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要点梳理 1. 抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l （ F  l ）的距离 的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物线的 .

§ 8 . 3 抛物线. 基础知识 自主学习. 要点梳理 1. 抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l （ F  l ）的距离 的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物线的. 相等. 焦点. 准线. 2. 抛物线的标准方程与几何性质. 基础自测 1. 若点 P 到点 F （ 0 ， 2 ）的距离比它到直线 y +4=0 的距离小 2 ，则 P 的轨迹方程为 .

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要点梳理 1. 抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l （ F  l ）的距离 的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物线的 .

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Presentation Transcript

  1. §8.3 抛物线 基础知识 自主学习 要点梳理 1.抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的. 相等 焦点 准线

  2. 2.抛物线的标准方程与几何性质

  3. 基础自测 1.若点P到点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则P的轨迹方程为. 解析由题意知P到F（0，2）的距离比它到y+4=0的距离小2，因此P到F（0，2）的距离与到直线y+2=0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y=-2为准线的抛物线， ∴点P的轨迹方程为x2=8y. x2=8y

  4. 2.设F为抛物线y2=ax (a>0)的焦点，点P在抛物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则|PF|=. 解析设P（x0，y0），则y20=ax0， 由抛物线定义知|PF|=x0+ ， 由已知得 ，解得x0= , ∴|PF|= .

  5. 3.设a≠0,a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 . 解析 抛物线标准方程为x2= , 当a>0时，p= ，焦点坐标为 ; 当a<0时，p= ，焦点坐标为 .

  6. 4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，则p的值为. 解析椭圆 的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4. 4

  7. 典型例题 深度剖析 【例1】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程. 因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论. 解 ①若抛物线开口方向向下， 设抛物线方程为x2=-2py (p>0)， 这时准线方程为y= , 由抛物线定义知 -(-3)=5,解得p=4, ∴抛物线方程为x2=-8y, 这时将点A（m,-3）代入方程，得m=± . 分析

  8. ②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax (a≠0)，从p=|a|知准线方程可统一成x= 的形式，于是从题设有 | +m|=5 2am=9， 解此方程组可得四组解 a1=1 a2=-1 a3=9 a4=-9 m1= , m2=- , m3= ， m4=- . ∴y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .

  9. 跟踪练习1（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点P（2，-4）的抛物线的方程；跟踪练习1（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点P（2，-4）的抛物线的方程； （2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线相交于点A，|AF|=5，求抛物线的标准方程. 解（1）由于P（2，-4）在第四象限且坐标轴是对称轴，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2= -2py(p>0).将P点的坐标代入得p=4或p= ，所以所求抛物线的方程为y2=8x或x2=-y.

  10. （2）由于抛物线的焦点F在x轴上，设抛物线方程为y2=2px 因此F（ ,0），由 y=-3 y2=2px 即x= ，因此A( ,-2) 由于|AF|=5，即（ ）2+32=25 解得p1,2=±9,p3,4=±1 因此抛物线方程为y2=±18x或y2=±2x. 得2px=9，

  11. 【例2】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.【例2】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标. 由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题. 解 将x=3代入抛物线方程 y2=2x，得y=± . ∵ >2，∴A在抛物线内部. 设抛物线上点P到准线l： 分析

  12. x=- 的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d， 当PA⊥l时，|PA|+d最小， 最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ， 此时P点的纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2， ∴点P的坐标为（2，2）.

  13. 跟踪练习2（2010·南京调研）设P是曲线y2=4x上的一个动点.求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.跟踪练习2（2010·南京调研）设P是曲线y2=4x上的一个动点.求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值. 解 如图所示，易知抛 物线的焦点为F（1，0）， 准线是x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点 A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小.显然，连结AF交曲线于P点，故最小值为 ，即 .

  14. 【例3】（14分）过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，点C在准线上，且BC∥x轴，试证明：直线AC过原点O.【例3】（14分）过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，点C在准线上，且BC∥x轴，试证明：直线AC过原点O. 先设直线方程为y=kx+b或x=my+r，然后利用kOA=kOC可证明A、O、C三点共线. 解题示范 证明 由抛物线方程知焦点为F（ ,0）,设直线l的方程为x=my+ ，代入y2=2px，得y2-2pmy-p2=0. 设点A（x1,y1），B（x2,y2），则y1y2=-p2.［4分］ 分析

  15. ∵BC∥x轴，且C点在准线上， ∴C（- ,y2）, ［6分］ ∴kOC= = =kOA. ∴A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O. ［14分］

  16. 跟踪练习3过抛物线y=4x2的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，若y1+y2=5，求线段AB的长.跟踪练习3过抛物线y=4x2的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，若y1+y2=5，求线段AB的长. 解将抛物线方程化为x2= ，焦点为F， 则|AF|=y1+ ,|BF|=y2+ ,p= , |AB|=|AF|+|BF| =y1+ +y2+ =y1+y2+p= .

