第四章 线性系统的根轨迹分析

1. 第四章 线性系统的根轨迹分析 主要内容 §4—1 根轨迹的基本概念 §4—2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4—3 广义根轨迹 §4—4 滞后系统的根轨迹 §4—5 利用根轨迹分析系统的性能 §4—6 用MATLAB绘制系统的根轨迹

2. 闭环控制系统稳定 性、瞬态响应特性 闭环极点（即闭环特征方程根） 问题1: 如何按希望性能将闭环极点合适的位置? 问题2: 当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便,有没有简便分析方法? 根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。 系统特征根的图解方法!!! §4—1 根轨迹的基本概念 广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。 狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。

3. K＝0时 两个负实根 K值增加 相对靠近移动 一对共轭复根 离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。

4. 1）当K值确定之后，根据闭环极点的位 置，该系统的阶跃响应指标便可求出。 过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程； 临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程； 欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。 根轨迹图系统的相关动静态性能信息 2）闭环极点不可能出现在S平面右半 部，系统始终稳定。 !系统开环增益确定 闭环极点在S平面上的位置也确定。

5. 闭环零、极点与开环零、极点间的关系 m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h) 前向通道增益 前向通道根轨迹增益 m个零点(m=f + l ) 反馈通道根轨迹增益 开环系统根轨迹增益 前向通道零点 反馈通道零点 n个极点(n= q + h) 前向通道极点 反馈通道极点

6. 单位反馈系统 （1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益； （2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。 1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点； 2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关； 3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。 ！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。

7. §4—2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件 二、绘制根轨迹的基本规则 三、闭环极点的确定

8. 幅角条件（k=0,1,2, …） 幅值条件 1）幅角条件只与开环零、极点有关 2）充要条件： 1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关； 2）必要条件： 一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件 根轨迹方程 m个零点 n个极点 （nm）

9. 幅值条件是必要条件 幅值条件 不是根轨迹上的一点 K＝2 幅值条件成立！ 根轨迹上的一点 必要条件： S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条 件成立； S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一 定是根轨迹上的点。

10. 幅角条件绘制根轨迹，幅值条件定K值 开环极点（“×”） p1=0 开环零点（“〇”） 如果幅角条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。  1开环零点至s1的幅角 1、2、3、4：开环极点至s1的幅角。 由幅值条件 !!幅角均以反时针方向进行。

11. 举例 单位反馈系统的开环传递函数 一个开环极点 P1=0 负实轴上点 s1 负实轴上都是根轨迹上的点！ s2=-1-j 负实轴外的点都不是根轨迹上的点！

12. 二、绘制根轨迹的基本规则 一、根轨迹的起点和终点 二、根轨迹分支数 三、根轨迹的连续性和对称性 四、实轴上的根轨迹 五、根轨迹的渐近线 六、根轨迹的分离点 七、根轨迹的起始角和终止角 八、根轨迹与虚轴的交点 九、闭环特征方程根之和与根之积

13. s值必须趋近于某个开环极点 根轨迹起始于开环极点 s值必须趋近于某个开环零点 根轨迹终止于开环零点 一、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点 幅值条件

14. 二、根轨迹分支数 n阶系统，根轨迹有n个起始点，系统根轨迹有n个分支 1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根 K变化(0到∞),n个根随着变化n条根轨迹。 2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点， 即 n > m。 m条终止于开环零点（有限值零点)； （n－m）条根轨迹分支终止于（n－m）个无限 远零点。

15. 三、根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。 闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。 仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。

16. 四、实轴上的根轨迹 如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。 开环零点：z1 开环极点：p1、p2、p3、p4、p5 在实轴区段[p2，p3]上取试验点s1 ？ 每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°； s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°； s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。

17. 已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。 [-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。

18. 五、根轨迹的渐近线 当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限远零点。 沿着渐近线趋于无限远处， 渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。 渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…） ： 渐近线与实轴交点的坐标值：

19. 长除法 K’∞时，s∞，取前两项 改写为模和相角的形式 两边开（n－m）次方 牛顿二项式定理展开，由于s∞，忽略分母为s的二次幂和二次幂以上各项  证明

20. 说明 1）当k值取不同值时，a 有（n－m）个值，而a不变； 2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a、倾角a为的一组射线。

21. 三个开环极点：0、-1、-5 一个开环零点：-4 n-m=3-1=2 渐近线与实轴交点： 渐近线与实轴正方向的夹角： 根轨迹的渐近线例一 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。

22. 四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4 一个开环零点：-1 n-m=4-1=3 渐近线与实轴交点： 渐近线与实轴正方向的夹角： 根轨迹的渐近线例二 已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。

