Download
1 / 174

فيما سبق ؟ - PowerPoint PPT Presentation


  • 892 Views
  • Uploaded on

فيما سبق ؟. درست إجراء العمليات على العبارات الأسية. والأن. فكرة الدرس. أضرب وحيدات الحد ـ أبسط عبارات تتضمن وحيدات الحد. المفردات. وحيدة الحد ـ ثابت. لماذا ؟. تحتوي كثير من الصيغ على وحيدات حد، فمثلا صيغة قوة محرك السيارة بالأحصنة هي. حيث تمثل: ق قوة المحرك بالحصان، ك كتلة السيارة

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' فيما سبق ؟' - minerva-english


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
فيما سبق ؟

درست إجراء العمليات على العبارات الأسية



فكرة الدرس

  • أضرب وحيدات الحد ـ أبسط عبارات تتضمن وحيدات الحد


المفردات

  • وحيدة الحد ـ ثابت


لماذا ؟

تحتوي كثير من الصيغ على وحيدات حد، فمثلا صيغة

قوة محرك السيارة بالأحصنة هي




الثابت: هو وحيدة حد تمثل عددا حقيقيا. ووحيدة الحد ٣ س هي مثال على عبارة خطية؛ لأن أس المتغير س فيها ١، أما وحيدة الحد ٢س ٢ فليست عبارة خطية؛ لأن الأس عدد موجب أكبر من ١.


  • مثال حقيقيا. ووحيدة الحد ٣ س هي مثال على عبارة خطية؛ لأن أس المتغير س فيها ١، أما وحيدة الحد ٢س ٢ فليست عبارة خطية؛ لأن الأس عدد موجب أكبر من ١.

  • حددى إذا كانت العبارات الآتية وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.

  • أ) 10 نعم؛ العدد ١٠ ثابت، لذا فهو وحيدة حد.

  • ب) ف + ٢٤ لا؛ تتضمن هذه العبارة عملية جمع، لذا فهي تحتوي على أكثر من حد.



  • مثال

  • الحل

  • ( ٦ ن٣ ) ( ٢ ن٧ ) = ( ٢ × ٦ ) ( ن3 × ن٧ )

  • = ( ٢ × ٦ ) ( ن ٣ + ٧ ) = 12ن10



  • ّبسطى العبارة : [ (2 3 )2 ]4

  • الحل

  • [ (2 3 )2 ]4 = (32 ×2 )4

  • ( ٢ ٦) ٤ = 62 ×4

  • = ٢ ٢٤ = 16777216


  • : عبرى عن مساحة الدائرة على صورة وحيدة الحد .

  • الحل

  • المساحة = ط نق2

  • = ط ( ٢س ص ٢ ) ٢

  • = ط ( ٢ ٢ س ٢ ص ٤ )

  • = ٤ س ٢ ص4 ط

  • إذن، مساحة الدائرة تساوي ٤س ٢ ص ٤ ط وحدة مربعة.


  • لتبسيط وحيدة حد، اكتب اجمع أسيهما ى عبارة مكافئة لها على أن:

  • • يظهر كل متغير على صورة أساس مرة واحدة فقط.

  • • لا تتضمن العبارة قوة قوة.

  • • تكون جميع الكسور في أبسط صورة.


  • : بسطى العبارة : ( 3س ص4)2 [ (-2ص)2 ]2

  • الحل



: حددى إذا كانت العبارات الآتية وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.

  • لا

  • لا

  • نعم

  • نعم

  • نعم

  • لا


  • = (2×9) (ك2+4) = 18ك6

  • = م4+2 = م6

  • = ك1+3= ك4


  • س وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.6ص4×6 = س6ص24

  • = 83

  • = 35 م8 ف4

  • 16أ8ب18حـ2

  • = 81ب20ن24

  • = -8ف6حـ9هـ6


  • : وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.مساحة سطح المكعب هي م = ٦ ض ٢، حيث م مساحة السطح، ض طول الضلع.

  • 1 عبر عن مساحة سطح المكعب المجاور على صورة وحيدة حد.

  • 2- ما مساحة سطح مكعب إذا كان أ= ٣، ب= ٤

بما أن م = 6ض2

أ) م = 6 (أ2 ب)2 = 6أ4ب2

م = 6(43) (4)2

= 6(81) (16) = 7776


= (-3)8 د16ن+حـ2

= 6561د16ن12حـ2

= 200س8 ص12ع4


=-21952 وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:. أ15ب12حـ8

= -18حـ7هـ3ل-1


: حددى إذا كانت العبارات الآتية وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.

  • نعم

  • نعم

  • لا

  • نعم

  • لا

  • لا


  • 6(ص6+4) (ع9+2)

  • 6ص10ع11

  • 2(ك2+4) = 2ك6


  • = -42ن وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.5 حـ4 هـ4

  • = (42)2= 82


  • = ك وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.20 ك28

  • = 64س6ص12


  • 1 /2(3حـ هـ) (8حـ وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.2هـ5)

  • = 3حـ3 هـ6

  • 1 /2(5حـ3د) (8حـ2د4)

  • = 20 حـ5 د5


  • 16م وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.21

  • 9 حـ16

  • 32000ك10م16

  • 512حـ27هـ18

  • 294ب27ر19

  • 800س8ص12ع4

  • 0.25س6

  • 8م3ب6

  • 288أ31ب26حـ30


ح=(4س وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.3)(2س2)

= 16س9

س2(3س2)(5س3)= 15س7


ا) ط = ك ع وحيدة حد، اكتبى "نعم" أو "لا"، وفسرى إجابتك:.2= 3 × (30×610)2 = 270 × 1410 جول

ب) ط = 6(3×710)2 = 54 × 1410 جول


س2 × س4

(س2)3

(س3)2


اكتب صيغتين تحوي كل منهما وحيدة حد. وفسر كيف تستعمل كلا منهما في مسائل من واقع الحياة.

