1 / 56

TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI Z PROVOZU VOZIDEL

TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI Z PROVOZU VOZIDEL. Petr Jedlička Jan Kočvara Jakub Strnad. Obsah prezentace. Munich Chain-Lader ( MCL ) Regresní metody výpočtu rezerv (Probabilistic Trend Family – PTF ) Simulační techniky k určení rozdělení IBNR

minnie
Download Presentation

TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI Z PROVOZU VOZIDEL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. TECHNIKY VÝPOČTU IBNR A JEJICH APLIKACE V POJIŠTĚNÍ ODPOVĚDNOSTI Z PROVOZU VOZIDEL Petr Jedlička Jan Kočvara Jakub Strnad

  2. Obsah prezentace • Munich Chain-Lader (MCL) • Regresní metody výpočtu rezerv (Probabilistic Trend Family – PTF) • Simulační techniky k určení rozdělení IBNR • Aplikace v pojištění odpovědnosti z provozu vozidla (POV) • Ilustrace použití metod na škodách způsobených nepojištěnými řidiči

  3. Trojúhelníková schémata zpoždění • Data • Pojistná plnění • Závazky • Počty událostí… • Forma dat (v řádcích) • Kumulativní • Přírůstková • Interpretace • Řádky: odpovídají období vzniku relevantní události • Sloupce: období zpoždění ve hlášení nebo plnění události od data vzniku • Diagonály: údaje pro jednotlivá kalendářní období • Snahou je odhad dat pod aktuální diagonálou • Doplnění trojúhelníku na čtverec (obdélník) • Statistické metody, nejznámější je Chain-Ladder známá data období vzniku odhadovaná část

  4. Standardní Chain-Ladder a jeho nedostatky • Neuvažuje / neumožňuje: • Systematický vývoj podle roku vzniku • Odhadnout inflaci ve výši škod (vývoj podle kalendářního období) • Určit vedle bodového odhadu IBNR její pravděpodobnostní rozdělení nelze spočítat interval spolehlivosti pro IBNR, medián atd. • Projekce vyplacených plnění (Paid) a celkových závazků (Incurred) často zcela odlišné • Nevýhody z hlediska POV • V celém trhu POV je pozorován nárůst škod v čase převyšující inflaci (tzv. superimposed inflation) • Výrazný meziroční nárůst objemu škod u ŠU placených z GF ČKP

  5. Úvod k Munich Chain-Ladder • Metoda vyvinuta aktuáry Münchener Rück • Odtud odvozen její název • Rozšiřuje model T. Macka (1993) • stejné kalkulace variability vývojových faktorů • Hlavní znaky • Pracuje zároveň s kumulativními trojúhelníky Paid i Incurred • Snahou je zmenšit rozdíly projekcí obou trojúhelníků • Úprava vývojových faktorů Standardního Chain-Ladderu (SCL) • Modelování závislostí mezi trojúhelníky

  6. Používané symboly pro MCL • n…rozměr trojúhelníků • a(i)…poslední známé období vývoje pro rok vzniku i • Pi,j…kumulativní hodnota vyplaceného plnění • pro rok vzniku i a zpoždění j • I i,j…kumulativní hodnota celkového závazku = Pi,j+ odpovídající stav RBNS • (P/I) i,j = Pi,j / I i,j • i = 1,…,n; j=1,…,a(i). • Trojúhelník podílů vyplacených plnění a celkového závazku (měl by konvergovat k 1)

  7. Vývojové faktory • Standardní faktory Chain Ladder pro oba trojúhelníky: • Průměrný poměr Paid a Incurred: • Dodefinujeme pro • Při použití těchto projekcí SCL platí následující: • Grafická interpretace na následujícím grafu (Závislost poměru P/I na období vývoje): podíly projekcí Paid a Incurred nekonvergují k 1. • Nízká hodnota podílu ve známé části také nízké hodnoty podílu predikcí

