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勾股定 理的用法及启发

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勾股定 理的用法及启发. a 2 + b 2 = c 2. 主讲: 佛山市三水区西南街道第二中学 李建豪. 勾股定理是中学阶段非常重要的定理。在几何计算和证明中有着广泛的应用。俗话说得好,“ 学以致用 ”。学完 勾股定 理之后,就要应用。经总结和归纳, 勾股定 理一共有三大用法,下面我们逐一加以介绍,并从中得到一些学习上的 有益启发 。. B. C. A. 用法一. 知道直 角三角形其中两边的长度直接求第三边的长 度。

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Presentation Transcript
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勾股定理的用法及启发

a2+b2=c2

主讲:

佛山市三水区西南街道第二中学

李建豪

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勾股定理是中学阶段非常重要的定理。在几何计算和证明中有着广泛的应用。俗话说得好,“学以致用”。学完勾股定理之后,就要应用。经总结和归纳,勾股定理一共有三大用法,下面我们逐一加以介绍,并从中得到一些学习上的有益启发。勾股定理是中学阶段非常重要的定理。在几何计算和证明中有着广泛的应用。俗话说得好,“学以致用”。学完勾股定理之后,就要应用。经总结和归纳,勾股定理一共有三大用法,下面我们逐一加以介绍,并从中得到一些学习上的有益启发。

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B

C

A

用法一

知道直角三角形其中两边的长度直接求第三边的长度。

例1,如图,小张为测量校园内池塘A,B两点的距离,他在池塘边选定一点C,使∠ABC=90°,并测得AC长26m,BC长24m,求A,B两点间的距离.

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B

C

A

例1,如图,小张为测量校园内池塘A,B两点的距离,他在池塘边选定一点C,使∠ABC=90°,并测得AC长26m,BC长24m,求A,B两点间的距离.

解:∵∠ABC=90°,

∴在Rt△ABC中,

由勾股定理得

AB2=AC2-BC2=262-242=100

∵AB>0

∴AB=10(m)

答: A,B两点间的距离是10m。

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用法二

把勾股定理的等量关系转化为方程进行求值。

例2,如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它恰好落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.

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解:∵∠ACB=90°,

∴在Rt△ABC中,由勾股定理得

AB2=AC2+BC2=62+82=100

∴AB=10(cm)

由折叠得,AE=AC=6(cm),

∴BE= AB- AE=10-6=4(cm),

∠BED = ∠AED=∠ACB=90°

设CD=DE=xcm,

DB=8-x(cm)

在Rt△DBE中,

由勾股定理得,

DB2=DE2+BE2

(8-x)2=x2+42

解得:x=3

答:CD=3cm.

6

10

6

4

x

x

8-x

8

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A

B

C

用法三

把勾股定理的结果用于证明题的推理过程。

例3,如图,分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形,然后分别以三个正方形的中心为圆心,正方形边长的一半为半径作圆,记三个圆的面积分别为S1,S2,S3,证明:

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A

B

C

证明:设三个圆的半径为R1,R2,R3,

S1=πR12,S2=πR22,S3=πR32

在Rt△ABC中,由勾股定理得

BC2+AC2=AB2

(2R1)2+ (2R2)2= (2R3)2

∴R12+ R22= R32

∴πR12+πR22=πR32

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阶段小结

无论考勾股定理的题目如何千变万化,我们发现,最终都可以归结为上述的三大用法,只是应用呈现的情景不同而已。只要把上述要点消化了、掌握了,并灵活运用,勾股定理的应用问题就彻底解决了。

当然,有些题目还要稍微的作一些转化,例如下面的两个典型例子。

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例1

有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,若蚂蚁在侧面爬行,需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3).

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C

B

B

A

A

这道题目的图形是立体图形,我们需要把立体的图形转化为平面的图形进行研究和计算。在Rt△ABC中,利用勾股定理算出AB的长度为15厘米就是蚂蚁爬行的最短路程。

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例2

在等腰三角形ABC中,AB=AC=10cm,

BC=6cm,求三角形的面积。

A

B

C

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这道题的解题关键是作辅助线(高AD),把锐角三角形转化为两个直角三角形,然后利用等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理进行计算,问题就迎刃而解了。这道题的解题关键是作辅助线(高AD),把锐角三角形转化为两个直角三角形,然后利用等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理进行计算,问题就迎刃而解了。

A

B

C

D

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最后总结

无论考勾股定理的题目如何千变万化,我们发现,最终都可以归结为上述的三大用法:

(1)、知道直角三角形其中两边的长度直接求第三边的长度。

(2)、把勾股定理的等量关系转化为方程进行求值。

(3)、把勾股定理的结果用于证明题的推理过程。

只是应用呈现的情景不同,要灵活审题运用。

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启发

经常有同学会这样说:“我平时学习已经很努力了,题目也已经做了很多,但不知为什么成绩老是提不上去”。其实根本原因在于他在学习中不善于思考,不善于总结归纳!是一个“无心人”。

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启发

那我们应该怎样做呢?我们平时做题,不要就题练题,不要只会题海战术,要学会多思考,多总结,由具体的题目总结、归纳出一般的解题规律和解题方法,达到举一反三的目的,从而更好的提高自己的学习效率和解题能力。只有这样才能学得更好,学得更快。总之,要做一个“有心人”。

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好,内容学完了,希望同学们有好的收获,谢谢!好,内容学完了,希望同学们有好的收获,谢谢!

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