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离 散 数 学. 电子教案 西北大学 信息科学与技术学院. 绪 言. 1 ． 计算机科学与离散数学 介绍离散数学在计算机科学发展中的作用与关系，明确离散数学是掌握与研究计算机科学的基础理论与工具。 2 ．离散数学的特征 离散性 能行性 3 ．离散数学的内容 离散数学的主要内容为： 数理逻辑 集合论 代数系统 图论. 第一篇 数理逻辑.
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离 散 数 学 电子教案 西北大学 信息科学与技术学院
绪 言 1． 计算机科学与离散数学 介绍离散数学在计算机科学发展中的作用与关系，明确离散数学是掌握与研究计算机科学的基础理论与工具。 2．离散数学的特征 离散性 能行性 3．离散数学的内容 离散数学的主要内容为： 数理逻辑 集合论 代数系统 图论
第一篇 数理逻辑 数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑演绎推理规则的科学，它是一门数学，是一门研究演绎推理规则的数学，在学习此部分时，主要要掌握如下几个要点： ① 思维的形式化 ② 指派法 ③ 公式推理 ④ 公理系统 ⑤ 范式 ⑥ 自动定理证明
本篇由命题逻辑、谓词逻辑、公理化理论及非经典逻辑等四部分组成，其中命题逻辑以命题为研究对象而谓词逻辑则以谓词为研究对象，而公理化理论则是数理逻辑中演绎推理的形式化思想的介绍，最后非经典逻辑则介绍若干种计算机科学中常用的一些特殊形式逻辑，以上四部分有机结合构成完整的整体。本篇由命题逻辑、谓词逻辑、公理化理论及非经典逻辑等四部分组成，其中命题逻辑以命题为研究对象而谓词逻辑则以谓词为研究对象，而公理化理论则是数理逻辑中演绎推理的形式化思想的介绍，最后非经典逻辑则介绍若干种计算机科学中常用的一些特殊形式逻辑，以上四部分有机结合构成完整的整体。
§1.4 命题逻辑基本等式 （6）命题逻辑42个基本等式。 交换律 P∨Q＝Q∨P； P∧Q＝Q∧P； PQ＝QP． 结合律 （P∨Q）∨R＝P∨（Q∨R）； （P∧Q）∧R＝P∧（Q∧R）； （PQ）R＝P（QR）． 分配律 P∧（Q∨R）＝（P∧Q）∨（P∧R）； P∨（Q∧R）＝（P∨Q）∧（P∨R）；
否定深入 P＝P； （P∧Q）＝P∨Q； （P∨Q）＝P∧Q； （PQ）＝P∧Q； (14)（PQ）＝PQ＝PQ； 变元等同 P∧P＝P； P∨P＝P； P∧P＝F； P∨P＝T； PP＝T； PP＝P； PP＝P； PP＝T； PP＝PP＝F；
常值与变元的联结 T∧P＝P； F∧P＝F； T∨P＝T； F∨P＝F； TP＝P； FP＝T； PT＝T； PF＝P； TP＝P； FP＝P；
联结词化归 P∧Q＝（P∨Q）； P∨Q＝（P∧Q）； PQ＝P∨Q； PQ＝（PQ）∧（QP） 其它 PQ＝QP (PQ)∧（PR）＝PQ∧R P∨（P∧Q）＝P P（QR）＝P∧QR P∧（P∨Q）＝P
§1.5 对偶定理 （7）对偶公式定义 （8）对偶公式性质： 一个等式成立其对偶等式也成立
§1.6 命题逻辑基本蕴含式及推理规则 （9）19个基本蕴含重言式 P∧QP； P∧QQ； P P∨Q； QP∨Q； PPQ； QPQ； （PQ）P； （PQ） Q；
P∧（P∨Q）Q； Q∧（P∨Q）P； P∧（PQ）Q； Q∧（PQ）P； (PQ)∧(QR) PR； (PQ)∧(RS) P∧RQ∧S； (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R； P(QP∧Q)； (PQ)((QR)(PR))； (P(QR))(Q(PR))； (PQ)((RQ)(P∨RQ))．
（10）11个推理规则 P，QP； P，QQ； PP∨Q； QP∨Q； P，QP∧Q； P，P∨QQ； P，PQQ； Q，PQP； PQ，QRP R； PQ，RSP∧R Q∧S； P∨Q，PR，QRR；
