第一节可测函数的定义及性质

第一节可测函数的定义及性质 第四章可测函数主讲：胡努春

yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?

1可测函数定义 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )，若可测，则称f(x)是E上的可测函数例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集

可测函数 0 1 注：Dirichlet函数是简单函数 (2)简单函数是可测函数若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；

设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在处连续 ( ) ( ) ( ) 对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， f(x) 在处连续(对闭区间端点则用左或右连续) （3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数

证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，则G为开集，当然为可测集，且 f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a ( ) x０可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数

证明：不妨设f单调增，对任意a∈R 由f单调增知下面的集合为可测集 a I a x1 x2 ⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。

⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 ⒊可测函数的等价描述

( [ a-1/n a ( [ a a+1/n 对前面等式的说明

即:若f(x)是E上的可测函数, 可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数； • 反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。 ⒋可测函数的性质 ⑴可测函数关于子集、并集的性质

注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性即：设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测，另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测。注：用到了可测函数关于子集、并集的性质

a-g(x) r f(x) ⑵可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。

a-g(x) r f(x) 类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则为可测集。证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密集两个性质

证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R 若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x) 为E上的可测函数

若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。 ⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。

( [ a-1/n a 下确界：对上式的说明：

gn(x) 证明：由于例： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.

证明：发散点全体为 收敛点全体为再例设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集. 注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.

⒌可测函数与简单函数的关系 M m M m M m n 0 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限

若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到可测函数与简单函数的关系注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛

f-1((a,+∞)) = g 可测 f 连续例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可测函数。证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可, {x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞))= g-1(f-1((a,+∞)))

又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令再由g可测，可知例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可测函数。证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， m (E[f g>a])={x| f( g(x))>a}可测即可, 由于f在F=R上连续，故F[f>a]为R中的开集，注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f( g(x))不一定是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》，周民强，p114)

另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数的极限因为f(x)连续，故注：例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可测函数。所以f( g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数

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