数。 §3-1 研究流体运动的两种方法 两个基本概念： 流体质点(particle)——体积很小的流体微团 流体就是由这种流体微团连续组成的。

3. 流体微团在运动的过程中，在不同的瞬 时，占据不同的空间位置。 空间点: 空间点仅仅是表示空间位置的几何 点，并非实际的流体微团。空间点是不动的， 而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为 某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新 的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程 中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过

4. 研究流体运动的两种方法 一、拉格朗日（Lagrange)法（质点法） 始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程 中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等） 的变化规律。 设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为 ｘ,ｙ,z，则以a,b,c标认的流体质点在ｔ时刻 所对应的位置, x,y,z应该是a,b,c和时间ｔ的 函数，即

5. 拉格朗日变量： ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） 思考题： 1. 当ａ，ｂ，ｃ为常数时，代表一个流 体质点随时间的变化？还是代表一群流 体质点随时间的变化？

6. 2.若t为常数时又代表什么情况？其速度和加速 度(accleration)为：

7. 二、欧拉法(Euler)（空间点法） 欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的 空间点，空间点在不同的时刻为不同的流体质 点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物 理量是空间坐标ｘ，ｙ，ｚ以及时间ｔ的函数。 例如流体质点的速度(velocity)、压力 (pressure)和密度(density)可表示成欧拉变 量如下:

8. B ｖx＝ｖx（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｖy＝ｖy（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｖz＝ｖz（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｐ ＝ ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） Ρ ＝ ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） A

9. 加速度(accleration) ：单位时间内流体质点 的速度变化率： 加速度的矢量试:

10. 从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：

11. 1） : 局部导数，在固定空间点处， vx随时 间变化而引起的加速度,又叫“局部加速度”。 ２) :变位导数 它是在同一时间，在空间不同点处速度不同 而引起的加速度，又叫“对流加速度”。 讨论问题： 1)什么情况下只有局部加速度？

12. B B A 4. :称为流体的质点导数 A 2.什么情况下只有位移加速度？ 3.什么情况下两部分加速度都有？

13. 流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式:流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式: 例如:

14. §３-２ 几个基本概念 一、定常运动与非定常运动 1. 定常流动(steady flow) 在任意固定空间点处，所有物理量均不随时 间而变化的流动。即有 2.非定常(non-steady flow) 在流场某点处有物理量随时间变化.

15. 定常运动与坐标的选取有关

16. 二、轨迹线(path line) 1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲 线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点， 因此它是与拉格朗日法相联系的。 2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时刻的速度方向。

17. 3. 轨迹线的方程式 ： t1 A A A A A A ts t5 t2 给定速度分布积分上式可得迹线方程。 一条迹线：一个流体质点在一段时间内描述的路径。 t3 t4

18. t=t1的流线 b c a a c a b t1 t1+ Δt t1+ 2Δt a 流线 质点a的轨迹 三、流线(stream line) • 定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上 • 面每一点的切线方向与该点的速度矢 • 量方向重合。

22. 2. 流线特点 • 流线上各点的切线方向所表示的是在同一时 • 刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形 • 状一般都随时间而变。 • 定常运动，流线的形状，不随时间变化，流 • 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。 • 流线一般不相交 • 流线不转折，为光滑曲线。

23. 3. 流线的微分方程 上述可组成一微分方程组，给定速度分布积 分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流 线。 注意：积分时时间作为参量。

24. 例3.1已知拉格朗日变数下的速度表达式为： vx=(a+1)et-1 vy=(b+1)et-1 ａ、ｂ为ｔ＝０时流体质点所在位置的坐标。 试求： （１）ｔ＝２时刻流体质点的分布规律； （２）ａ＝１，ｂ＝２时这个质点的运动规律； （３）流体质点的加速度； （４）欧拉变数下的速度与加速度。

25. 解（1）  C1=-1 C2=-1  进一步求得流体质点的一般运动规律为: 注意到在t=0时，x=a、y=b，即有

26. t=2时流体质点的分布规律: （2）a=1，b=2的特定流体质点，其运动规律为： （３）质点的加速度为:

27. （4）由质点一般运动规律 则拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为 代入所给的拉格朗日变数下的速度表达式，可求得在欧拉变数下的速度表达式为

28. 可进一步求得欧拉变数下的加速度为：

29. 例 3.6 已知流场的速度分布为 ｖx＝x+t， ｖy＝-y+t 试求： （１）ｔ＝0，过点（-1,-1）的迹线； （２）ｔ＝0，过点（1,2）的迹线； （３）ｔ＝０，过点（-1，-1）的流线； （４）ｔ＝1，过点（1, 2）的加速度。 解：（1）轨迹线微分方程为:

30. 此非齐次常系数线性微分方程组的通解为 ｘ＝Ｃ1ｅt-ｔ-１ ｙ＝Ｃ2ｅ-t+ｔ-１ 将t＝0，x=-1，y=-1代入上式得Ｃ1＝0 Ｃ2＝0 故经过点(-1,-1)的轨迹线方程为: Ｘ= -ｔ-1 Ｙ=ｔ-1 消去t后得: x + y = -２ 为一条过点(-1,-1)的直线。

