第八讲 数论理论介绍
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第八讲 数论理论介绍. 上海交通大学计算机科学系 郑东. 本讲介绍数论的概念及在 galois 域中计算的概念. 1. 数论介绍. 数论概念 : 研究 “ 离散数字集合 ” 运算是 “ + ” , “ × ” 例 : 整数 : 5 + 9 = 14; 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 多项式 : x 2 +1 + x = x 2 +x+1; x × x 2 +1 = x 3 +x. 运算概念. 运算 : 模数运算 模多项式运算 进一步运算 : 指数运算 , 逆运算

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第八讲 数论理论介绍

  • 上海交通大学计算机科学系

  • 郑东


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  • 本讲介绍数论的概念及在galois 域中计算的概念


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1.数论介绍

  • 数论概念:

  • 研究“离散数字集合”

  • 运算是“+” ,“×”

  • 例:

  • 整数: 5 + 9 = 14; 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15

  • 多项式: x2+1 + x = x2+x+1; x × x2+1 = x3+x


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运算概念

  • 运算:

  • 模数运算

  • 模多项式运算

  • 进一步运算:

  • 指数运算,逆运算

    理解公钥算法的基础


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2.整除

  • 对整数 b!=0及 a ,如果存在整数 m使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子

  • 记作 b|a

  • 例 1,2,3,4,6,8,12,24整除 24


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3.素数与不可约多项式

  • 素数: 只有因子 1 和自身

  • 1 是一个平凡素数

  • 例 2,3,5,7 是素数, 4,6,8,9,10 不是

  • 素多项式或不可约多项式irreducible:

  • 不可写成其他因式的乘积

  • x2+x = x × x+1是非不可约多项式;

    x3+x+1是不可约多项式


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4.一些素数

  • 200 以内的素数:

  • 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199


5 primefactorisation

5.素数分解(PrimeFactorisation)

  • 把整数n写成素数的成绩

  • 分解整数要比乘法困难

  • 整数 n的素数分解是把它写素数的乘积eg. 91 = 7 × 13 ; 3600 = 24 × 32 × 52


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6.整数互素

  • 整数 a, b互素是指 它们没有除1之外的其它因子

  • 8 与15 互素

  • 8的因子1,2,4,8

  • 15的因子 1,3,5,15

  • 1 是唯一的公因子


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8.模算式

  • 除法取余运算

  • 同余( congruence) for a = b mod n

  • 如果a,b 除以n,余数相同

  • eg. 100 = 34 mod 11

  • b叫做a模n的剩余

  • 通常 0<=b<=n-1

  • eg. -12mod7 = -5mod7 = 2mod7 = 9mod7

  • 可以进行整数运算


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9.,模运算举例

  • -21 -20 -19 -18 -17 -16 –15

  • -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8

  • -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

  • 0 1 2 3 4 5 6

  • 7 8 9 10 11 12 13

  • 14 15 16 17 18 19 20

  • 21 22 23 24 25 26 27

  • 28 29 30 31 32 33 34


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10.模算术运算

  • 加法a+b mod n

  • 减法

  • a-b mod n = a+(-b) mod n


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11.乘法\除法

  • 乘法

  • a.b mod n

    • 重复加法

  • 除法

    • a/b mod n

    • 乘以b的逆元: a/b = a.b-1 mod n

    • 如果n是素数, b-1 mod n存在 s.t b.b-1 = 1 mod n

    • 例. 2.3=1 mod 5 hence 4/2=4.3=2 mod 5


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12模递归运算

  • 模递归运算是“模除求余”

  • 例.r = a mod n计算 a = d.n + r

  • 33 mod 7 = 4.7 + 5; 得数是 5

  • 通常, r 取正数

  • 例 -18 mod 7 = -3.7 + 3; 答案是3

  • a+/-b mod n = [a mod n +/- b mod n] mod n


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13.运算法则

  • 类似于正常算术运算:

  • 结合律:

  • (a+b)+c = a+(b+c) mod n

  • 交换 律

  • 分配律

  • (a+b).c = (a.c)+(b.c) mod n

  • 加法单位元\乘法单位元

  • 0+w = w mod n

  • 1×w = w mod n

  • 乘法运算类同


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14群.环.域

群的定义:

  • 一些数字组成的集合

  • 一个加法运算,运算结果属于此集合(封闭性)

  • 服从结合律。有单位元,逆元

  • 如果是可交换的,则成为abelian群


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15。环

  • 环:

  • abelian 群,及一个乘法运算:

  • 满足结合律与加法的分配律

  • 如果加法满足交换律, 则称交换环

  • 例:整数 mod N (for any N )


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16。域

  • 域:

  • abelian 加群

  • abelian 乘群 (ignoring 0)

  • 例: integers mod P ( P 为素数)


  • 17 galois

    17。Galois 域

    • 如果 n是素数 p

    • 则模运算modulo p形成 Galois Field modulo p

    • 记为: GF(p)


    18 gf p

    18。GF(p) 中的指数运算

    • 许多加密运算需要指数运算

    • b = ae mod p

    • 重复乘法运算

    • eg. 75 = 7.7.7.7.7

    • 一个好的方法是不是平方 和乘法


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    19。平方、乘法运算

    • 计算指数的快速有效算法

    • 思想:重复平方运算

    • 计算最终结果的乘法运算


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    20。平方乘法运算

    • 例 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11; 3129 mod 11 = 4

    • ·let base = a, result =1·

    • for each bit ei (LSB to MSB) of exponent·

    • if ei=0 then·

    • square base mod p·

    • if ei=1 then·

    • multiply result by base mod p·

    • square base mod p (except for MSB)·

    • at end the required answer is result


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    21。平方乘法举例

    • 75 = 74.7 = 3.7 = 10 mod 11

    • base res exp (5=1012)

    • 7 1 initialise

    • 7.7=49=5 1.7=7 result=result x base, square base)

    • 5.5=25=3 0 (square base)

    • 3.3=9 7.3=21=10 1 (result=result x base, square base)


    22 gf p

    22。GF(p)中的离散对数

    • 指数的逆问题是寻找 整数模 p的离散对数

    • 即:求 x使得 ax = b mod p

    • eg. x = log3 4 mod ? (ie x st. 3x = 4 mod ?) 无解

    • eg. x = log 2 3 mod 13 = 4 (利用连续实验)

    • 计算指数相对容易,求离散对数一般很难

    • 可以证明若 p素数,则总存在 离散对数( for any b!=0)

    • a的连续指数可以生成群(the group mod p)

    • a叫做一个本原根( a primitive root)

    • 较困难的问题


    Greatest common divisor

    Greatest Common Divisor

    • 数论中的一个普遍问题:决定最大公因子(greatest common divisor(GCD) )

    • GCD (a,b)是整除a,b的最大整数

    • 经常用于证明两个数互素


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    • OK !


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