5 أ ، 2 أ ب حـ


لا يتغير المقطع السينى حد. وفسر كيف تستعمل كلا منهما في مسائل من واقع الحياة.


فكرة الدرس حد. وفسر كيف تستعمل كلا منهما في مسائل من واقع الحياة.

  • أجد ناتج قسمة وحيدتى حد ـ أبسط عبارات تحتوى أسسا سالبة أو صفرا


المفردات حد. وفسر كيف تستعمل كلا منهما في مسائل من واقع الحياة.

  • رتبة المقدار


لماذا ؟ حد. وفسر كيف تستعمل كلا منهما في مسائل من واقع الحياة.

: بلغ عدد سكان محافظة الإحساء في عام ١٤٣١ هـ ١٠٦٣١١٢ نسمة أي مليون نسمة تقريبا أو 610، وبلغ عدد سكان محافظة الباحة في العام نفسه ١٠٣٤١١ نسمة أي ١٠٠ ألف نسمة تقريبا أو 510. فتكون نسبة عدد سكان الإحساء إلى عدد سكان الباحة في تلك السنة هي:

وهذا يعني أن عدد سكان الإحساء يساوي ١٠ أمثال عدد سكان الباحة.



  • قسمة القوى الكسور الاعتيادية لإيجاد ناتج قسمة وحيدتي حد .

  • عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس يطرح الأسان .

  • لأى عدد أ ≠ 0 وأى عددين صحيحين م ، ن فإن :


  • مثال الكسور الاعتيادية لإيجاد ناتج قسمة وحيدتي حد .

بسطى العبارة افترض أنا المقام لايساوى صفرا .

الحل :

  • = ( جـ3-1) ( هـ 5-2)

  • = جـ2 هـ3



  • قوى القسمة ناتج قوى قسمة وحيدات الحد انظر نمط الأسس في المثاليين الآتيين:

  • لإيجاد قوة ناتج قسمة ، اوجد كلا من قوة البسط وقوة المقام .

  • لأى عددين حقيقيين أ ، ب ≠ صفر وأى عدد صحيح م فإن


  • مثال ناتج قوى قسمة وحيدات الحد انظر نمط الأسس في المثاليين الآتيين:

  • بسطى العبارة

الحل :


  • أي عدد غير الصفر مرفوع للقوة صفر يساوي ١ .

  • لأي عدد حقيقي أ لا يساوي صفرا، أ ٠ = ١ .


: بسطى كل عبارة مما يأتي. افترضى أن المقام لا يساوي صفرا:

  • مثال

الحل :


  • تستعمل رتبة المقدار لمقارنة المقادير وتقدير الحسابات وإجرائها بسرعة، وتعبر عن العدد مقربا لأقرب قوة العشرة. فمثلا العدد ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠ مقربا لأقرب قوة العشرة هو١٠ ١١ أو ١٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠ ، لذا فإن رتبة المقدار ٩٥٠٠٠٠٠٠٠٠٠ هي ١٠ ١١ .


  • مثال

الحل :

  • أفهم

  • : علينا إيجاد رتبة طول كل من الرجل والنملة، ثم إيجاد النسبة بينهما.


  • خطط ومعدل طول النملة هو ٠٫٠٠٠٨ متر. فكم مرة تساوي رتبة مقدار طول الرجل رتبة مقدار طول النملة؟

  • : قربى كل طول إلى أقرب قوة للعدد ١٠ ، ثم أوجدى نسبة طول الرجل إلى طول النملة.

  • حـل

  • بما أن معدل طول الرجل قريب من ١ متر، لذا يكون رتبة مقدار طوله هي 010 أمتار.وبما أن معدل طول النملة يساوي ٠٫٠٠١ متر تقريبا. لذا يكون رتبة طول النملة هو10-3أمتار.



  • تحقق

نسبة طول الرجل إلى طول النملة هو = ٢١٢٥ وأقرب قوى العشرة للعدد 2125هى310 .


  • بسط طول النملة تقريبا. أو نسبة طول الرجل إلى طولى كل عبارة مما يأتي. افترضى أن المقام لا يساوي صفرا:

  • حـ هـ م

  • حـ3ن3

  • م ر3

  • هـ3 ل3

  • ن ل2 و5

  • س ص ع

  • ر4


  • 2ر هـ2 طول النملة تقريبا. أو نسبة طول الرجل إلى طول

  • 1


: ارتفع عدد مستعملي الإنترنت في المملكة من ٢٠٠٠٠٠ شخص عام ١٤٢١ هـ إلى١١٠٠٠٠٠٠ شخص عام ١٤٣١ هـ. حددى نسبة عدد مستعملي الإنترنت عام ١٤٣١ هـ إلى مستعمليهعام ١٤٢١ هـ باستعمال رتبة المقدار للعامين.

