II Tutorial z Metod Obliczeniowych

1. II Tutorial z Metod Obliczeniowych Rozwiązywanie prostych tarcz w płaskim stanie naprężenia przy wykorzystaniu skryptu napisanego w programie Matlab. Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo

2. Dany układ o narzuconej siatce elementów skończonych w PSN:

3. Numeracja węzłów oraz elementów skończonych

4. Numeracja węzłów oraz elementów skończonych • Węzły i elementy można numerować w dowolny sposób • Dla analizowanego układu istnieje 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 różnych numeracji węzłów • Numeracja węzłów i elementów nie ma wpływu na uzyskane w skrypcie wyniki: przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia, siły … • Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w analizowanym układzie w następujący sposób: • [ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1 • [ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2

5. Numeracja stopni swobody na podstawie numeracji węzłów

6. Numeracja stopni swobody na podstawie numeracji węzłów • Numeracja węzłów determinuje numerację stopni swobody w analizowanym układzie w następujący sposób: • [ Nr stopnia swobody w kierunku x ] = [ nr węzła ]*2 – 1 • [ Nr stopnia swobody w kierunku y ] = [ nr węzła ]*2 • Ponieważ numeracja stopni swobody jest obliczana na podstawie wzorów, to nie musimy jej wprowadzać do programu Matlab, gdyż policzy on ją sobie sam • Numeracja stopni swobody jest potrzebna przy definiowaniu warunków podparcia oraz obciążeń

7. Definiowanie danych wejściowych • W PSN jednemu węzłowi są przypisane 2 stopnie swobody: translacja na kierunku x, translacja na kierunku y • Przyjmujemy, że analizowana tarcza ma jednostkową grubość

8. Określenie współrzędnych węzłów

9. Zdefiniowanie macierzy [wsp], określającej współrzędne wszystkich węzłów • Układ globalny przyjmujemy dowolnie • Dla przyjętego układu współrzędnych, w macierzy [wsp] wpisujemy współrzędne (x,y) kolejnych węzłów w następujący sposób: • [ wsp ] = [nr węzła, współrzędna x, współrzędna y]

10. Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych

11. Zdefiniowanie macierzy [wezly] określającej węzły poszczególnych elementów skończonych • Przy podawaniu kolejnych węzłów dla każdego elementu należy pamiętać, że podajemy je w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara • Natomiast nie ma znaczenia który węzeł wpiszemy jako pierwszy dla danego elementu • Dla przyjętej numeracji węzłów, w macierzy [wezly] wpisujemy numery elementów oraz odpowiadające im numery kolejnych węzłów w następujący sposób: • [ wezly ] = [nr elementu, węzeł nr 1, węzeł nr 2, węzeł nr 3 ]

12. Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ]

13. Uwzględnienie warunków podparcia układu poprzez definicję macierzy [ bcdof ] oraz [ bcval ] • W macierzy [bcdof] podaje numery zablokowanych stopni swobody • W macierzy [bcval] definiuje odpowiadające zablokowanym stopniom swobody przemieszczenia • Dla zdecydowanej większości będą one równe zero, jednak w przypadku istnienia jakiejś imperfekcji, należy jej wartość wpisać w macierzy [bcval]

14. Definicja wektora obciążeń węzłowych

15. Etap obliczeń • Na podstawie wprowadzonych danych skrypt wykonuje obliczenia automatycznie, więc rola użytkownika ogranicza się do ich zdefiniowania • Pod tym względem program jest podobny do komercyjnych programów metody elementów skończonych • Jednak w przeciwieństwie do tych programów obliczeń nie wykonuje „czarna skrzynka”, lecz funkcje zdefiniowane przez nas w Matlabie • Umożliwia to nam prześledzenie w jaki sposób są wykonywane obliczenia oraz łatwą ewentualną ich modyfikację

16. Obliczenie macierzy konstytutywnej D Dla elementu w płaskim stanie naprężenia zależność między naprężeniami i odkształceniami wyraża macierz konstytutywna następującej postaci: W skrypcie macierz konstytutywna dla danych E i v jest definiowana za pomocą funkcji: D_zw_konst(E,v)

17. Obliczenie macierzy sztywności elementu k

18. Agregacja globalnej macierzy sztywności K

19. Uwzględnienie warunków brzegowych przezmodyfikację globalnej macierzy sztywności

20. Obliczenie przemieszczeń węzłowych Niewielka wartość obciążenia sprawiła, że w kierunku x decydujący wpływ na uzyskane wartości przemieszczeń miała imperfekcja.

21. Obliczenie odkształceń i naprężeń we wszystkich elementach

22. Obliczenie sił elementowych

23. Obliczenie sił elementowych • Podane powyżej wartości zostały zaokrąglone do liczb całkowitych • W kolejnych wierszach znajdują się wartości sił elementowych dla kolejnych elementów • Np. w drugim wierszu znajdują się wartości sił elementowych dla drugiego elementu skończonego • W pierwszej, trzeciej i piątej kolumnie znajdują się siły elementowe działające na kierunku x, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly] • Natomiast w drugiej, czwartej i szóstej kolumnie znajdują się siły elementowe działające na kierunku y, dla węzłów w takiej kolejności jak zostały one zdefiniowane w macierzy [wezly]

24. Narysowanie sił elementowych i obliczenie reakcji

25. Narysowanie sił elementowych i obliczenie reakcji • Przy rysowaniu sił elementowych dla danego węzła należy zwrócić uwagę na znak siły elementowej, który decyduje o zwrocie działania siły • Jeśli siła elementowa ma wartość ujemną, to działa w kierunku przeciwnym do kierunku przyjętego w węzłowym układzie lokalnym • W celu weryfikacji uzyskanych sił elementowych należy sprawdzić czy w każdym węźle spełniony jest warunek równowagi dla obu kierunków • W celu obliczenia reakcji należy zsumować wszystkie siły elementowe działające w danym węźle na kierunku reakcji • Zarówno dane jak i wyniki należy podać w układzie SI (m,N,Pa)

26. Dziękuje za uwagę