Trigonométrie
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Trigonométrie. Résolution de triangles. C. Résous le triangle suivant. 5. 3. 4. A. B. Résoudre un triangle, c’est trouver les mesures de ses côtés ou de ses angles. On connaît les mesures des côtés. Cependant, on ne connaît pas les mesures des angles, sauf l’angle de 90 0 ,.

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Presentation Transcript


Trigonom trie

Trigonométrie

Résolution de triangles


Trigonom trie

C

Résous le triangle suivant.

5

3

4

A

B

Résoudre un triangle, c’est trouver les mesures de ses côtés ou de ses angles.

On connaît les mesures des côtés.

Cependant, on ne connaît pas les mesures des angles, sauf l’angle de 900,

mais on peut les déterminer en utilisant les rapports trigonométriques :

Sinus

Cosinus

Tangente


Trigonom trie

C

3

5

5

3

4

A

B

m C = 900 - 36,90 ≈ 53,10,

Sin A =

= 0,6

Sin-1 0,6 ≈

36,90

36,90

Remarque

Pour calculer plus rapidement et plus précisément, tu peux utiliser la séquence suivante :

Sin-1 (3 ÷ 5)

ENTER

≈ 36,90

Remarque

Tu aurais pu déterminer la mesure de l’angle A en utilisant n’importe quel rapport.

Tan-1 (3 ÷ 4)

≈ 36,90

Cos-1 (4 ÷ 5)

≈ 36,90

Quelle est la mesure de l’angle C ?

Tu pourrais utiliser les rapports Sinus, Cosinus et Tangente; cependant,

car « Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.››


Trigonom trie

B

x

3,5

300

A

C

Pèse sur la touche

Sin

;

ENTER

Inscris la mesure de l’angle et pèse sur

Quelle est la mesure du segment AB ?

Ici, on connaît la mesure d’un angle et d’un côté.

En utilisant les rapports trigonométriques, nous avons l’information suffisante pour déterminer cette mesure.

Pour cela, il faut comprendre ceci :

- la calculatrice fournit la valeur des rapports trigonométriques pour un angle.

Exemple :

Sin 300 =

0,5

Démarche :

1)

la calculatrice affiche sin.

2)

La calculatrice affiche 0,5;

c’est le rapport entre les côtés.


Trigonom trie

3

2

0,5

1

300

Sin 300 = 0,5

Que signifie ce rapport ?

On sait que tous les triangles rectangles ayant un angle de 300 sont semblables.

Le rapport entre les côtés est toujours le même.

1,5

1

1

0,5

Donc, 0,5 signifie

Soit le rapport ramené à l’unité, c’est-à-dire ayant comme dénominateur 1.

Nous pourrons donc utiliser ce rapport pour construire une proportion.


Trigonom trie

B

x

3,5

300

A

C

Sin 300 =

côté opposé

hypoténuse

3,5

0,5

=

m BC

x

1

m AB

Quelle est la mesure du segment AB ?

Pour déterminer cette mesure, il faut :

- déterminer le rapport entre les côtés en fonction de l’angle;

- utiliser ce rapport pour former une proportion.

Selon l’information fournie, il faut utiliser le rapport Sinus.

0,5 x = 3,5

=

x = 7

Remarque

Cela correspond, en effet, à l’axiome :

« Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du

côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.»


Trigonom trie

B

3,5

37,80

A

C

x

m BC

m AC

3,5

0, 7757

x

1

0,7757

0,7757

On cherche la mesure de x :

Selon l’information fournie, il faut utiliser le rapport Tangente.

Démarche :

1)

Déterminer le rapport Tangente d’un angle de 37,80 :

Tan 37,80 = 0,775679511

≈ 0,7757

Remarque :

On garde habituellement 4 chiffres après la virgule pour plus de précision.

2)

Établir la proportion :

Tan 37,80 =

3)

Isoler x :

0,7757 x ≈ 3,5 X 1

3,5

0,7757 x ≈

x ≈ 4,512053629

≈ 4,5


Trigonom trie

Détermine la mesure de AB :

B

3,5

0,6129

3,5

37,80

x

1

A

C

4,5

3,5

0,6129

m BC

m AC

m AB

=

Tu aurais pu utiliser Cos 37,80 =

m AB

4,5

x

Sin 37,80 :

x

0,6129 x ≈ 3,5

x ≈

≈ 5,7

Remarques :

Tu aurais pu aussi utiliser la relation de Pythagore.


Trigonom trie

c = a2 + b2

La relation de Pythagore :

Pour résoudre un triangle rectangle ou pour trouver une mesure manquante dans un triangle rectangle, plusieurs outils sont possibles.

Sin, Cos, Tan.

Les axiomes suivants :

Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

Pour des cas particuliers :

Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300 , la mesure du côté qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

Dans un triangle rectangle isocèle, les angles aigus mesurent 450.


Trigonom trie

Quelle est la mesure du segment AB ?

C

3,6

0,5534

1

Cos 56,40 =

x

x

x

x

3,6

3,6

3,6

56,40

A

B

m AB

m AC

Cos 56,40

Cos 56,40 =

=

1

3,6 X Cos 56,40 =

3,6 Cos 56,40 ≈

Problèmes

Selon les informations fournies, le rapport à utiliser est

Cosinus.

3,6 X 0,5534 ≈ x

x ≈ 2

Remarque

Pour plus de rapidité et de précision, tu peux opérer comme suit :

3,6 X Cos 56,40 = x

, donc

peut s’écrire

Avec la calculatrice :

1.99…

ou simplement

≈ 2


Trigonom trie

C

3,6

Cos 56,40 =

x

x

Cos 56,40 =

3,6

56,40

A

B

m AB

m AC

Attention

Peu importe la façon dont tu procèderas,

prends toujours le temps d’écrire ta proportion.

3,6 X Cos 56,40 = x

Avec la calculatrice :

3,6 X Cos 56,40

≈ 2


Trigonom trie

C

Cos 56,40 =

Cos 56,40

Cos 56,40

56,40

A

B

m AB

2

Cos 56,40 =

m AC

x

x

2

Cos 56,40

2

x Cos 56,40 = 2

x =

Avec la calculatrice :

3,6

2 ÷ Cos 56,40 ≈


Trigonom trie

Soit un triangle rectangle en B tel que m AC = 34 mm et m A= 290.

A

290

Sin 290 =

34

x

Sin 290 =

34

C

x

B

Soit un triangle rectangle en C tel que m AB = 347 cm et m A= 80.

m AC

m BC

B

C

m AC

m AB

347

x

x

Cos 80 =

347

Cos 80 =

A

Calcule la mesure du segment BC.

Représente la situation par un dessin.

Rapport :

34 sin 290 = x

x ≈ 16,5 mm

Calcule la mesure du segment AC.

Rapport :

347 Cos 80 = x

x ≈ 343,6 cm


Trigonom trie

Si tu veux obtenir le rapport entre les côtés en fonction d’un angle, tu dois utiliser Sinus, Cosinus ou Tangente.

Si tu veux obtenir l’angle associé à un rapport de côtés, tu dois utiliser Sinus-1, Cosinus-1 et Tangente-1.

Conclusion

Résoudre un triangle rectangle, c’est trouver les mesures des angles et les mesures des côtés.

Exemple :

Sin 500 ≈ 0,7660

Cos 500 ≈ 0,6428

Tan 500 ≈ 1,1918

Exemple :

Sin-1 0,7660 ≈ 500

Cos-1 0,6428 ≈ 500

Tan-1 1,1918 ≈ 500

Attention :

Ta calculatrice doit être réglée en mode DEGRÉ.


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