蔡勇賢博士班 2 年級

國立臺灣海洋大學 河海工程學系 A Novel Perturbed Dynamical Newton-Like Methods for Solving Singular Initial Conditions problem of Nonlinear Equations 蔡勇賢博士班2年級 2013/01/17

緒論 • 常見的數值方法如牛頓法，在Jacobian矩陣為奇異系同時，會遭遇到無法做反矩陣求解的問題。 • 在一般工程案例上，往往有需要將初始條件假設為0的情形，而此一情形在數值離散法上，就會造成矩陣奇異，無法求得Jacobian矩陣之反矩陣。 • 本研究以Dynamical Newton-Like Method為基礎上引入攝動理論，發展PerturbedDynamical Newton-Like Method，期望用來解決此一系列問題。

文獻回顧 • Perturbed Scalar Homotopy Algorithm(PSHA) • PSHA由顧承宇老師在2012年所提出。 • 本法建立在純量同倫上，藉由引入攝動理論，用來解決當Jacobian矩陣為奇異系統之非線性代數方程的問題。

文獻回顧 • Dynamical Newton-Like Method (DNM) • 由顧承宇老師在2012年所提出。 • DNM是以純量同倫為基礎而發展出來的新方法。 • 其中T=I、B-1、BT可以將其轉變為DNM、DJIFM與MBECA。

數值方法 PerturbedDynamical Newton-Like Methods • PerturbedDynamical Newton-Like Methods (P-DNM)引入攝動理論的DNM法 • 考慮一方程式並將其轉換為純量 • 現將固定點牛頓同倫轉換為純量式

數值方法 PerturbedDynamical Newton-Like Methods • 引入擬時間函數 • 利用攝動理論，添加一極小的參數 • 考慮一致性條件

數值方法 PerturbedDynamical Newton-Like Methods • 令 • 其可能解為 • 可知其中 B為Jacobian 矩陣，T可為 BT、B-1、單位向量 I或任何n ×n之矩陣

數值方法 PerturbedDynamical Newton-Like Methods • 本研究中令 T=I，可得 • 再令 • 代回上式

數值方法 PerturbedDynamical Newton-Like Methods • 利用尤拉向前差分可將其改寫為疊代方程式 • 其中 ht為虛擬時間步長、ε為一微小之值(攝動參數)

數值算例 Example 4 • B.C. • 有限差分離散控制方程式

數值算例 Example 4 • 現利用PDNM與PSHA做比較 • 令K = 2、N = 1×10-3 • 給予的參數為 • 當 x0 = 0時，收歛步數為

數值算例 Example 4 • 以PDNM之數值解與解析解做比較

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