Distribusi bentuk kuadra t
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 17

Distribusi Bentuk Kuadra t PowerPoint PPT Presentation


  • 100 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Distribusi Bentuk Kuadra t. Definisi Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y ΄ y mengikuti noncentral chi-square distribution dengan derajat bebas k dan parameter non sentralitas λ =1/2( μ΄μ ). Notasi dari variabel random tsb:.

Download Presentation

Distribusi Bentuk Kuadra t

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Distribusi bentuk kuadra t

Distribusi Bentuk Kuadrat

Definisi

Jika y adalah sebuah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I, maka y΄y mengikuti noncentral chi-square distribution dengan derajat bebas k dan parameter non sentralitas λ=1/2(μ΄μ). Notasi dari variabel random tsb:


Distribusi bentuk kuadra t

  • y berdistribusi normal dengan rata-rata μ, makavariabel random y1, y2, … , ykberdistribusi normal dengan rata-rata masing-masingμ1, μ2, … , μk, artinyasatudengan yang lain tidakharussama.

  • Var(y)=I artinyabahwamatriksvarianskovariansdari y adalahmatrikidentitas. Variansdarivariabelrandom y1, y2, … , ykadalah 1 dancovariansadalahsamadengan 0.

  • y´y merupakanjumlahkuadratatau

    Teorimenyatakanbahwajumlahkuadratdari k variabelindependenberdistribusi normal denganvarians 1 mengikutidistribusi yang disebutdengannoncentral chi-squared distribution. Distribusiinidicirikandengandua parameter, yaitu k (derajatbebas) danλ (parameter noncentral)


Distribusi bentuk kuadra t

Theorema

merupakan n variabel random independen berdistribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k1, k2, …, kn dan paramater noncentral λ1, λ2, …, λn. Maka:

mengikuti distribusi noncentral chi-square dengan derajat bebas k= k1+k2+ … +kn dan parameter noncentral λ= λ1+λ2+ …+ λn. Atau


Theorema

Theorema

Jika y adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan A adalah matrik simetris n x n. Maka y´Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2)μ´Aμ jika dan hanya jika A matrik idempoten dengan rank k. (Buktikan!)


Distribusi bentuk kuadra t

Akibat:

  • Jika y adalahvektor random berdistribusi normal dengan rata-rata 0 danvarians I. Dan A adalahmatriksimetris n xn. Makay’Aymengikutidistribusi chi-square denganderajatbebas k jikadanhanyajika A idempotendengan rank=k.

  • Jika y adalahvektor random berdistribusi normal denganμdanvariansσ2I, σ2>0. Dan A adalahmatriksimetris n xn. Maka (1/σ2)y’Aymengikutidistribusi chi-square noncentraldenganderajatbebas k dan parameter noncentralλ=(1/2σ2)μ´Aμjikadanhanyajika A matrikidempotendengan rank samadengan k.


Distribusi bentuk kuadra t

Distribusi Multivariate Normal

Definisi

Jika y adalah vektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians I. Dan C adalah matrik nonsingular n xn, serta kita tentukan vektor z= C’y. Maka z mengikuti distribusi multivariate normal. z disebut sebagai variabel random normal multivariat.


Distribusi bentuk kuadra t

Implikasidaridefinisiiniadalah:

  • Setiapkomponenvektor z merupakankombinasi linier dari random variabel (y1, y2, …,yn) yang berdistribusi normal.

  • Aturanekspekatasidanvariansdapatdigunakanuntukmembuktikanbahwa E(z)=C´μdanvar(z)= C´IC= C´C. Varins-kovarinsmatrikdari random variabelmultivariat normal dapatdinyatakandalambentuk C´C untuksetiapmatrik nonsingular C.


Distribusi bentuk kuadra t

Theorema

Jika y adalah variabel random berdistribusi multivariat normal dengan rata-rata μ dan variance V. Dan A matrik simetris n x n. Maka y΄Ay mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) μ΄Aμ jika dan hanya jika AV idempoten dengan rank k.


Distribusi bentuk kuadra t

Bukti:

Jika y adalah variabel random berdistribusi normal multivariat maka terdapat matrik non singular C shg V=C´C. Misal didefinisikan z dengan z=(C´)-1(y-μ)

Dengan mengalikan dengan C´ diperoleh

y= C´z+ μ

Sehingga bentuk kuadrat menjadi

y´Ay= (C´z+ μ)´A(C´z+ μ)

Persamaan di atas dapat dinyatakan sbg

y´Ay= u´Bu

Dengan u=z+(C´)-1μ dan B=CAC´


Distribusi bentuk kuadra t

u berdistribusi normal dengan rata-rata (C´)-1μ dan varians I.

Berdasarkan theorema sebelumnya maka u´Bu mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas k dan parameter noncentral λ=(1/2) [(C´)-1μ]´B[(C´)-1μ], jika dan hanya jika B=CAC´ idempoten dan rank=k.

Maka perlu dibuktikan bahwa B idempoten dan rank=k jika dan hanya jika AV idempoten dan rank=k.


Distribusi bentuk kuadra t

B idempoten artinya B2=B.

B2=B

(CAC´) (CAC´) = CAC´

CA(C´C)AC´= CAC´

CAVAC´ = CAC´

C-1CAVAC´C = C-1CAC´C

AVAC´C = AC´C

(AV)(AV)=AV


Distribusi bentuk kuadra t

Akibat:

  • Jika y adalahvektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variance V. Dan A matriksimetris n x n. Maka y΄Ay mengikutidistribusi chi-square denganderajatbebas k jikadanhanyajika AV idempotendengan rank k.

  • Jika y adalahvektor random n x 1 berdistribusi normal dengan rata-rata μdan variance V. Maka y΄V-1y mengikutidistribusi chi-square noncentraldenganderajatbebas n dan parameter noncentralλ=(1/2) μ΄V-1μ .


Distribusi bentuk kuadra t

IdependensiBentukKuadrat

LEMMA

Jika A1, A2, …, Amadalahsekumpulanmatriksimetris k x k. Kondisiperludancukup agar terdapatorthoganlmatriks P sehingga P´AiPmerupakan diagonal adalahAiAj=AjAiuntuksetiappasangan (i,j).


Distribusi bentuk kuadra t

Theorema

Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AVB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AVB =0.


Distribusi bentuk kuadra t

Akibat dari theorema di atas:

Jika Y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians σ2I. Dan A dan B matriks simetris n x n dengan rank r1 dan r2. Jika AB =0, maka y΄Ay dan y΄By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan y΄By saling independen, maka AB =0.


Distribusi bentuk kuadra t

Theorema:

Jika y sebuah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians V. Dan A matriks simetris n x n dan B matriks m x n. Jika BVA =0, maka y΄Ay dan By saling independen. Demikian juga, jika y΄Ay dan By saling independen, maka BVA =0.


Distribusi bentuk kuadra t

Theorema

Mis y adalah random variabel normal multivariat n x 1 dengan rata-rata μ dan varians I. Dan y´A1y, y´A2y, …, y´Amy adalah bentuk kuadrat sebanyak m, Ai adalah matriks simetris dengan rank ri. Jika terdapat dua dari tiga pernyataan dibawah ini benar, maka untuk setiap i, y´Aiy mengikuti distribusi chi-square noncentral dengan derajat bebas ri dan parameter noncentral λi =(1/2)μ´Aiμ. Demikian juga y´Aiy dan y´Ajy saling bebas untuk i≠j dan ∑ ri =r dengan r adalah rank dari ∑ Ai.

1. Semua Ai idempoten

2. ∑ Ai idempoten

3. AiAj=0; i≠j


  • Login