الحل


  • بسط في المملكة من ٢٠٠٠٠٠ شخص عام ١٤٢١ هـ إلىى كل عبارة مما يأتي. افترضى أن المقام لا يساوي صفرا:


  • : وصلت سرعة معالج الحاسوب عام ١٤١٤ هـ إلى ١٠ 8 عملية في الثانية تقريبا. وازدادتهذه السرعة إلى ( ١٠ ) ١٠ عملية في الثانية عام ١٤٢٥ ه . فبكم مرة يكون الحاسوب الجديد أسرع منالقديم؟

الحل


فكرة الدرس ١٤١٤ هـ إلى ١٠

  • أجد درجة كثيرة الحدود ـ أكتب كثيرة حدود بالصورة القياسية


المفردات ١٤١٤ هـ إلى ١٠

  • كثيرة حدود ـ ثنائية حدود ـ ثلاثية الحدود


لماذا ؟ ١٤١٤ هـ إلى ١٠

: يتوقع عالميا أن تسجل الأجهزة السمعية الرقمية أرقاما قياسية في المبيعات عام ٢٠١١ م. ويمكن تمثيل عدد المبيعات بالمعادلة:

ع= - ٢٫٧ ن ٢ + ٤٩٫٤ ن + ١٢٨٫٧


  • : علما بأن ع تمثل عدد الأجهزة التي يتم بيعها بالملايين، ن تمثل عدد السنوات منذ عام ٢٠٠٥ م. تمثل العبارة - ٢٫٧ ن ٢ + ٤٩٫٤ ن + ١٢٨٫٧ مثالاً على كثيرة حدود. ويمكن استعمال كثيرات الحدود لتمثيل بعض المواقف.


  • درجة كثيرات الحدود التي يتم بيعها بالملايين، ن تمثل عدد السنوات منذ عام ٢٠٠٥ م. تمثل العبارة - ٢٫٧ ن

  • : كثيرة الحدود هي وحيدة حد أو مجموع وحيدات حد. ُ تسمى كل وحيدة حد منها حدا في كثيرة الحدود. وبعض كثيرات الحدود تحمل أسماء خاصة. فثنائية الحد هي مجموع وحيدتي حد بأبسط شكل، وثلاثية الحدود هي مجموع ثلاث وحيدات حد بأبسط شكل.


  • مثال التي يتم بيعها بالملايين، ن تمثل عدد السنوات منذ عام ٢٠٠٥ م. تمثل العبارة - ٢٫٧ ن

: حددى إذا كانت كل عبارة فيما يأتي كثيرة حدود أم لا وإذا كانت كذلك فصنفيها إلى وحيدة حد، أو ثنائية حد ، أو ثلاثية حدود:


  • : درجة وحيدة الحد هي مجموع أسس كل متغيراتها. ودرجة الثابت غير الصفر تساوي صفرا. وليس للصفر درجة. درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لجميع حدودها. ولإيجاد درجة كثيرة حدود، يتعين عليك أولاً إيجاد درجة كل حد فيها. ويمكن تسمية بعض كثيرات الحدود اعتمادا على درجتها، فتسمى ذات الدرجة صفر: ثابتة، وذات الدرجة ١: خطية، وذات الدرجة ٢: تربيعية، وذات الدرجة ٣: تكعيبية


  • أوجدى درجة كثيرة الحدود: متغيراتها. ودرجة الثابت غير الصفر تساوي صفرا. وليس للصفر درجة. درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لجميع حدودها. ولإيجاد درجة كثيرة حدود، يتعين عليك أولاً إيجاد درجة كل حد فيها. ويمكن تسمية بعض كثيرات الحدود اعتمادا على درجتها، فتسمى ذات الدرجة صفر: ثابتة، وذات الدرجة ١: خطية، وذات الدرجة ٢: تربيعية، وذات الدرجة ٣: تكعيبية

  • ٢د ٣ - ٩ جـ ٥ د- ٧ :

  • مثال

  • الحل

  • الخطوة 1: أوجدى درجة كل حد.

  • درجة الحد ٢د ٣ = ٣، درجة الحد - ٩جـ ٥ د = ٥ + ١ = ٦

  • درجة الحد - ٧ هي صفر

  • الخطوة 2: درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لجميع حدودها، وتساوي ٦.


  • كثيرات الحدود بالصورة القياسية متغيراتها. ودرجة الثابت غير الصفر تساوي صفرا. وليس للصفر درجة. درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لجميع حدودها. ولإيجاد درجة كثيرة حدود، يتعين عليك أولاً إيجاد درجة كل حد فيها. ويمكن تسمية بعض كثيرات الحدود اعتمادا على درجتها، فتسمى ذات الدرجة صفر: ثابتة، وذات الدرجة ١: خطية، وذات الدرجة ٢: تربيعية، وذات الدرجة ٣: تكعيبية

  • : يمكن كتابة كثيرة الحدود بأي ترتيب. ولاستخدام الصورة القياسية لكثيرة الحدود بمتغير واحد، تكتب الحدود بالترتيب من أكبرها درجة إلى أصغرها. وعندما ُ تكتب كثيرة الحدود بالصورة القياسية، فإن معامل أول حد فيها ُ يسمى المعامل الرئيس .