  8. Graf podílu Paid a Incurred • Graf vlevo znázorňuje známá data včetně průměrných podílů • Druhý graf je doplněn o podíly predikcí P/I dle SCL • -Podíl Paid a Incurred nekonverguje ke 100%

  9. Hlavní myšlenka MCL metody • Nízký podíl dosud vyplaceného plnění (Paid) z celk. závazku (Incurred), tj. (P/I)i,j vyšší podíl plnění Pi,j+1/Pi,j je vhodné navýšit vývojový faktor nižší podíl závazků Ii,j+1/Ii,j je vhodné snížit vývojový faktor • Matematicky • Záporná korelace mezi oběma veličinami (P/I)i,j a Pi,j+1/Pi,j • Možnost modelovat závislost pomocí regrese a následně vývojový faktor ze SCL upravit: • Pro roky vzniku s nízkým podílem P/Idojde k urychlení vývoje  vyšší faktor u Paid trojúhelníku a naopak

  10. Problémy s implementací • Není možné formulovat oddělené regrese pro každé období vývoje • Modely pak ovlivněny nedostatkem pozorování • Vysoká variabilita odhadů • Lineární regrese není vhodná • Málokdy je vývojový faktor menší než 1 a nikdy není záporný • Možno proto modelovat hyperbolickou křivkou

  11. Řešení uvedených problémů • Linearita regrese • Uvažovat závislost Pi,j+1/Pi,jna (I/P)i,jnamísto na (P/I)i,j • Nedostatek dat a kvalita odhadů • Nebrat oddělené regresní modely pro každé období vývoje, ale uvažovat všechna data společně v jednom modelu • K tomu je nutná standardizace hodnot vysvětlující i vysvětlované proměnné Nutné předpoklady o variabilitě a střední hodnotě • Predikce regresního modelu pak určují „korekce“ vývojových faktorů standardního Chain-Ladderu pro trojúhelník vyplacených plnění

  12. Technika standardizace • Podobně jako závislost Pi,j+1/Pi,jna (I/P)i,jlze uvažovat závislost Ii,j+1/Ii,j na (P/I)i,j • Užitečné pro adjustaci vývojových koeficientů trojúhelníku Incurred • Stejné důvody pro standardizaci • Analogické předpoklady o variabilitě faktorů (T. Mack) • Odhady parametrů obou regresí by měly vycházet kladné

  13. Předpoklady – Trojúhelník Paid Viz Thomas Mack (1993) • Náhodná posloupnost Pi:=(Pi,1,Pi,2,…,Pi,n)’ • Střední hodnota: • Variabilita: • Označení: Pi(j)=(Pi,1,…Pi,j)’(tj. známá část procesu v okamžiku odhadu) • PosloupnostiPxaPyjsou nezávislé pro x≠y • Analogické předpoklady pro Incurred trojúhelník

  14. Komentář k předpokladům • Předpoklad o střední hodnotě lze upravit: • Úprava předpokladu o rozptylu: Analogický předpoklad je ve speciálním případě modelů ELRF (Extended Link Ratio Family) odpovídající právě SCL

  15. Předpoklady – Trojúhelník Incurred • Náhodná posloupnost Ii:=(Ii,1,Ii,2,…,Ii,n)’ • Střední hodnota: • Variabilita: • Označení: Ii(j)=(Ii,1,…Ii,j)’(tj. známá část procesu v okamžiku odhadu) • PosloupnostiIxa Iyjsou nezávislé pro x≠y • Limitace • Neuvažují se (zatím) předpoklady o vztahu Paid a Incurred

  16. Předpoklady o závislostech • V praxi znalost obou trojúhelníků Paid i Incurred Pi,j, Ii,j • Značení: • Bi={Pi,;Ii} • Bi(j)={Pi(j); Ii(j)}’(známá část obou procesů v čase výpočtu projekcí) • Qi=Pi / Ii • Standardizovaná náhodná veličina X při znalosti C: • Předpoklad základního vztahu MCL • Předpokládaná lineární závislost Paid vývojového faktoru na poměru I/P (ve standardizovaném tvaru)… udává sklon regresní přímky • Předpoklad nezávislosti • Procesy Bxa By jsou stochasticky nezávislé