§1.7 范式 （11）范式——命题公式的一种标准形式 （12）特异析取范式：该范式是一个析取式，每个析取项是所有命题变元式其否定的合取式。 （13）特异合取范式：该范式是一个合取式，每个析取项是所有命题变元式其否定的析取式。
§1.8 命题联结词的扩充与归约 （13）命题联结词的扩充——异或：、与非：、或非：、蕴含否定：C （14）命题联结词的归约 命题联结词可归约为如下形式之一： {, } {, } {} {}
第二章 谓词逻辑 §2.1 谓词与个体 （1）个体 个体常量与个体变量 个体域与全总个体域 （2）谓词 一元谓词——刻划个体性质 二元谓词——刻划两个个体间关系 n元谓词——刻划n个个体间关系
量词 （3）存在量词：x P (x)——“有一些”之语义 （4）全称量词：x P (x)——“所有”之语义 （5）量词的辖域——量词所作用的范围 函数 （6）函数——个体间的特定关系称函数，它是个体间的映射。 f (x)中X是个体而f为函数符号，f (x)为函数。
§2.2 谓词逻辑公式 （7）谓词逻辑公式 项：个体是项，函数是项 原子公式：P（t1 , t2 ,…tn）是原子公式（其中ti为项） 公式： 原子公式是公式； A，B是公式，则（A）,（A∨B）,（A∧B）,（AB）， （AB）是公式； A是公式，x为个体变量，则（x）A，（x）A为公式； 公式由且仅由有限次使用前面三步而得。
§2.3 自由变元与约束变元 （8）谓词公式中的自由变元与约束变元 谓词公式中的自由变元与约束变元 约束变元的改名规则——改名在量词变元及其辖域中该变元的约束出现处进行且该变元不在量词辖域内出现过。 自由变元的代入规则——代入在公式的自由变元出现的每一处进行且该代入变元不允许在式中以任何约束形式出现。
§2.4 谓词逻辑永真公式 （9）谓词逻辑永真公式定义 谓词公式的解释与赋值 （10）谓词逻辑永真公式定义——公式在所有解释下对所有赋值均为真 （11）谓词逻辑永真公式等式： （xP（x））＝x（P（x）） （x P（x））＝x（P（x）） xP（x）∨Q＝x（P（x）∨Q） xP（x）∧Q＝x（P（x）∧Q）
xP（x）∨Q＝x（P（x）∨Q） xP（x）∧Q＝x（P（x）∧Q） xyP（x , y）＝yx（P（x , y） xyP（x , y）＝yx（P（x , y） x P（x）Q＝x（P（x）Q） x P（x）Q＝x（P（x）Q） Qx P（x）＝x（Q P（x）） Qx P（x）＝x（Q P（x）） x（P（x）∧Q（x））＝x（P（x）∧x Q（x） x（P（x）∨Q（x））＝x（P（x）∨x Q（x）
（12）谓词逻辑的蕴含永真公式 xyP（x , y）yx（P（x , y）） xP（x）P（x） P（x）x P（x） xP（x）∨x Q（x）x（P（x）∨Q（x）） xP（x）∧x Q（x）x（P（x）∧Q（x）） x（P（x）x（P（x）） x（P（x）Q（x））x（P（x）x Q（x） x（P（x）Q（x））xP（x）x Q（x）
§2.5 范式 （13）前束范式——公式的所有量词均非否定的出现在公式最前面，它的辖域一直延伸至公式末尾，且公式中不出现与。 （14）斯科林范式——前束范式的首标处仅出现全称量词且公式中不出现自由变元x1x2…xnM（x1 , x2,…, x n）
命题逻辑与谓词逻辑的公理化理论 （16）公理系统的组成 命题：P1，P2，…，Pn； 命题联结词：，∨，∧，，； 个体常量：a，b，c，x，y，z； 个体变量：P，Q，R…； 函 数：f，g，h； 谓 词：，； 括 号：（，）
项： ①个体常量是项； ② 个体变量是项； ③f是n元函数，t1，t2，…,tn是项，则 f(t1，t2，…,tn)是项； ④ 项由且仅由有限次使用①、②、③而得。
原子公式：P是n元谓词，t1，t2，…，tn是项， 则P（t1，t2，…，tn)是原子公式。 命题逻辑公式： ① 命题是公式； ②P是公式则（P）是公式； ③ P，Q是公式则（P∨Q），（P∧Q），（PQ）， （PQ）是公式； ④公式由且仅由有限次使用① ， ② ， ③ 而得。