: اكتبى كثيرة الحدود 5ص -9-2ص متغيراتها. ودرجة الثابت غير الصفر تساوي صفرا. وليس للصفر درجة. درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لجميع حدودها. ولإيجاد درجة كثيرة حدود، يتعين عليك أولاً إيجاد درجة كل حد فيها. ويمكن تسمية بعض كثيرات الحدود اعتمادا على درجتها، فتسمى ذات الدرجة صفر: ثابتة، وذات الدرجة ١: خطية، وذات الدرجة ٢: تربيعية، وذات الدرجة ٣: تكعيبية4 -6ص3 بالصورة القياسية وحدد المعامل الرئيس فيها :

  • مثال

  • الحل

  • الخطوة 1: أوجد درجة كل حد .

  • الخطوة2: اكتب الحدود بترتيب تنازلي لدرجاتها: - ٢ص ٤ – ٦ص ٣ + ٥ص - ٩ فيكون المعامل الرئيس هو -2.


: تمثل المعادلة ع= ٣ن متغيراتها. ودرجة الثابت غير الصفر تساوي صفرا. وليس للصفر درجة. درجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة لجميع حدودها. ولإيجاد درجة كثيرة حدود، يتعين عليك أولاً إيجاد درجة كل حد فيها. ويمكن تسمية بعض كثيرات الحدود اعتمادا على درجتها، فتسمى ذات الدرجة صفر: ثابتة، وذات الدرجة ١: خطية، وذات الدرجة ٢: تربيعية، وذات الدرجة ٣: تكعيبية٢ - ٢ن+ ١٠ عدد أطنان الأسمنت بمئات الألوف التي أنتجها أحد المصانع من عام ١٤٢٦ هـ إلى ١٤٣١ هـ ، حيث ن عدد السنوات منذ عام ١٤٢٦ هـ ، فما عدد أطنان الأسمنت المنتجة في عام ١٤٢٨ هـ ؟

  • مثال

  • الحل

  • أوجد قيمة ن وعوضها في المعادلة لإيجاد عدد أطنان الأسمنت.

  • بما أن ن تمثل عدد السنوات منذ عام ١٤٢٦ هـ ، فإن ن= ١٤٢٨ هـ – ١٤٢٦ هـ = ٢

  • ع = ٣ ن ٢ - ٢ن + ١

  • = ٣( ٢) ٢ - ٢ ( ٢) + 10

  • = ٣ ( ٤) - ٤ + ١

  • = ١٢ - ٤ + ١٠ = ١

  • بما أن ع بمئات الألوف، فإن عدد الأطنان المنتجة كان ١٨ ألفا، أو ١٨٠٠٠٠٠


: حددى إذا كانت كل عبارة فيما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإذا كانت كذلك، فصنفها إلى: وحيدة حد، أو ثنائية حد، أو ثلاثية حدود:

الحل

الحل

الحل

الحل

  • ليست كثيرة حدود

  • كثيرة حدود

  • ثنائية حد

  • كثيرة حدود

  • وحيدة حد

  • كثيرة حدود

  • ثلاثية حدود


أوجد درجة كل كثيرة حدود فيما يأتي:

  • من الدرجة الرابعة

  • من الدرجة الصفرية

  • من الدرجة الاولى

  • من الدرجة الصفرية

  • من الدرجة الرابعة

  • من الدرجة السابعة

  • من الدرجة الثالثة


: اكتب كل كثيرة حدود فيما يأتي بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

الحل

الحل

الحل

  • = 4أ3 -5أ2 +2أ -1

  • المعامل الرئيسى= 4

  • = -5ع4-2ع2-5ع4

  • المعامل الرئيسى = -5

  • = -ص3+3ص-3ص2+1

  • المعامل الرئيسى= -1


  • 4550 طالب بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

  • 7650 طالب


  • كثيرة حدود بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:ثلاثية حدود

  • كثيرة حدود وحيدة حد

  • كثيرة حدود وحيدة حد

  • كثيرة حدود ثنائية حد

  • كثيرة حدود ثنائية حد

  • ليست كثيرة حدود


  • من الدرجة الأولى

  • من الدرجة الرابعة

  • من الدرجة السابعة

  • من الدرجة الخامسة

  • من الدرجة الثالثة


الحل بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

الحل

الحل

  • 5س2+3س-2

  • المعامل الرئيسى=5

  • = -5حـ2-3حـ+4

  • المعامل الرئيسى=-5

  • = 7ص3+8

  • المعامل الرئيسى=7


الحل بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

الحل

الحل

  • = -4د4-د2+1

  • المعامل الرئيسى=-4

  • =-ب6-9ب2+10ب

  • المعامل الرئيسى=-1

  • المعامل الرئيسى=-3


  • ب) ن = 5 = ع= -5(5)2 + 50(5) +1

  • = -125 + 250 +1 = 126


  • ب) حجم الصاروخ = 18ط + 18ط = 36 ط سم3


6-4 بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

جمع كثيرات الحدود وطرحها


فكرة الدرس بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

  • أجمع كثيرات حدود ـ أطرح كثيرات حدود


إستعد بالصورة القياسية، وحدد المعامل الرئيس:

: يمكن تمثيل العدد التقريبي لحجاج الداخل ( ع ١) وحجاج الخارج ( ع ٢) بمئات الألوف من عام ١٤٢٨ إلى ١٤٣١ ه بالمعادلتين: ع ١= ٠٫١٩٣١ س ٣ – ٠٫٢٨٤١ س ٢ + ٠٫١٨٠٨ س + ٦٫٧ ع ٢= ٠٫٢٦٧٥ س ٣ – ١٫٠٢ س ٢ + ٠٫٩٧ س + ١٧٫٠٨ حيث س عدد السنوات منذ ١٤٢٨ هـ .