  17. Korekce vývojového faktoru • Z předchozího vyplývá: • Poznámky • Vývojový faktor MCL je přirozeně určen jako korekce faktoru SCL • Postup odvození ukázán pro Paid trojúhelník • Analogické principy i pro Incurred trojúhelník:

  18. Korelační koeficienty • Označení • X …standardizované hodnoty podílů P/I resp. I/P • Y…standardizované vývojové faktory • V předpokladech modelu uvedeno: •  • Dosazením dostáváme matematickou interpretaci koeficientů: • Standardizace hodnotu korelačního koeficientu neovlivní • „Rozumná“ situace

  19. Výpočty odhadů - variabilita • Standardní odhady vývojových faktorů (viz dříve) • Variabilita faktorů • Trojúhelník Paid • Trojúhelník Incurred • Odhad : • Odhad variabilit podílů Paid a Incurred • Paid: je odhadem • Incurred: je odhadem

  20. Tvar vypočtených residuí

  21. Výpočty MCL vývojových faktorů • Na základě vypočtených standardizovaných hodnot formulujeme regresní modely • Odhady parametrů pomocí MNČ • Odhady vývojových faktorů MCL • Odvození projekcí obou trojúhelníků pro j=a(i) pro ostatní j

  22. Aplikace metody MCL v POV • ČKP aplikovala MCL na data • Vybraných členských pojišťoven • Garančního fondu • Zkušenosti s metodou na datech členů • Očekávanou závislost veličin se ne vždy podařilo prokázat • K přiblížení výsledků projekcí obou trojúhelníků došlo jen částečně • Analýza GF ČKP (přesněji ŠU způsobené nepojištěnými) • Podobně rozporuplné výsledky • Např. citlivost odhadů regresních parametrů na odlehlá pozorování

  23. Ukázka závislosti • Grafy ukazují závislosti normovaných hodnot podílu Pi,j+1/Pi,jna (I/P)i,j(všechna data, resp. data po vyloučení dvou odlehlých pozorování) • Odhady parametrů: • Citlivost na odlehlá pozorování je výrazná. Vynechání dvou pozorování způsobilo pokles korelace o 0,2 (!)

  24. Zhodnocení výsledků MCL • Predikce založené na MCL • Při „správném“ charakteru závislostí: • podobné odhady finálních projekcí nezávisle na typu trojúhelníku • U SCL problém: • některé predikce Paid převyšují odhady Incurred • jiné jich nedosahují (viz graf) • zvlášť často v pozdějších letech vzniku (extrém např. v posledním období vzniku, pokud např. (P/I)n,j ~ 0 pro j=a(n)) • IBNR podle MCL může vyjít nižší než podle SCL(z Incurred trojúhelníku) • V našem příkladě škod nepojištěných cca. o 44% • Obecně ale platit nemusí

  25. Grafické srovnání projekcí SCL a MCL • Podíl P/I u MCL konverguje ke 100% pro každý rok vzniku • Dokonce i pro ta období vzniku, kde je dosud vyplacené plnění relativně zanedbatelné vůči závazku

  26. Přestávka

  27. Regresní techniky výpočtu rezervy • Dynamické modely:Yi,j=bj*Yi,j-1+ei,j, Var(ei,j)=2(Yi,j-1) • Yi,jkumulativní data (počty škod, plnění nebo závazek k období vzniku i a vývoje j) • Přímočaré rozšíření SCL metody • Speciálně •  = 0 Metoda nejmenších čtverců •  = 1SCL metoda •  = 2 • Zobecnění modelu: Yi,j=a0+a1*i+bj*Yi,j-1+ei,j, Var(ei,j)=2(Yi,j-1) • Zahrnutí vývoje podle období vzniku události • Extended link ratio family model

