第五章   定 积 分
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第五章 定 积 分. §5.1 定积分的概念 §5.2 微积分基本定理 §5.3 定积分的计算 §5.4 无限区间上的广义积分 §5.5 定积分的应用. 一、引例 1 .曲边梯形的面积 在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图 5-1 ).. §5.1 定积分的概念. 那么如何求其面积呢 ?. 显然不能简单的用梯形面积公式来求了 . 应按以下三个步骤来求 :. 图 5-1. (1) 区间分割:

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第五章 定 积 分

§5.1 定积分的概念

§5.2 微积分基本定理

§5.3 定积分的计算

§5.4 无限区间上的广义积分

§5.5 定积分的应用


一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

§5.1 定积分的概念

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

图5-1


(1)区间分割:

用分点 将区间 分成 个小区间

其中第 个小区间的长度为

过每一个分点 分别作 轴的垂线,于是将曲边梯形分成了 个小曲边梯形 (如图5-1), 其面积分别记为 ,则整个曲边梯形的面积为

图5-1

图5-1

(2) 近似代替


在每个小区间 上任取一点 以 为底, 为高做小矩形(如图5—2),其面积为

当 很小时, 则所求曲边梯形面积的近似值为:

(3)极限逼近:

当区间 无限细分,即分点数 无限增大,每个小区间 无限减小,且 趋于零时, 的极限就是

图5-2


曲边梯形面积的精确值,即 以 为底, 为高做小矩形

2.由总产量的变化率求总产量

设总产量的变化率是时间 的函数,即  求在生产连续进行时,在时间段 内的总产量.

当总产量的变化率随时间 变化时,可仿照计算曲边梯形面积的思路和方法求总产量.

(1)分割:用分点 将区间 分为 个小区间

其中第 个小区间的长度为 此时总产量分成了 个部分产量的和. 用 表示第


个小区间 上的总产量,则有

(2)近似求和:任取 ,以 为时间段 上的变化率,则 上的总产量

可用 来表示 ,它们的和 就是所求总产量的近似值,即

(3)取极限:当各个小区间中最大的时间区间长度 时和 的极限就是总产量的精确值,即


定义 上的总产量,则有5.1 设函数 在区间 上有界,用点 把区间 分为 个小区间:   各个小区间的长度为 在每个小区间   上任取一点       作函数值  与小区间长度  的乘积

并作和式 ,也称为积分和,当

时, 中最大者 时, 的极限存在,

且极限值与区间 的划分方法及点 的取法无关,则称函数在区间 上可积,称此极限值为函数 在区间 上的定积分,记作

二、定积分的概念


上的总产量,则有

其中 称为被积函数, 称为积分区间;

称为积分下限, 称为积分上限, 称为积分变量,

称为被积表达式.

注1:定积分 是一个确定的常数.它只与

被积函数 和积分区间 有关,而与积分变量字母的选取无关.即

注2:定积分的定义中,总是假设 ,如果

规定      .


特别 上的总产量,则有,当 时,有

注3: 如果 在区间 上可积,则 在区间 上有界,即函数有界是其可积的必要条件.

若在区间 上恒有 则定积分在几何上就等于曲边梯形的面积,即有

若在区间 上恒有 ,则定积分等于曲边梯形的面积的负值,即有

注4: 定积分在几何上的意义


性质1            .  上的总产量,则有

性质2 

性质3

这一性质表明,定积分对于积分区间是具有可加性的.

不论    ,还是    , 这一性质均成立.

性质4 如果被积函数  ,则    

性质5 如果在积分区间   上,恒有 则

三、定积分的性质     


性质 上的总产量,则有6 设 及 分别是函数 在区间 上的最大值和最小值,则

性质7(积分中值定理) 如果函数 在区间   上连续,则在区间 内至少存在一点 ,使得

例1 比较 与 的大小

解 因为在区间 内, ,

所以


* 上的总产量,则有例2 比较 与 的大小

又因为 是增函数,所以 较大.

例3 估计定积分 的值 .

解 先求被积函数 在积分区间

上的最小值和最大值,因为

令 ,得驻点


比较函数 在驻点和区间端点出的函数值:

可知 在区间 上的最大值和最小值分别为:

*例4利用积分中值定理证明

证明:由积分中值定理知,存在一点 ,使得

所以


定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积

分    是上限 的一个函数,称它为变上限定

积分.记作

§5.2 微积分基本定理

一、变上限定积分

  设函数  在区间  上连续,若仅考虑定积分,则它是一个定数.若固定下限,让上限在区间   

上变动,即取 为区间   上的任意一点,由于  在   上连续,因而在   上也连续,所以  在   上也可积.


  定理定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积5.1如果函数  在区间  上连续,则

积分上限函数   在  上可导,且   的导数等

于被积函数在积分上限  处的值,即

证 令自变量在 处取得增量 ,则 取得增量

因此


定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积1设

解 因为

所以

例2 设 ,由方程 确定,求

解 方程两端对 求导,即

所以


定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积3求

解 这是一个 型未定式,利用洛必达法则,


二、微积分基本定理定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积

定理5.2设函数 在区间 上连续, 是 的一个原函数,则

(5.2.2)

公式(5.2.2)称为牛顿——莱布尼兹公式,该定理称为微积分基本定理.

证 是函数 的一个原函数,上限函数 也是 的一个原函数,因此

,于是

因此

令 ,得

令 ,得

于是


定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积

注意: 常常记 ,于是有

例4 求


定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积5设

解 令

所以


由例定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积4、例5可以看出,当被积函数为分段函数或含绝对值符号时, 应利用定积分的可加性把积分区间分为若干个子区间, 或者在不同的区间上被积函数的表达式不相同时,把它拆分几个定积分之和,使每个定积分都满足使用牛顿——莱布尼兹公式计算的条件.