إن إجمالي عدد الحجاج تقريبا يمثل ب ع ١ + ع ٢


: جمع كثيرات الحدود : يمكن جمع كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .


  • مثال كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

أوجدى ناتج كل مما يأتى :

( س ٢ + ٥س - ٧) + ( ٣ - ٤ س ٢ + ٦س)

الحل :

  • الطريقة الأفقية

  • ( ٢ س ٢ + ٥س - ٧ ) + ( ٣ - ٤ س ٢ + ٦س )

  • =[ ٢ س ٢ + (- ٤ س ٢ ) ] + [ ٥ س + ٦س ] + [ - ٧ + ٣ ]

  • = - ٢ س ٢ + ١١ س - ٤


  • الطريقة الرأسية كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

  • 2س2 + 5س -7

  • + -4س2 + + ٦س+ 3

  • -----------------

  • - ٢ س ٢ + ١١ س - 4

  • المعادلة هي: ن = ١١ ش + 215


  • مثال كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

  • أوجد ناتج ( ٧ك + ٤ك ٣ - ٨) - ( ٣ك ٢ + ٢- ٩ك)

الحل :


  • مثال كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

تمثل المعادلتان أدناه عدد الهواتف المحمولة ه، وعدد آلات التصوير الرقمية كالتي بيعت في ش شهر لمتجر بيع إلكترونيات: ه= ٧ش + ١٣٧ ، ك = ٤ش+ ٨٧ . اكتبى معادلة تمثل المبيعات الكلية من الهواتف وآلات التصوير (ن) شهريا، واجمعى كثيرتي الحدود هـ ، ك.

الحل :

  • المبيعات الكلية = مبيعات الهواتف المحمولة + مبيعات آلات التصوير الرقمية

  • ن = ٧ش + ١٣٧ + ٤ش + ٧٨

  • = ١١ ش + ٥ ٢١ اجمعى الحدود المتشابهة.

  • المعادلة هي: ن = ١١ ش + 215


  • أوجد ناتج كلٍّ مما يأتي: كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

  • -جـ2 – 2حـ

  • 4س3 + 5

  • -8ع2-3ع2-2ع+13

  • -13ص2 + 11ص

  • 9ن2 -5ن

  • -2د2 +6د-20


  • 22ن +28 كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

  • 22(18) +28 = 424 طالب

  • 22×(21) + 28 = 490 طالب


  • 3حـ2 – حـ2 – 3حـ + 3 كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

  • 4ص2 + 3ص + 3

  • -2س -5ص +1

  • 2ع2 + ع-11

  • -س2ص – 3س2 + 4ص

  • 2أ -2ب2 + 9

  • - حـ د2+ 6حـ د - 10

  • 3أ2ب -2أب +7 أب2

  • 7ن3 – 7ن2 – ن-6


  • = -1.42 س2 + 2128 س + 1500 + 75س كثيرتى حدود بجمع الحدود المتشابهة ويمكن تجميع الحدود المتشابهة باستعمال الطريقة الأفقية أو الرأسية .

  • = -1.42 س2 + 22.3س + 1500

  • سعر بيع 750 تلفاز = -1.42 (750)2 + 2203 (750) + 1500

  • = 155000 ريالا



فكرة الدرس (س2-س-4+2س2-10س+6)

أضرب وحيدة حد فى كثيرة حدود


المفردات (س2-س-4+2س2-10س+6)

  • أحل معادلات تتضمن وحيدات حد فى كثيرات حدود


لماذا ؟ (س2-س-4+2س2-10س+6)

  • : يريد ناد رياضي بناء قاعة خاصة بالاجتماعات، على أن يزيد طولها على ثلاثة أمثال عرضها ب ٣ أمتار. ولمعرفة مساحة أرض القاعة لتغطيتها بالسجاد نضرب عرض القاعة في طولها. ض ( ٣ض + ٣)


ضرب وحيدة حد فى كثيرة حدود : (س2-س-4+2س2-10س+6)

يمكنك استعمال خاصية التوزيع لإيجاد ناتج ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود.