  28. Popis PTF Modelu • PTF = Probabilistic Trend Family • Modelování vývoje pomocí trendů ve třech směrech • Accident (vývoj počtu nebo objemu škod mezi řádky trojúhelníku) i • Důležitý u škod s neznámou expozicí (např. právě GF ČKP) • Development (vývoj mezi sloupci) j • Payment/Calendar trend (vývoj po diagonálách) t = i + j • pomocí něj lze odhadnout tzv. superimposed inflaci • Regresní model • Vysvětlující proměnné jsou „indikátory“ časových období • Vysvětlovaná proměnná je logaritmus přírůstkových nebo i kumulativních údajů • počty událostí, plnění, závazky

  29. Specifikace regresního modelu • Nejpodrobnější možný model: • Každý přechod v libovolném směru je modelován odlišným parametrem • Model je evidentně přeparametrizován (vysoká vysvětlovací schopnost, avšak přesto nevhodné pro predikci) • Odhady mohou být zatíženy velkou chybou • Špatně podmíněná matice X (LZ sloupce, XTX singulární) • Ukázka designové matice X takového modelu

  30. Poznámky k formulaci PTF • Pro obecný PTF platí: • Vývoj v libovolném směru lze převést na zbylé dva směry • Příklad: Následující dva modely jsou ekvivalentní • Stabilní shodné trendy a v accident a development = stabilní trend a v payment směru 2a 2a 2a

  31. Předpoklady o rozdělení plateb • přírůstek trojúhelníku • Normalita residuí v PTF modelu  • Vztahy pro logaritmicko-normální rozdělení Pi,j • Rozdělení podílů

  32. Hledání vhodného modelu – 1. možnost • Začínáme s popsaným „plným“ modelem • resp. modelem získaným forward krokovou regresí • Použitý přístup: vytvářet podmodely sčítáním sloupců matice • CSS = Columns Sum Submodel • Pro období se stabilním J vývojem stačí jediný parametr trendu, např. • Rozdílné od myšlenky vypouštět nevýznamné parametry původního modelu • Cíl: • Kompromisní model, který: • přijatelně vysvětluje data, ale • neobsahuje mnoho parametrů např. model minimalizující AIC (Akaikeho informační kritérium)

  33. Hledání vhodného modelu – 2. možnost • Postupujeme „zdola“ od jednoduchých modelů • Např. začínáme s modelem: Yi,j= a + b*i + c*j + ei,j • V něm se předpokládá, že platí Yi+1,j – Yi,j ~ b, pro každé j a Yi,j+1 – Yi,j ~ c, pro každé i • Hledáním „zlomů“ ve vývoji grafů residuí vůči hodnotám i, j a t se pak dá odvodit, mezi jakými okamžiky uvažovat změnu parametru • Např. model bude tvaruYi,j+1 – Yi,j ~ c0pokud j < j0a Yi,j+1 – Yi,j ~ c1jinak. • K nalezení vhodného modelu pomůže i znalost okamžiku intervence • jakýkoliv vnější vliv – legislativní, ekonomické změny apod. • Opět vhodnou mírou kvality výsledného modelu je AIC nebo modifikovaný koeficient determinace

  34. Postup tvorby modelů dle grafů residuí • Graf průměrů residuí základního modelu proti zpoždění • Zřejmý trend v grafu • Růst residuí do 4. období vývoje • (model trend podhodnocuje) • Pak následuje pokles • (model trend nadhodnocuje) • Řešení: • uvažovat dva parametry pro development trend („zlom“ ve 4. období) • V rozšířeném modelu nepozorujeme trendy v residuích

