1 / 31

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace. Μετασχηματισμός Laplace. Διευρύνει τη κλάση των σημάτων για τα οποία μπορεί να επιτευχθεί η μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας.

milla
Download Presentation

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

  2. Μετασχηματισμός Laplace • Διευρύνει τη κλάση των σημάτων για τα οποία μπορεί να επιτευχθεί η μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. • Παρέχει τη δυνατότητα μελέτης συστημάτων που δεν βρίσκονται σε αρχική κατάσταση ηρεμίας. • Μας δίνει τη δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων παράστασης των συστημάτων. • Μετατροπή των Δ.Ε. σε αλγεβρικές εξισώσεις.

  3. Μετασχηματισμός Laplace • Ορισμός: • Αν α=-, τότε έχουμε τον Αμφίπλευρο Μετασχηματισμό Laplace • Αν α=0, τότε έχουμε το Μονόπλευρο Μετασχηματισμό Laplace

  4. Αμφίπλευρος Μετασχηματισμός Laplace • Σχέση Μετασχηματισμών Fourier και Laplace

  5. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} 0 σ=Re{s}

  6. L L Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Τι συμβαίνει; …. Υπάρχει Λάθος;

  7. L L Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού:

  8. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Πόλος σ=-α σ=Re{s} Περιοχή Σύγκλισης X2(s)=L{x2(t)} σ=Re{s}<-α Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{x1(t)} σ=Re{s}>-α

  9. Μετασχηματισμός Laplace Πραγματικά Εκθετικά Σήματα: όπου: Όμως: και επομένως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της Γραμμικότητας:

  10. Πόλος Μηδενικό Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης X(s)=L{x(t)} σ=Re{s}>-1 Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{x1(t)} σ=Re{s}>-2 Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} -2 -1 1 σ=Re{s}

  11. Μετασχηματισμός Laplace Πραγματικά & Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα: όπου:

  12. Μετασχηματισμός Laplace Πραγματικά & Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα:(Συνέχεια) Όμως: και επομένως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της Γραμμικότητας:

  13. Πόλος Μηδενικό Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης X(s)=L{x(t)} σ=Re{s}>-1 Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{x1(t)} σ=Re{s}>-2 jΩ=Im{s} 3j -2 -1 1 σ=Re{s} -3j

  14. Μετασχηματισμός Laplace Κρουστικά Σήματα: όπου:

  15. Μετασχηματισμός Laplace Κρουστικά Σήματα:(Συνέχεια) Όμως: και επομένως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της Γραμμικότητας:

  16. Πόλος Μηδενικό Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης X(s)=L{x(t)} σ=Re{s}>2 Περιοχή Σύγκλισης X2(s)=L{x2(t)} σ=Re{s}>-1 jΩ=Im{s} -1 1 2 σ=Re{s} Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{δ(t)}

  17. Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 1:Η ΠΣ του Χ(s) συντίθεται από λωρίδες παράλληλες στον άξονα –jΩ. • Μια συνάρτηση x(t) είναι εκθετικής τάξης λ αν:

  18. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ=Re{s}

  19. Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 2: Αν το x(t) είναι πεπερασμένης διάρκειας και ολοκληρώ-σιμo (κατ’ απόλυτη τιμή), η ΠΣ του Χ(s) είναι ολόκληρο το επίπεδο-s. x(t) t Τ1 Τ2

  20. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ=Re{s}

  21. Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 3: Αν το x(t) είναι ένα σήμα δεξιάς επέκτασης και η ευθεία Re{s}=σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ(s), τότε: κάθε s: Re{s}>σ0 θα ανήκει στην ΠΣ του. x(t) t Τ1

  22. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ0 σ=Re{s} ευθεία Re{s}=σ0

  23. Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 4: Αν το x(t) είναι ένα σήμα αριστερής επέκτασης και η ευθεία: Re{s}=σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ(s), τότε: κάθε s: Re{s}<σ0 θα ανήκει στην ΠΣ του. x(t) t Τ2

  24. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ0 σ=Re{s} ευθεία Re{s}=σ0

  25. Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 5: Αν το x(t) είναι ένα σήμα αμφίπλευρης επέκτασης και η ευθεία: Re{s}=σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ(s), τότε: Η ΠΣ θα είναι μια λωρίδα στο επίπεδο- sπου θα περιλαμβάνει την ευθεία Re{s}=σ0.

  26. Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης Περιοχή Σύγκλισης σ0 σ=Re{s} σ=Re{s} ευθεία Re{s}=σ0

  27. Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 6: Η ΠΣ μιας ρητής Χ(s) δεν περιέχει πόλους. Ιδιότητα 7: Η ΠΣ μιας ρητής Χ(s) ή εκτείνεται ως το άπειρο ή περιορίζεται από τους πόλους της.

  28. Μετασχηματισμός Laplace Δίνεται ο Μετασχηματισμός Laplace: Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} -2 -1 σ=Re{s}

  29. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης Δεξιάς επέκτασης σήματος -2 -1 σ=Re{s}

  30. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης Αριστερής επέκτασης σήματος jΩ=Im{s} -2 -1 σ=Re{s}

  31. Μετασχηματισμός Laplace Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης Αμφίπλευρης επέκτασης σήματος jΩ=Im{s} -2 -1 σ=Re{s}

More Related