-3س2 (7س2 – س +4 )

  • الحل

الطريقة الأفقية

- ٣ س ٢ ( ٧ س ٢ - س + ٤ )

= - ٣ س ٢( ٧ س ٢) - (- ٣ س ٢ )(س) + (- ٣ س ٢ )( ٤)

= - ٢١ س ٤ - (- ٣ س ٣ ) + (- ١٢ س ٢ )

= - ٢١ س ٤ + ٣ س ٣ - ١٢ س2


بسِّطى ٢ل (- ٤ ل ٢ + ٥ل ) - ٥ ( ٢ ل ٢ + ٢٠ )

  • الحل

٢ل (- ٤ ل ٢ + ٥ل ) - ٥ ( ٢ ل ٢ + ٢٠ )

= ( ٢ل) (- ٤ ل ٢) + ( ٢ل)( ٥ل) + (- ٥) ( ٢ ل ٢ ) + (- ٥)( ٢٠ )

= - ٨ ل ٣ + ١٠ ل ٢ - ١٠ ل ٢ - ١٠٠

= - ٨ ل ٣ + ( ١٠ ل ٢ - ١٠ ل ٢ ) - ١٠٠

= - ٨ ل ٣ – 100


حل المعادلة: ٢أ( ٥أ - ٢) + ٣أ( ٢أ + ٦) + ٨ = أ( ٤أ + ١) + ٢أ( ٦أ - ٤) + ٥٠ .

  • الحل

٢أ( ٥أ - ٢) + ٣أ( ٢أ + ٦) + ٨ = أ( ٤أ + ١) + ٢أ( ٦أ - ٤) + ٥٠

١٠ أ ٢ - ٤أ + ٦ أ ٢ + ١٨ أ + ٨ = ٤ أ ٢ + أ + ١٢ أ ٢ - ٨أ + ٥٠

١٦ أ ٢ + ١٤ أ + ٨ = ١٦ أ ٢ - ٧أ + ٥٠

١٤ أ + ٨ = - ٧أ + ٥٠

٢١ أ + ٨ = ٥٠ أض

٢١ أ = ٤٢

أ = ٢


: أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: (س2-س-4+2س2-10س+6)

  • = 18حـ5+24حـ4+16حـ3-6حـ2

  • = -15ن3 + 10ن2 – 20ن

  • 14أ5ب3 + 2أ6ب2 -4أ2ب

  • = -6ل6ر7+18ل10ر6+15ل4ر3


  • = 3س3 +18س -6

  • -5د4حـ2 – 4د3 حـ + 8د2حـ2 + د حـ4


  • = ب3 -12ب2 + ب

  • 8ن5ل3 – 4ن4ل5 + 8ن3ل

  • = 4ب2ر3 + 10ب3ر3 -30ب2ر2


  • = -8أ (س2-س-4+2س2-10س+6)3 + 20أ2 + 4أ -12

  • = -13س2 – 9س - 27

  • = -9حـ3 + 21حـ2 +12

  • 20د3 – 41د + 35

  • 12ن4ب2 + 12 ن2ب2 + 20ن2 - 8ن ب3 + 12ب2


  • = 2160 – 300 = 1860 متر


  • ن = 2 (س2-س-4+2س2-10س+6)

  • حـ = 0


  • = 20 ن ب4 + 6ن3ب3 -8ن ب2

  • = -س2ع3 + 5س4ع3 + 3س4ع4


  • مساحة الممر = 2.5س (س+6 ) –س (1.5س +24)

  • = 2.5س2 + 15 – 1.5 س2 -24س

  • = س2 – 24س + 15


  • 3س2 + 6س

  • الأولى

  • س+2

  • الأولى

  • الخامسة

  • أ4 ب + 4أ ب

  • الثانية

  • س3+4

  • الثانية

  • أ ب

  • الخامسة

  • س4ص +5س2ص

  • الثانية

  • س2+5

  • الثانية

  • وحيدة حد من الدرجة أ × كثيرة حدود من الدرجة ب = كثيرة حدود من الدرجة ( أ +ب )




لماذا ؟ التوزيع

لخياطة ثوب نستخدم قطعة من القماش مستطيلة الشكل. ويحدد ُ بعداها بناء على طول لابسه وعرضه. فإذا كان طول قطعة القماش المراد تفصيلها كثوب لأمين يساوي ع زائد ١٨٠ سم، أو (ع + ١٨٠ ) سم.


ضرب ثنائى حد : التوزيع

تستعمل خاصية التوزيع لضرب ثنائيتي حد مثل ع + ١٨٠ ، 1/ 2 ع + ٢٧ . ويمكن ضرب ثنائيتي الحد أفقيا أو رأسيا.


أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:

( س+ ٣) (س+ ٥)

الحل :


  • التوزيع بالترتيب التوزيع

  • تسمى الصيغة المختصرة لخاصية التوزيع في ضرب ثنائيتي حد بطريقة التوزيع بالترتيب.


  • مثال

الحل :

  • = ( ٢ص)( ٣ص) + ( ٢ص)( ٥) + (- ٧)( ٣ص) + (- ٧)( ٥)

  • = ٦ ص ٢ + ١٠ ص - ٢١ ص – ٣

  • = ٦ ص ٢ - ١١ ص - ٣


  • : لاحظ أنه عند ضرب عبارتين خطيتين، تكون النتيجة عبارة تربيعية. العبارة التربيعية هي عبارة ذات متغير واحد من الدرجة الثانية. ونتيجة ضرب ثلاثة عبارات خطية، هي عبارة من الدرجة الثالثة.

  • يمكن استعمال طريقة التوزيع بالترتيب لإيجاد عبارة تمثل مساحة مستطيل ُ أعطي بعداه على صورة ثنائيتي حد.


  • مثال

الحل :

  • أفهم

  • نحتاج إلى كتابة عبارة لمساحة البركة والممر حولها.