  17. 思想方法 感悟提高 高考动态展望 本节的主要内容有抛物线及其标准方程、焦点（坐标）、准线（方程）以及抛物线的几何性质. 要会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质以及会由几何性质确定抛物线的方程. 从试题层次上看，填空题侧重考查其标准方程和几何性质，解答题则突出对解析几何思想方法的考查. 江苏高考必做题部分降低了对抛物线的考查要求，因而本节内容出现中档以上难度的试题可能性不大，考查会围绕基本概念、基本方法，试题类型既可为填空题，也可为综合型的解答题.

  18. 方法规律总结 1.焦半径：x0+ ;通径长为2p. 注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径. 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则 (1)y1y2=-p2，x1x2= ； (2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ； (3)若F为抛物线焦点，则有

  19. 定时检测 一、填空题 1.（2009·广东珠海模拟）抛物线x2=y的准线方 程是. 解析由题意知2p=1,故准线方程为y= = ， 即4y+1=0. 4y+1=0

  20. 2.（2010·苏州调研）抛物线y2=24ax (a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为. 解析 准线方程为l:x=-6a,M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3+6a=5,a= ,抛物线方程为y2=8x. y2=8x

  21. 3.（2010·济宁调研）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，A是抛物线上的一点， 与x轴正向的夹角为60°，则| |为. 解析设|AF|=a，则|AC|=a ∵∠B=30°，∴|AB|=2a， ∴|BF|=a，∴F为中点， ∴|FD|=p，∴|BF|=2p， ∴|AF|=|AC|=2p. 设A（x0，y0），∴x0= ，y0= ∴| |= =

  22. 4.(2009·湖南改编)抛物线y2=-8x的焦点坐标是 . 解析 ∵y2=-8x,∴p=4,∴焦点坐标为（-2，0）. （-2，0）

  23. 5.（2009·福建理）过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=.5.（2009·福建理）过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=. 解析∵ ∴设直线AB的方程为：y=x- 与y2=2px联立，整理得x2-3px+ =0, ∴xA+xB=3p. 由焦半径公式xA+xB+p=4p=8,得p=2. 2

  24. 6.（2008·重庆文）若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为 . 解析 由题意可列式 ，解得p=4. 4

  25. 7.（2008·全国Ⅱ理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于7.（2008·全国Ⅱ理）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于 . 解析∵y2=4x的焦点坐标为 F(1,0),准线方程为x=-1, ∴过F且斜率为1的直线方程为 y=x-1. 将其代入y2=4x得 x2-6x+1=0.

  26. ∴x1,2= ∵|FA|>|FB|,∴xA=3+ ,xB=3- . 又|FA|=xA+1,|FB|=xB+1, ∴ 答案

  27. 8.（2009·全国Ⅱ改编）已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=.8.（2009·全国Ⅱ改编）已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=. 解析 将y=k(x+2)代入y2=8x 得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. 设交点的横坐标分别为xA,xB,则xA+xB= -4,① xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2, |FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.

  28. ∴xA=2xB+2. ② 将②代入①得xB= -2, xA= -4+2= -2. 故xA·xB= =4. 解之得k2= ,而k>0,∴k= ,满足Δ>0. 答案

  29. 9.（2009·山东滨州二模）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A,B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆的方程为.9.（2009·山东滨州二模）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A,B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆的方程为. 解析∵抛物线的焦点F（1，0），又∵AB为通径，∴AB=4，即圆的半径为2. ∴圆的方程为(x-1)2+y2=4. （x-1）2+y2=4

  30. 二、解答题 10.（2009·山东临沂4月模拟）已知抛物线y2=2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为 ，一直角边的方程是y=2x,求抛物线的方程. 解因为一条直角边所在直线的方程是y=2x, 所以另一条直角边的方程是y= . y=2x x= x=0 y2=2px， y=p, y=0 由 或 (舍去）, 解得

  31. y= x=8px=0 y2=2px, y=-4p， y=0 ∴三角形的另两个顶点为 和（8p,-4p）. ∴ . 解得p= ,故所求抛物线的方程为y2= . 由 解得 或 （舍去）,

  32. 11.（2010·盐城模拟）过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），求 . 解如图,作AA′⊥x轴, BB′⊥x轴, 则AA′∥FO∥BB′, ∴ 又已知xA<0,xB>0,∴ ∵直线AB方程为y=xtan 30°+ , 即

  33. ∴与x2=2py联立得x2- -p2=0, ∴xA+xB= ,xAxB=-p2， ∴xAxB=-p2=- = （x2A+x2B+2xAxB）， ∴3x2A+3x2B+10xAxB=0，两边同除以x2B（x2B≠0）得 ,∴ . 又xA+xB= ,∴xA>-xB,∴ ∴

  34. 12.（2010·江苏南通模拟）如图所示，倾斜角为 的直线经过抛物线y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点. （1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程； （2）若 为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos 2 为定值，并求此定值. 解（1）由已知得2p=8, ∴ =2, ∴抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=-2.

  35. （2）设A（xA，yA），B（xB，yB），直线AB的斜率为k=tan ,则直线方程为y=k(x-2), 将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0, 故xA+xB= , 记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则 xE= 故直线m的方程为

  36. 令y=0,得点P的横坐标xP= 故|FP|=xP-2= , ∴|FP|-|FP|cos2 = , 为定值. 返回

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