31. （３）流线微分方程为: （２） 将ｔ＝0，ｘ＝１，ｙ＝２代入通解得: C1＝２ C2＝３ 故过点（1，2）的轨迹线方程为: ｘ＝2et-ｔ-１ ｙ＝3e-t+t-1 积分后得: ln（x+t）=-ln（-y+t）+C 或为 (x+t)·（-y+t）=Ｃ 代入t=0，ｘ=-１，ｙ=-1得Ｃ=-1 则过点(-1,-1)的流线方程为 ｘy=1

32. （４）加速度公式为 所以 ax=1+（x+t）·１＋（y+t）·０＝３ｍ／s2 ay=1+（ x+t ）·０＋（ y+t ）·１＝4m／s2 @

33. 例3.7 以Lagrange变数（a，b，c）给出流体的 运动规律为： ｘ＝ae-2tｙ＝b（1+t）2 z=ce2t（1+t）-2 求： （１）流体的速度场； （２）ｔ＝０过点（1,1,1）的流线； （３）ｔ＝０过点（1,1,1）的迹线； （４）流动是否定常？

34. 四、流管和流量(flowrate) （1）流管：设某一瞬时，流场中任封闭曲线C （不是流线），经过曲线C的每一点 作出该瞬时的流线，这些流线的组 合形成一个管状的表面。

35. （2）流量：流管的垂直截面，叫“过流断面”（2）流量：流管的垂直截面，叫“过流断面” 其面积记为σ，单位时间内通过过 水断面的体积，称为体积流量 (volumetricflowrate)

36. （3）平均流速 这是人为定义的一个速度，实际流动中过流 断面上各点的流速是不相等的。 （4）条纹线 条纹线是曾经在不同时刻流过流场中同一 点的各流体质点轨迹线的端点的连线。

37. 五 条纹线 条纹线是曾经在不同时刻流过流场中同一 点的各流体质点轨迹线的端点的连线。

38. 一维，二维与三维流动 1. 流动维数的确定： 三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数 v=v ( x, y, z, t) 二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) 或 v=v ( r, z, t) 一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v( x ) 或 v=v ( s )

39. 2. 常用的流动简化形式： (1) 二维流动：平面流动 轴对称流动 (2) 一维流动： 质点沿曲线的流动 v=v ( s ) 流体沿管道的平均速度 v=v ( s )

40. 或 即 §３-３连续性方程式（equation of continuity) 一、一元流动（one dimensional flow）的连续性 方程式 对于定常流动(steady flow) 对于不可压缩流体(incompressible fluid)： 对于低速气流可视为不可压缩流体。 截面积小的地方流速大，截面积大的地方流速小。

41. 化简后得: 以 x方向为例 同理 y dy A(x,y,z) dx dz 单位时间内密度的变化引起 质量的增量: x z 二、空间运动的连续性方程式

42. 定常流动 不可压缩流体连续性方程为 或 矢量试 或 矢量式 不可压缩流体，速度分量沿各自坐标轴的变化率互相约束，不能随意变化。在流动过程中形状虽然有变化，但体积却保持不变（体积膨胀率为零）。

43. 不可压缩流体ρ=const 定常流动 三、平面极坐标系中的连续方程 式中ｖｒ为径向速度，ｖθ为圆周切向速度。

44. 四、柱面坐标系中的连续方程 ｖｒ、ｖθ、ｖｚ是柱坐标ｒ，θ，ｚ轴上的速度分量。 五、球面坐标系中的连续方程 ｖＲ，ｖθ，ｖφ是速度在球坐标Ｒ，θ， φ轴上的分量。

45. 六、积分形式的连续性方程 流场中取一任意形状的控制体τ，其边界面为控制面σ。 单位时间内经过边界σ流 入控制体τ内的净质量为: 讨论：1. 上式积分结果若大于零的含义？ 2.上式积分结果若小于零、等于零的含义？

46. (3-31) 曲面σ所围体积τ内的流体质量为: 由于σ内流体既不产生也不消失，根据质量 守恒定律，单位时间内流入 σ面的净质量与体积 τ内的质量变化率应相等，即 将上式移项得 ——欧拉型连续方程式的积分式

47. 物理意义：单位时间内控制体内流体质量的增减物理意义：单位时间内控制体内流体质量的增减 等于同一时间内进出控制面的流体质量净的通量 (3-31)左端第２项使用高斯定理，将其面积分变 为体积分得： 又将左端第一项的微分符号移入积分号内得：

48. 将上述结果代入得： 因积分域τ为流场中任取的控制体，故必有： ——欧拉型连续方程的微分式 流体无论是可与否，理想，还是粘性流体，定常 还是非定常流动均适用。

49. 平移 旋转 线变形 角变形 变形→ 平移 角变形 转动 线变形 §３-４流体微团运动的分析 流体微团的运动形态：

50. 平面流动 平移 转动 线变形 角变形