  • خطط الشكل. فإذا كان عرض الممر هو س متر. فاكتب عبارة تمثل مساحة البركة والممر معا.

  • استعمل صيغة مساحة المستطيل بعد تحديد طول

  • البركة وعرضها بالإضافة إلى عرض الممر.

  • حـل

  • بما أن الممر منتظم من جميع جهات البركة، فإن طول المستطيل الممثل للبركة والممريزيد على طول البركة بمقدار ٢س، وكذلك العرض. لذا يمكن تمثيل الطول بِ ٢س+ ٧ والعرض بِ ٢س+ ٥.


  • المساحة = الطول × العرض مساحة المستطيل

  • = (٢س+ ٧) ( ٢س+ ٥) بالتعويض

  • = ٢ س( ٢س)+ ٢س( ٥)+ ( ٧) ( ٢س)+ ( ٧) ( ٥ )

  • = ٤ س ٢+ ١٠ س+ ١٤ س+ ٣٥ اضرب

  • = ٤  س ٢+ ٢٤ س+ ٣٥ اجمع الحدود المتشابهة.



  • اختر قيمة لـِ س وعوضها في العبارتين

  • ( ٢س+ ٧) ( ٢س+ ٥)، ٤ س ٢+ ٢٤ س+ ٣٥ .

  • ستجد أن النتيجة هي نفسها لكلا العبارتين.


  • مثال

الحل :

  • ( ٦س + ٥ ) ( ٢ س ٢ - ٣س - ٥)

  • = ٦س ( ٢ س ٢ - ٣س - ٥ ) + ٥ ( ٢ س ٢ - ٣س - ٥ )

  • = ١٢ س ٣ - ١٨ س ٢ - ٣٠ س + ١٠ س ٢ - ١٥ س – ٢٥

  • ١٢ س ٣ - ٨ س ٢ - ٤٥ س - ٢


ب2 -4ب -21

ص2 + 2ص -8

س2 + 7س +10

=10أ+ 33أ -54

=16هـ2 – 26هـ+3

= 4ن2 +39ن +27


4س2 + 180س + 2000 والبركة معا هي،

16ص4 + 28ص3 – 4ص2 -21ص-6

5س4 -17س3 + 9س2 +31س -20


6م2 +19م +15 والبركة معا هي،

24د2 -62د +35

15ص2 -17ص+4

40ل2 -68ل س + 24س2

25ر2 -49

144ن2 -25

المسافة الكلية = ( 2س + 8) ( 2س + 6)

= 4س2 + 28س + 48


=36أ والبركة معا هي،3 +71أ2 – 14أ -49

= 2ص3-17ص2+37ص-22

=5س4+19س3-34س2+11س-1

2م3 + 5م -4


= 24س والبركة معا هي،2 – 3 /2

= ط (4س2+12س+9) - ( 3س2 +5س+2)


= 56ص2 – 26ص -10 والبركة معا هي،

= 224 – 62 = 162

3س2 + 7 /2 س – 3/ 2

س > 4

مساحة المربع > مساحة المستطيل

= س2 -4س +4- س2 +4س = 4


س2 +10س +25 والبركة معا هي،

9ص2+6ص+1

( هـ + م)2 = هـ2 + 2 هـ م + م2

ع2 + 2ع ك + ك

مربع الأول وضعف حاصل ضرب الأول فى الثانى ومربع الثانى

أ2 + 2أ ب + ب2



لماذا؟ بينهما

: يريد محمد تثبيت لوحة الرمي بالسهام إلى لوح خشبي مربع الشكل.

: فإذا كان نصف قطر لوحة السهام هو نق+ ١٢ ، فما بعدا اللوح الخشبي؟


  • : يعرف محمد أن قطر لوحة السهام هو ٢ (نق + ١٢ ) = ٢نق + ٢٤ . فيكون طول كل ضلع من أضلاع المربع يساوي ٢نق + ٢٤ .

  • ولإيجاد مساحة لوح الخشب الذي يحتاج إليه، فإن عليه إيجـاد مساحة المربع. م= ( ٢نق+ ٢٤ ) ٢


  • : بعض أزواج ثنائيات الحد، كالمربعات مثل ( ٢نق + ٢٤ ) ٢ لها ناتج ضرب يتبع قاعدة معينة. واستعمال هذه القاعدة يسهل من عملية إيجاد ناتج الضرب. فمربع المجموع (أ+ ب) ٢ = (أ+ ب) (أ+ ب) هو أحد نواتج الضرب تلك.


أوجدى ناتج: ( ٣ س + ٥ ) ٢

الحل :

  • (أ + ب ) ٢ = أ ٢ + ٢أ ب + ب ٢

  • ( ٣س + ٥ ) ٢ = ( ٣س ) ٢ + ٢( ٣س)( ٥) + ٥

  • = ٩ س ٢ + ٣٠ س + ٢٥


ولإيجاد قاعدة مربع الفرق بين حدين، اكتب أ- ب على صورة أ+ (- ب) وربع الناتج باستعمال قاعدة مربع مجموع حدين.

(أ - ب ) ٢ = [أ + (-ب) ] ٢ = أ ٢ + ٢(أ)(-ب) + (-ب ) ٢

= أ ٢ - ٢أب + ب ٢


  • مثال حدين، اكتب أ- ب على صورة أ+ (- ب) وربع الناتج باستعمال قاعدة مربع مجموع حدين.