§5.3 定积分    的值依赖上限 ,因此这个定积定积分的计算

一、定积分的换元积分法

定理5.3设函数 在区间 上连续,如果函数 满足下列条件:

(1) 在区间 有连续的导函数 ;

(2) 在区间 上单调,且

则有

证 因为 在区间 上连续,所以 在

上可积,设 是 在 上的原函数,由牛顿——莱布尼兹公式得


又 在 上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为

因此

于是


上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为 1 计算

解 设 则

当 时, ;当 时,

于是

该题还可以用凑微分法解


上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为 2计算

例3 计算

解 设 则

当 时, ;当 时, 于是


解 设 上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为 ,则 ,

于是

当 时, ;当 时,


上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为 4 设 在区间 上连续 ,

(1)若 是偶函数,则 ;

(2)若 是奇函数,则

解 由定积分的可加性,得

将上式右边第一个积分用换元法,令 则

且当 时, ;当 时, ;则得

于是,当 是偶函数时,即 时


故有 上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为

当 是奇函数时,即 时

故有

例5


二、定积分的分部积分法 上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为

设函数 与 在区间 上

有连续导函数 , ,则

在上式两端取区间 上的定积分,得有


移项得 上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为

公式(5.3.2)称为定积分的分部积分公式.

例6 计算


上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为 7 计算

解 先换元,再利用分部积分法,

设 则

当 时, ;当 时,


于是 上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为


§5.4 上连续,因而在区间上可积,其原函数为 ,这是因为 无限区间上的广义积分

定义5.2设函数 在无限区间 上连

续,极限 称为函数 在无限区间

上的广义积分,记作

如果上述极限存在,称广义积分 收敛,

如果上述极限不存在,就称广义积分 发散


类似地,可定义函数 在 和 上的

广义积分:

例1计算广义积分


上的2计算广义积分


上的3讨论广义积分 的敛散性.

当 时,


综上,   收敛;  发散. 上的

例4 判别广义积分 是否收敛.

解 因为

所以 是被积函数的无穷间断点,即被积函

数在 处无界.由于



§ 上的5.5定积分的应用

一、平面图形的面积

由曲线 和直线 及

所围成的曲边梯形(如图5-3)的面积为:

图5-3

当 时,由曲线

轴与直线 , 所围成的平面图形(如图5-4)的面积为

图5-4


上的5-5

当 在 上有正有负时,由曲线

轴及直线 围成的平面图形(如图5—5)的面积为:

由曲线 , 及直线 所围

平面图形的面积 (如图5—6):


上的5—8

图5—6

图5—7

其图形见图5-7和图5-8所示

此时,公式

仍然成立.


类似可得:由连续曲线 上的

与直线 所围成的平面图形的面积(如图5—8)为:

图5—8

例1 求由曲线 与直线 所围成的

平面图形的面积.

解 如图5—9,先确定两条曲线交点的坐标,


上的5—9

例2 求由曲线 , 与直线

所围成的平面图形的面积.

解方程组 ,

得交点 则

所求面积为:


上的5—10

例3 求曲线 和 之间界于

所围成的平面图形的面积.

解 如图5—10,曲线

与直线的交点为 所求面积为:

解 如图5—11,所求面积为:


上的5-11

二、旋转体的体积

由曲线 ,直线 和 及 轴所围成的曲边梯形,绕 轴旋转一周而成的几何体就是一个旋转体(图5—14).


取 为积分变量,其变化区间为 ,在 上任取一点 处垂直于

轴的截面是半径为

的圆,因而其截面面积为

图5—14

于是得曲边梯形绕 轴旋转一周所成的立体的体积为:

类似可得,由连续曲线 ,直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的立体的体积为:


上任取一点 处垂直于 5 计算由椭圆 所围成的图形绕 轴

旋转而成的旋转体的体积.

解 该旋转体可看作是

由上半椭圆 及

轴所围成的图形绕 轴旋转而成(图5—15),于是,其体积为:

图5—15


上任取一点 处垂直于 6 求由曲线 , ,绕 轴旋转而

得的体积.

解 如图(5—16),

, 得

图5—16


三、经济应用问题举例 上任取一点 处垂直于

已知边际经济量的变化率,求总量函数或总量函数在某个范围内的值时,可应用定积分计算.

例7 设某产品在时刻 总产量的变化率   

千克/小时.求从  到  这两小时的总产量.

解 设总产量为   ,由已知条件知总产量   是  的一个原函数,所以有


例8 假设当鱼塘中有 千克鱼时,每千克鱼的捕捞成本是    元,已知鱼塘中现有鱼    千克,问从鱼塘中再捕捞   千克需花费多少成本?

解 设已知捕捞了 千克鱼,此时鱼塘中有

千克鱼,再捕捞  千克鱼的成本为:

所以,捕捞  千克鱼的成本为:



§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

演示

图5-1


§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

演示中

图5-1


§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

演示中

图5-1


§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

演示中

图5-1


§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

演示中

图5-1


§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

演示中

图5-1


§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

演示中

图5-1


§5.1 元定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中,由连续曲线 与直线 和 轴所围成的平面图形,称为曲边图形(图5-1).

曲边梯形面积分割演示图

那么如何求其面积呢?

演示结束

显然不能简单的用梯形面积公式来求了.应按以下三个步骤来求:

图5-1


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