23. 六、根轨迹的分离点 分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。 1、b坐标值由分式方程解出 证明 例 证明 2、由 极值点求解b 坐标值由 解出b 必要条件：当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。 例

24. 3、重根法求解b 证明 由 解出b

25. 分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角） 会合（或分离）的根轨迹的条数 分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角 例

26. r重根 两边求导 含 r>1 b 必要条件：!!当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。

27. 由 极值点求解 [-1，-2]区间无根轨迹舍去

28. b坐标值由分式方程解出 根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有 或 两式相除 或 解出s1，即为分离点b 即得

29. 规则1、2、3 根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点0、－2、－3，终止于一个开环有限零点－1和二个无限零点。 根轨迹对称于实轴。 规则5根轨迹有两条渐近线（n－m＝2), 令k=0 规则6在实轴上有根轨迹分离点，且在区段－2到－3之间 已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。 规则4实轴上0到－1和－2到－3两个区域段为根轨迹

30. 由 极值点求解b 假定s点沿实轴自p2点移向p1点, k’增益：从零开始逐渐增大， 到达b点时为最大， 逐渐减小， 到p1点时k’为零。 根轨迹分离点处所对应的k’增益具有极值 ？！取在根轨迹上的解。

31. 规则1、2、3、4  根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起始于极点0，－4和－2±j4，终止于无限远零点。 实轴上0～－4区段为根轨迹。 辐角条件p3、p4的连接线为根轨迹

32. 根据规则5根轨迹有四条渐近线 根据规则6求根轨迹的分离点 p3、p4的连接线上

33. 起始角p :从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 根轨迹起始角的一般计算式(0～360° ) 证明 k＝0，1，… 七、根轨迹的起始角和终止角 终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。 根轨迹终止角一般计算式(0～360° ) 例

34. 根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1 相角方程 s1p1 起始角p

35. 四条分支 起始点p1＝0、 p2、3＝―0.5+j1.5 、 p4＝―2.5 终止点z1＝－1.5、z2，3 ＝－2±j、－∞ 实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹 取k＝0 p3和p2为共轭复数， 根轨迹起始角对称。 或

36. 取k＝1 z2和z3为共轭复数， 根轨迹终止角对称。

37. 1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’， 由K’值求出相应的ω值 例 2）代数法 代入特征方程 联立求解， 根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的 临界K’值。 例 八、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。

38. 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点 。 闭环特征方程 系统稳定的临界K’值： K’=6 阵列中s2行元素构成辅助方程 根轨迹与虚轴的交点

39. 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。 代入系统闭环特征方程

40. 1）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K’无关，是个常数，1）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K’无关，是个常数， 且有 九、闭环特征方程根之和与根之积 系统闭环特征多项式 zi 开环零点 pi开环极点 si闭环极点 闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程 的系数关系： 2）根之和不变K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。

41. 根轨迹有三条渐近线（n－m＝3），与实轴的倾角为根轨迹有三条渐近线（n－m＝3），与实轴的倾角为 取k＝0、1＋60°、－60°、＋180° • 根轨迹增益K’=3K。 • 根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点。 • 实轴上区段0～－2和－3～－∞为根轨迹。

42. 渐近线与实轴交点坐标为 • 系统特征方程 根轨迹与虚轴的交点

43. 两条根轨迹分支起始于共轭 复数极点－1±j • 各闭环极点之和为－5 当实轴上根轨迹分支向左趋 向于无限零点时，两个从复数极 点出发的根轨迹分支趋向于右边 无限零点。 K＝2.34时 根轨迹与虚轴两个交点 闭环极点之和为－5 闭环交点之积为2K’=-14.04

44. 三、闭环极点的确定 例 :设反馈控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统的阻尼比ξ=0.5,求系统闭环极点。 解： （1）根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图； （2）在根轨迹图上画出阻尼比线； （3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置； （4）根据幅值条件，求出对应的开环增益； （5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定其它闭环极点。

45. 阻尼比线 闭环主导极点

46. 闭环主导极点为 根据幅值条件开环增益为 特征方程

47. §4—3 广义根轨迹 一、参数根轨迹 二、多回路根轨迹 三、正反馈和零度根轨迹

48. 一、参数根轨迹 以系统中任意一个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等） 绘制的根轨迹。 研究参数根轨迹的目的 分析参数变化对系统性能的影响 绘制参数根轨迹图基本原理 常规根轨迹方程：

49. 等效开环传递函数 参数根轨迹方程： 以α为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹 例： 系统的开环传递函数为 绘制以α为参数的参数根轨迹，并讨论α值对系统稳定性的影响。 解： （1）以α为参量的等效开环传递函数 系统特征方程

50. 等效开环传递函数 开环极点 实轴上的根轨迹 渐近线