أوجد ناتج: ( ٢س - ٥ ص) ٢ .

الحل :

  • (أ - ب ) ٢ = أ ٢ - ٢أ ب + ب ٢ مربع الفرق

  • ( ٢س - ٥ص ) ٢ = ( ٢س ) ٢ - ٢( ٢س)( ٥ص) + ( ٥ص ) ٢

  • = ٤ س ٢ - ٢٠ س ص + ٢٥ ص2


  • : يسمى ناتج مربع المجموع أو مربع الفرق بين حدين بالمربع الكامل أو ثلاثي الحدود الذي يشكل مربعا كاملا. ويمكننا استعمال هذه القواعد لإيجاد أنماط لحل مسائل من واقع الحياة.


  • مثال الفرق بين حدين بالمربع الكامل أو ثلاثي الحدود الذي يشكل مربعا كاملا. ويمكننا استعمال هذه القواعد لإيجاد أنماط لحل مسائل من واقع الحياة.

: طول ضلع مكعب ألمنيوم أقل من طول ضلع مكعب نحاس بِ ٤سم. اكتب معادلة تمثل مساحة سطح مكعب الألمنيوم بدلالة طول ضلع مكعب النحاس.

الحل :

  • ليكن ج طول ضلع مكعب النحاس،

  • إذن طول ضلع مكعب الألمنيوم ج - ٤.

  • مساحة السطح = ٦ ل ٢

  • مساحة السطح = ٦(ج - ٤ ) ٢

  • مساحة السطح = ٦ [ ج ٢ - ٢( ٤)(ج) + ٤ ٢ ]

  • مساحة السطح = ٦ ( ج ٢ - ٨ج + ١٦ )


  • ناتج ضرب مجموع حدين الفرق بين حدين بالمربع الكامل أو ثلاثي الحدود الذي يشكل مربعا كاملا. ويمكننا استعمال هذه القواعد لإيجاد أنماط لحل مسائل من واقع الحياة.فى الفرق بينهما

  • سنرى الآن ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما، (أ+ ب) (أ- ب). تذكر أنه يمكن كتابة أ - ب على الصورة أ + (- ب).



  • مثال معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

أوجد ناتج: ( ٢ س ٢ + ٣)( ٢ س ٢ - ٣).

الحل :

  • (أ + ب)(أ - ب) = أ ٢ - ب ٢

  • ( ٢ س ٢ + ٣)( ٢ س ٢ - ٣) = ( ٢ س ٢) ٢ - ( ٣ ) ٢

  • = ٤ س ٤ - ٩


أوجد ناتج كل مما يأتي: معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

(س + ٥ )2

الحل

س2 + 10س + 25


( ١١- أ )2 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

الحل

121 – 22أ + أ2


( 2س + 7ص)2 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

الحل

4س2 + 28س ص + 46 ص2


(3م -4) (3م -4) معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

الحل

(3م -4) 2 = 9م2 – 24م + 16


( حـ - 4هـ) ( حـ - 4هـ ) معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

الحل

= حـ - 4هـ )2 = حـ2 – 8 حـ هـ + 16هـ2


ط نق2 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

= ط(س + 3)2 = ط (س2 + 6س + 9)

المساحة = ط × (24 /2)2 = 144 ط سم2


س2 - 25 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

36ص2 - 49

أ2 - 9


هـ2 + 14هـ +49 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

ب2 -12ب + 36

أ2 + 20أ + 100

81-36ص +4ص2

64-16م +م2

س2 + 12س +36

64هـ2 – 64هـ ن + 16ن2

25 -20ن + 4

4ب2 + 12ب +9


ط ( ر +3)2 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

ط (ر2 +6 ر + 9) م2

= مساحة المربع – مساحة الدائرة الكبرى

= (12)2 – ط ( ر2 + 6ر + 9)

= 144 + ط (ر2 + 6ر + 9)


4ك2 – 25ر2 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

16 – س2

ل2 - 9

64 – 160 أ + 100أ2

25ص2 + 70ص +49

9أ4 – 49 ب2

30 ك ر + 25ر2

أ2 + 8أ ب + ب2

9ن2 - 144

4 حـ 2 – 36 حـ د + 81 د2

25س4 – 10س2 ص2 + ص4

9أ8 – ب2

64أ4 – 81ب6

9/ 16ك2 + 12ك + 64

49ع4 – 25ص4

= (ر2 – 4) (ر2 -25) = ر4 -29ر2 + 100

= 4م3 + 16م2 – 9م -36


معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.2 + 2س + 5

= حـ3 + 3حـ2 د + 3 حـ د2 + د3

ف3 + حـ ف2 – حـ2 ف – حـ3

ك2 – 3ك2 ر + 3ك ر2 – ر3

ن3 – ن ب2 – ب ن2 + ب3

ك3 – ك2 م – م2 ك + م3


مساحة المربع الكبير = أ2 معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر.

مساحة المربع الصغير = ب2

السماحة المتبقية = أ2 – ب2

الطول = أ + ب العرض = أ – ب

م المستطيل = ( أ –ب ) ( أ +ب ) = أ2 ب2

المساحة المتبقية من مربعين =

مساحة المستطيل الذى بعداه مجموع البعدين× الفرق بينهما