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MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema 11 * PROBABILIDADES. Teorema de bayes. Tema 11.5 * 2º B CS. TEOREMA DE BAYES.

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MATEMÁTICAS A. CS II

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  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema 11 * PROBABILIDADES Matemáticas 2º Bachillerato CS

  2. Teorema de bayes Tema 11.5 * 2º B CS Matemáticas 2º Bachillerato CS

  3. TEOREMA DE BAYES • Si A1, A2, A3, … es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresión: • P(Ai).P(B / Ai) • P(Ai / B) = ------------------------------------------------------------------------- • P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + … + P(An).P(B / An) • Donde P(Ai) son las probabilidades a priori. • P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori. • P(B / Ai) son las verosimilitudes. • Ejemplo_1: • En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde está ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  4. Resolución • Probabilidades a priori: • P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6  Sea chica. • P(O)= 1 – P(A) = 1- 0,6 = 0,4  Sea chico. • Probabilidades a posteriori: • P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85  Sea chica y viva en la loc. • P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7  Sea chico y viva en la loc. • Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes • P(O).P(L / O) 0,4 . 0,7 0,28 • P(O / L) = --------------------------------------- = ---------------------------- = -------- = • P(A).P(L / A) + P(O).P(L / O) 0,6 . 0,85 + 0,4 . 0,7 0,79 • = 0,3544 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  5. P(A).P(L/A) = 0,6.0,85 = 0,51 P(A).P(NL/A) = 0,6.0,15 = 0,09 P(O).P(L/O) = 0,4 . 0,7 = 0,28 P(O).P(NL/O) = 0,4.0,3 = 0,12 P(A) = 0,6 P(NL / A)=0,15 P(L / O) = 0,7 P(O)=0,4 P(NL / O) = 0,3 Resolución gráfica Matemáticas 2º Bachillerato CS

  6. Ejemplo_2: • En una casa hay tres llaveros, A, B y C, con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Sólo una llave de cada llavero abre el trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. • a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acierte con la llave?. • b) ¿Cuál es la probabilidad de que el llavero escogido sea el C y la llave no abra?. • c) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?. • d) Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al tercer llavero C?. • RESOLUCIÓN • Probabilidades a priori: • P(A) = 1/3 = 0,3333  Sea el primer llavero. • P(B) = 1/3 = 0,3333  Sea el segundo llavero. • P(C) = 1/3 = 0,3333  Sea el tercer llavero. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  7. Probabilidades a posteriori: • P(A / L) = 1/5 = 0,20  Abra la llave del llavero A. • P(B / L) = 1/7 = 0,1428  Abra la llave del llavero B. • P(C / L) = 1/8 = 0,125  Abra la llave del llavero C. • P(A / NL) = 4/5 = 0,80  No abra la llave del llavero A. • P(B / NL) = 6/7 = 0,8572  No abra la llave del llavero B. • P(C / NL) = 7/8 = 0,875  No abra la llave del llavero C. • a) Probabilidad de acertar con la llave: • P(L) = P(A).P(L/A) + P(B).P(L/B) + P(C).P(L/C) = • = 0,3333.0,20 + 0,3333.0,1428 + 0,3333.0,125 = • = 0,066667 + 0,047619 + 0,041667 = 0,155953 • b) Probabilidad de que el llavero sea el C y la llave no abra: • P(C / NL) = P(C) . P(NL/C) = 0,3333. 0,875 = 0,291667 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  8. c) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero A: • Verosimilitudes: Por el Teorema de Bayes • P(A).P(L / A) • P(A / L) = ---------------------------------------------------------- = • P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C) • 0,3333. 0,20 • = -------------------------------------------------------------------------- = • 0,3333. 0,20 + 0,3333. 0,1428 + 0,3333. 0,125 • = 0,066667 / ( 0,066667 + 0,047427 + 0,041667) = • = 0,066667 / 0,155953 = 0,427479 • d) Llave correcta. Probabilidad de que pertenezca al llavero C: • P(C).P(L / C) • P(C / L) = ---------------------------------------------------------- = • P(A).P(L/ A) + P(B).P(L/ B) + P( C ).P(L/C) • = 0,041667 / 0,155953 = 0,267176 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  9. Resolución gráfica P(L)=1/5  P(A).P(L/A) = 1/3. 1/5 = 0,0667 P(NL)=4/5  P(A).P(NL/A) = 1/3.4/5 = 0,2667 P(L)=1/7  P(B).P(L/B) = 1/3. 1/7 = 0,0476 P(NL)=6/7  P(B).P(NL/B) = 1/3.6/7 = 0,2856 P(L)=1/8  P(C).P(L/C) = 1/3. 1/8 = 0,0416 P(NL)=7/8  P(C).P(NL/C) = 1/3. 7/8 = 0,2912 P(A)=1/3 P(B)=1/3 P(C)=1/3 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  10. Problemas propuestos • APLICACIÓN 1 • Un grupo de 7 amigos se juegan a los dados quien conducirá tras una tarde-noche de fiesta, y por tanto quien no deberá beber de cara al viaje de regreso sin accidente por medio. El que primero saque un siete no bebe y por tanto conduce. • ¿Tiene ventaja quien empiece?. • Halla la probabilidad de cada uno. • Realiza una tabla de doble entrada y luego ayúdate con un diagrama de árbol. • APLICACIÓN 2 • En una urna opaca hay cuatro bolas blancas y una negra. Cuatro amigos, Ana, Bea, Carlos y Diego, deben sacar al azar una bola, sin reinsertarla en la urna después. El que saque la bola negra paga la consumición de todos. • ¿Tiene ventaja quien empiece?. • Halla la probabilidad de cada uno. • Ayúdate con un diagrama de árbol. Matemáticas 2º Bachillerato CS

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