谓词逻辑公式： ① 原子公式是公式； ② A，B是公式则：（A），（A∨B），（A∧B），（AB）,（AB）是公式； ③ A是公式则（x）A，（x）B是公式； ④公式由且仅由有限次使用①、②、③而得。
（17）公理系统的推理 1）公理 如P，Q，R为公式，则有下述的公理： ① PP； ② （P（QR））（Q（PR））； ③ （PQ）（（QR）（PR））； ④ （P（PQ））（PQ）； ⑤ （PQ）（PQ）； ⑥ （PQ）（QP）；
⑦ （PQ）（QP）（PQ））； ⑧ P∧QQ； ⑨ P∧QP； ⑩ P（QP∧Q）； PP∨Q； QP∨Q； （QP）（（RP）（Q∨RP））； （PQ）（QP）； PP；
2）推理规则 分离规则：PQ，PQ。 3）证明（过程）与定理 证明（过程）给出了公理系统中定理生成的 过程，它是一个公式序列：P1，P2，…，Pn，其中 每个Pi（i＝1，2，…，n）必须满足下条件之一。
① Pi是公理； ② Pi是由Pk，Pr，（k，r<i）施行分离规则而得。 最后，Pn＝Q 即为定理。 （18）导出规则——如有AB为定理则必有AB。 （19）推理定理——设有设有A1，A2，…，AnB，则必有：A 1, A2, …An-1 AnB。
（20）谓词逻辑公理系统 1．系统组成部分 可见（16） 2．推理部分 1）公理 设P，Q，R为公式，则有公理如下：
① pp． ② （P（QR））（Q（PR））． ③ （PQ）（（QR）（PR））． ④ （P（PQ））（PQ）． ⑤ （PQ）（PQ）． ⑥ （PQ）（QP）． ⑦ （PQ）（（QP）（PQ））． ⑧ P∧QQ．
11 12 13 14 15 16 17 ⑨ P∧QP． ⑩ P（QP∧Q）． PP∨Q． QP∨Q． （QP）（（RP）（Q∨RP））． （PQ）（QP）． PP． xP（x）P（x）． P（x）xP（x）。
2）推理规则 ① 分离规则：PQ，PQ. ② 全称规规：QP（x）QxP（x）． ③ 存在规则：P（x）Qx P（x）Q． 上面17个公理与3个规则中有15个公理与1个规则是命题逻辑公理系统的，真正属谓词逻辑的仅有2个公理与2个规则。
3）证明（过程）与定理。 证明（过程）是一个公式序列：P1，P2，…，Pn，其中每个Pi（i＝1，2，…，n）必须满足下条件之一： ① Pi是公理； ② Pi是由Pk，Pr，（k，r<i）施行分离规则而得； ③ Pi是由Pk（k<i）施行全称规则而得； ④ Pi是由Pk（k<i）施行存在规则而得。 最后，Pn＝Q 即为定理。
（21）谓词逻辑中四个重要的推理规则 全称指定规则：US x P（x）＝＞P（x）． 全称推广规则：UG P（x）＝＞x P（x）． 存在指定规则：ES x P（x）＝＞P（ x ）． 存在推广规则：EG P（x）＝＞x P（x）．
§2.6 数理逻辑公理化应用系统 （22）数理逻辑公理化应用系统的定义：数理逻辑公理系统＋学科式领域的公理与规则。 公理化理论与计算机科学 （23）公理化理论在计算机科学中的应用
谓词逻辑的自动定理证明 （24）子句与Horn子句 （25）消解原理 ① 将一公式化为Horn子句集 ② 采用消解原理，即由S为公理证明E为定理的过程可改写： 作S＝SU{E}为公理； 从E开始在S中不断使用反驳法； 最后出现空子句口则结束； ③ 如空子句出现则表示公式为真。 PROLOG语言简介 （26）PROLOG语言
第三章 非经典逻辑介绍 §3.1 多值逻辑 （27）多值逻辑——逻辑变量超过两个值的逻辑，如三值逻辑。 §3.2 模态逻辑 （28）模态逻辑——在逻辑中增加虚拟语句的逻辑如增加：可能、必然、相信、希望等模态词。 §3.3 非单调逻辑 （29）非单调逻辑——在逻辑中增加“例外”的逻辑。 §3.4 时态逻辑 （30）时态逻辑——在逻辑中增加“时间”概念的逻辑。 §3.5 模糊逻辑 （31）模糊逻辑——在逻辑中增加“模糊”概念的逻辑。