  35. Kumulativní vs. přírůstková data • PTF model je možné aplikovat na kumulativní i přírůstková data • Zehnwirth (1994, 1998) uvažuje logaritmus přírůstkových dat • Nevýhody tohoto přístupu podle ČKP • Nulové hodnoty v pozdějších obdobích vývoje nelze logaritmovat • Případné nahrazení nulových hodnot „malými hodnotami“ zkresluje model • Občas náročné najít model s dobrou vysvětlující schopností • Řešení • Někdy lze použít logaritmy kumulativních dat (nesmí ale být významná autokorelace residuí) • Obtížněji interpretovatelné odhady parametrů a teoretické zdůvodnění modelu

  36. Požadavky na výsledný model • Jejich splnění důležité pro adekvátnost bootstrapu (viz dále) • Dostatečná vysvětlovací schopnost • Při hodnotách R2 < 0,85 narůstá při přechodu na nelogaritmované hodnoty rozdíl mezi střední hodnotou a mediánem (vysoká variabilita) • Odstranění systematických složek z grafů residuí • Nezamítnutí normality residuí • Shapiro – Wilkův test, • Normal Probability plot • Histogram residuí • Nekorelovanost residuí • Durbinův – Watsonův test • Pozor na multikolinearitu (i + j = t)

  37. Doplnění trojúhelníku na čtverec • Výpočet lineárních předpovědí Yi,j včetně predikčních intervalů pro i, j splňující: • i+j >T • i <= T • Tje poslední známé kalendářní období • Přechod na původní (nelogaritmované) hodnoty • Předpokládáme splnění normality v logaritmovaném modelu • Použijeme vztah pro střední hodnotu a medián logaritmicko-normálního rozdělení • Potřebnou variabilitu odvodíme v logaritmickém tvaru z rozdílu: • 97,5% kvantil – stř. hodnota ~ 2* směr. odchylka

  38. Zhodnocení implementace PTF metody • Metoda je flexibilní • Lze jí uplatnit i na trojúhelníky z nejrůznějších důvodů neúplné • Z jednou vytvořeného modelu lze někdy vycházet i při další analýze • Rozmanité možnosti předpovídání • Limitace metody • Předpoklad stejného vývoje plateb podle kalendářního období do budoucna (vývoj ve směru payment nemusí být stabilní) • Při predikci tail faktoru se uvažuje vývoj daný posledním parametrem i na další období vývoje • Softwarová realizace • Software ICRFS (vyvinutý jedním z autorů metody Dr. B. Zehnwirthem) automaticky určí „nejlepší“ model a vše ostatní • Realizace ČKP (regresní modely vytvářeny manuálně) • Regresní část: STATISTICA • Simulační část: Excel, Mathematica

  39. Odhady rozdělení předpovědí • Z předpovědí k dispozici: • Odhad střední hodnoty a kvantilů • Zajímá nás: • Např. rozdělení součtu v neznámé části čtverce • Sice platí, že střední hodnota součtu = součet středních hodnot, ale pro kvantily žádná analogie neplatí • Řešení použité ČKP • Bootstrap na základě lineárních předpovědí z modelu v logaritmickém tvaru • získáme odhad střední hodnoty, směrodatné odchylky (předpokládáme normalitu a také nezávislost) – viz požadavky na regresní model • Opakované generování takto určených náhodných veličin a následné součty realizací (součty odlogaritmovaných hodnot) Získáme empirické rozdělení součtu (plnění, závazku nebo počtu událostí) Pravděpodobnostní meze např. pro IBNR

  40. Aplikace PTF metody a simulací v ČKP • Odhady IBNR Garančního fondu ČKP • Nezjištění • Nepojištění Problém • Neznámá velikost „kmene“ těchto motoristů • Stálý nárůst počtu událostí i objemů způsobených škod • Analýzy IBNR členských pojišťoven • Analýzy agregované IBNR celého trhu • Ve všech případech poskytl vhodně zvolený PTF model velmi dobré výsledky

