Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas Mecânicos Algoritmo para Converter Sólidos CSG em Sólidos B-Rep Defesa de Dissertação de Mestrado Murilo Antonio Salomão Garcia Orientador: Prof. Dr. Marcos de Sales Guerra Tsuzuki 17 de abril de 2006

1. Introdução • Objetivo do trabalho: criar um algoritmo capaz de converter modelos sólidos CSG (Construtive Solid Geometry) em modelos sólidos B-Rep (Boundary Representation). • O algoritmo criado foi desenvolvido a partir do Marching Cubes.

Posicionadas Combinadas Primitivas (instâncias) 2. Representação CSG • Capturam o processo de construção que define o sólido por uma seqüência de operações que instanciam ou combinam primitivas. • Tradicionalmente as primitivas são simples, como cubos, cilindros e esferas. • Indicado para o design e manipulação interativa de sólidos. • A exibição de CSG em tela não é suportada de forma nativa.

Posicionadas Primitivas (instâncias) Combinadas 2. Representação CSG (cont.) • Formas mais complexas apropriadas para um conjunto de aplicações particulares, como rasgos de chaveta e furos roscados no caso da engenharia mecânica.

Rotação Escalamento Uniforme Reflexão Translação Escalamento Não Uniforme • 2.1 Transformações Afim • Manipulação de primitivas e sólidos: • Posicionamento • Deformação

União: Intersecção: Diferença: • 2.2 Operações Booleanas entre Sólidos • Combinar primitivas ou sólidos.

Intersecção Subtração 2.2 Operações Booleanas entre Sólidos (cont.) Exemplos:

2.3 Árvore CSG • Sintaxe que pode ser utilizada para especificar um sólido em CSG.

2.4 Classificação de um Ponto para Sólidos CSG • Métodos de divisão e conquista, ou descida em profundidade recursiva para calcular-se a classificação do ponto (como interior ou exterior ao sólido).

sólido faces arestas vértices 3. Representação B-Rep • Modelos gráficos avançados que tentam resolver alguns problemas através da inclusão de uma descrição completa da superfície da fronteira do objeto. • 3.1 Geometria e Topologia do Modelo B-Rep : • Três entidades fundamentais:

v = número de vértices a = número de arestas f = número de faces s = número de shells h = número de furos l = número de laços • 3.2 Operadores de Euler • A equação de Euler-Poincaré relaciona entidades primitivas que formam o sólido de maneira quantitativa:

KVSF (Kill Vertex Solid Face) KEV (Kill Edge Vertex) KEF (Kill Edge Face) 3.2 Operadores de Euler (cont.)

MEKR (Make Edge Kill Ring) MFKRH (Make Face Kill Ring Hole) KSFMR (Kill Shell Face Make Ring) 3.2 Operadores de Euler (cont.)

4. Marching Cubes Lorensen e Cline, 1987. • Geração de superfícies triangularizadas para fim de visualização a partir de dados volumétricos. • Usualmente exames médicos como: tomografia computadorizada, ressonância magnética, imagens de microscópios. • Dados são pilhas de imagens 2D em tons de cinza.

4.1 Configurações do Cubo • Vértices classificados como interiores ou exteriores à região. • 256 possibilidades

4.1 Configurações do Cubo (cont.) • Uso de simetria reduz o número de casos para 15

4.2 Variação de Delibasis • Original*(Lorensen e Cline) • Tabela com configurações • do cubo. • Gera superfícies com faces • triangulares. • * Algoritmo original mais configurações extras. • Delibasis • Gera configurações por • meio de algoritmo. • Gera superfícies com faces. • poligonais (por vezes não planas).

Condição 0 E Condição 1 4.3 Versão Delibasis • Classificação dos vértices do cubo. • Definição dos isopontos. • Criação das arestas, sempre nas faces (conectando-se dois isopontos). • Condição 0. Os dois isopontos devem estar situados na mesma face do cubo; • Condição 1. Os dois isopontos devem compartilhar um vértice adjacente classificado com interno;

Condição 0 E Condição 2 Condição 0 E Condição 3 4.3 Versão Delibasis (cont.) • Condição 2. Os dois isopontos devem possuir vértices adjacentes (um interno e o outro externo) de forma que um vértice adjacente interno deve ser adjacente à um externo; • Condição 3. Os dois isopontos devem compartilhar um vértice adjacente externo e os outros três vértices da face devem ser internos.

continua 5. Algoritmo de Conversão de CSG para B-Rep • Início igual ao Marching Cubes: classificação dos vértices. • Encontra-se o primeiro Isocubo. • Processa-se o primeiro Isocubo: • Cria-se isopontos. • Gera-se polígonos. • Triangularização. • Gera-se a(s) face(s) triangulares no modelo B-REP. Delibasis

5.1 Laço de Abertura • É a partir desse laço que o sólido "cresce", ou seja, as half-edges contidas nesse laço são usadas na geração das novas faces do sólido.

5.2 Geração das Faces Triangulares • Primeira Face

5.2 Geração das Faces Triangulares (cont.) • Geração de Faces Triangulares com Uma Aresta Já Criada: • <MEV> Make Edge Vertex; • <MEF> Make Edge Face;

5.2 Geração das Faces Triangulares (cont.) • Geração de Faces Triangulares com Uma Aresta Já Criada – Segunda Situação:

5.2 Geração das Faces Triangulares (cont.) • Geração de Faces Triangulares com Duas Arestas Já Criadas: • <MEF> Make Edge Face;

5.2 Geração das Faces Triangulares (cont.) • Geração de Faces Triangulares com Três Vértices: OBS: Existem mais dois casos

cubo 65793 cubo 65537 cubo 257 cubo 65537 cubo 65792 cubo 257 cubo 65537 cubo 1 cubo 256 cubo 65536 cubo 256 cubo 65536 cubo 65536 cubo 65793 cubo 257 cubo 65537 cubo 65792 cubo 257 cubo 65537 cubo 65793 cubo 65792 cubo 257 cubo 65537 5.4 Marcha através das Faces Pilhas cubos futuros cubos atuais cubo 0 cubo 1 cubo 256 cubo 65536

6. Resultados • Etapas da construção. • Laço de abertura.

6. Resultados (cont.) • Primitivas. • Operações Booleanas.

6. Resultados (cont.) • Sólidos Complexos.

7. Conclusões • Foi criado um algoritmo para conversão de sólidos CSG em sólidos B-REP onde a marcha ocorre apenas pela fronteira do sólido. • Redução da complexidade do algoritmo marching cubes de polinomial de primeira ordem para uma complexidade constante. • Utilização de arestas geradas em um dado cubo no cubo adjacente, desta forma constrói-se um sólido válido.

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo