Геометрични характеристики на равнини сечения

1. Геометрични характеристики на равнини сечения За решаване на основната задача на СМ освен разпределението на вътрешните усилия трябва да знаем как размерите и формата на напречните сечения влияят на поведението на конструкциите.

2. При изучаването на напреженията и деформациите възникващи в прътовите конструкции, освен площта на сечението, се използват редица допълнителни геометрични характеристики като: статични моменти, инерционни моменти на сечението, секторни характеристики и др. • Прътовите конструкции обикновено се изграждат от стандартни профили, чиито характеристики са дадени в таблици. • Често обаче се налага съчетаването и комбинирането на стандартни профили с цел задоволяване на определени изисквания към конструкцията. • Понякога самото сечение е със сложна и нестандартна форма (лопатки на корабен винт, на турбина, свредло и т.н.). • За тази цел трябва да познаваме закономерностите за получаване на геометричните характеристики на сеченията.

3. 600 z 500 410 y 520

4. O y  z y dF F z 1. Статични моменти. Център на тежестта Разглеждаме напречно сечение с произволна форма - фиг.1. Координатната система е ориентирана по начина, който използваме за определянето на вътрешните усилия. -площ на сечението – може да се представи като сума от елементарни площи (1) фиг.1

5. O y  z y dF F z - статични моменти – интеграл от произведението на елементарната площ и разстоянието й до съответната ос (2)

6. O y a O1 y1 z z1 b y1 y dF F z1 z - изменение на статичните моменти при транслация на осите връзките между новите и старите координати се вижда от фиг.2 (3) фиг.2

7. център на тежестта От (3) се вижда, че с подбор на разстоянията а и b може новите статичните моменти да се анулират. Ако в (3) положим Sy1=0, Sz1=0 за координатите на центъра на тежестта Cще получим (4): Определение: Ос, спрямо която статичният момент е равен на нула, се нарича централна ос. Пресечната точка на две централни оси се нарича център на тежестта.

8. За обичайните геометрични фигури са известни площите и положението на центъра на тежестта им. Тогава формули (4) могат да се използват за намиране на съответния статичен момент. Сложните съставни фигури обикновено се разбиват на n на брой прости фигури и центърът на тежестта на съставната фигура се определя с формули (5).

9. O y  z y dF F z 2. Инерционни моменти • Необходимостта от познаването на тези геометрични характеристики възниква при определянето на напреженията при огъване и усукване. • Инерционните моменти на сеченията се дефинират по следния начин (6): (6)

10. Jyz>0 Jyz<0 y Jyz<0 Jyz>0 z Те имат размерност [m4]. Съществува аналогия с масовите инерционни моменти използвани в Механиката. Осовите и полярният инерционни моменти са винаги с положителни стойности, докато центробежният може да бъде положителен, отрицателен или нула. Знакът на центробежния момент се определя от разположението на сечението спрямо осите фиг.3. фиг.3.

11. Jyz=0 -y +y +z y z Центробежният момент на сечение спрямо ос, която е ос на симетрия е винаги равен на нула фиг.4. фиг.4

12. O y  z y dF F z Полярният инерционен момент е равен на сумата от осовите инерционни моменти. (7)

13. b h y z dF dz z Пример 1 правоъгълник с размери bи h фиг.5

14. d dF D d  y z Пример 2 кръг с диаметър D фиг.6

15. За други типични фигури данни за инерционните моменти могат да се намерят в таблици по Съпротивление на материалите. Понякога се използват инерционните радиуси, които се дефинират по следния начин: (8)

16. O y a O1 y1 z z1 b y1 y dF F z1 z 3. Изменение на инерционните моменти притранслация на координатната система. Теореми на Щайнер

17. Търсим инерционните моменти спрямо новите оси y1и z1 фиг. 2, ако знаем тези спрямо старите оси yи z.

18. На практика най-често се налага да търсим характеристиките спрямо оси, знаейки тези спрямо централни оси yc,zc. Тогава статичните моменти са нула и се получават теоремите на Щайнер (10). (10) В последната формула разстоянията а и bсе вземат със съответния си знак.

19. O y  z v u u F dF y v z 4. Изменение на инерционните моменти при ротация координатната система Предполагаме, че са известни геометричните характеристики спрямо произволна координатна система (yOz). Търсим геометричните характеристики спрямо координатна система (uOv) завъртяна на ъгъл  фиг.7. фиг.7

20. Координатите на точка при ротация на координатната система се дават с известните от Аналитичната геометрия връзки (11): (11)

22. Използвайки известните от тригонометрията връзки (13) получаваме (14): (13) (14) Забелязваме, че ако сумираме първите две уравнения на (14) ще получи (15)

23. При ротация на координатната система инерционните моменти се изменят, но запазват сумата си постоянна. Следователно ако единият инерционен момент нараства то другият намалява. За практиката е важно при какъв ъгъл моментите придобиват екстремум. За целта търсим производна на осовите моменти спрямо ъгъла  и приравняваме на нула. Откъдето за ъгъла получаваме: (16)

24. Оси, спрямо които центробежният момент е равен на нула, а осовите инерционни моменти са екстремални, се наричат главни инерционни оси. • Ако те минават през центъра на тежестта те се наричат главни централни инерционни оси.

25. Ако повдигнем на втора степен първото и третото уравнение на (14) и ги съберем ще получим едно уравнение на окръжност (17) (17)

26. Екстремалните стойности на инерционните моменти се получават: (18)

27. Понякога е по-удобно ъгълът на завъртане на главните оси да се намира чрез следните формули: (19)