  41. Aplikace PTF pro GF ČKP – „nepojištění“ • Analýza pomocí objemů škod nedala přijatelné výsledky • Nízké R2(pouze cca. 72%) přes splnění normality residuí predikce nepoužitelné v praxi • Nerealisticky široký predikční interval po odlogaritmování • Možné řešení • Přechod k analýze počtu pojistných událostí pomocí PTF • R2výsledného modelu 89% • Regresní diagnostika neindikuje nesplnění předpokladů • Odhad celkového plnění a IBNR proveden pomocí vývoje průměrné PU

  42. Příklad tvorby modelu • Porovnání výsledků modelu z kumulativních i přírůstkových dat • Tvorba kumulativního modelu • Odhadnutí okamžiků změny vývoje  Grafylogaritmovanýchhodnot vůči směrům Accident – stabilní růst do 10. období, pak pokles Development – zlom vývoje ve 3. období Payment – stabilní růst

  43. Formulace kumulativního modelu Odhady parametrů Obdobným postupem hledání zlomů v grafech residuí jsme odvodili podrobnější model: Stále systematický vývoj v grafech residuí  např. zřejmý zlom ve vývoji residuí podle roku vzniku

  44. Hledání modelu - pokračování • Nakonec formulován model se šesti parametry • Ten byl následně zredukován o nevýznamné parametry • Byl přidán parametr popisující payment trend. • Výsledky konečného modelu včetně grafů vývoje residuí:

  45. Kumulativní Součet predikcí: 22 520 Součet diagonály 15 925  Očekávaný přírůstek 6 595 R2 = 0,935 DW = 1,08  corr = 0,454 (!) Normalita: Přírůstkový Součet predikcí: 19 025 Součet diagonály 15 925  Očekávaný přírůstek 3 100 R2 = 0,886 DW=1,68  corr = 0,157 Normalita: Srovnání výsledků obou přístupů • Na základě těchto výsledků jsme se rozhodli pro přírůstkový model. (Nicméně v jiných případech byl kumulativní použitelný)

  46. Další simulační technika • Vyvinuta firmou Deloitte • Rozšiřuje možnosti softwaru na výpočet rezerv Cros • Poskytuje podobné informace o empirickém rozdělení jako bootstrap používaný ČKP

  47. Stručný popis techniky • Vychází z projekcí získaných SW Cros: • Standardní Chain Ladder • Vyhlazení vývojových faktorů různými křivkami • Bornhuetter – Fergusonova metoda • Kredibilitní přístup… • Vlastní simulace v Excelu (odvolává se na struktury Crosu) • Myšlenka generování scénářů • Náhodné prohazování vypočtených residuí a nové výpočty projekcí

  48. Princip simulací • Doplnění trojúhelníku na čtverec • Zpětné určení vyhlazených hodnot ve známé části trojúhelníku • Protažení vývojovými faktory od diagonálních hodnot nazpátek • Přechod od kumulativních hodnot na přírůstková data • U původních i zpětně vyhlazených trojúhelníků • Výpočet residuí • Odečtením přírůstkových trojúhelníků pozorovaných a očekávaných hodnot

  49. Použitá standardizace residuí • Uvažují se standardizovaná residua • Snaha o zdůvodnění • Uvedený postup smysluplný, pokud je rozptyl přímo úměrný stř. hodnotě • To se sice předpokládá (se zpožděním) u ELRF modelu, ale pro kumulativní data Yi,j • Regresní modelYi,j+1=bj*Yi,j+ei,j+1, Var(ei,j+1)=2(Yi,j+1) (*) je ekvivalentní SCLa takévar(Yi,j+1| Yi,j)= 2(Yi,j) • Teď se předpokládá přímá úměra pro přírůstková data Xi,j+1=Yi,j+1 – Yi,j • Odvození Var(Xi,j+1| Yi,j) za platnosti modelu (*)

  50. Zhodnocení uvažované standardizace • Odvodili jsme: • Standardizace by byla v pořádku, pokud: Nepodařilo se najít zdůvodnění použitého přístupu standardizace • V dodaných materiálech žádná interpretace standardizace residuí nebyla uvedena.

More Related