Выполнила Тагирова Лиана 271 ПИ

1. Графы и их представление в STL Выполнила Тагирова Лиана 271 ПИ

2. Что такое граф? Граф или неориентированный графG — это упорядоченная пара G = <V,E>, для которой выполнены следующие условия: • V это множество вершин или узлов, • E это множество пар (неупорядоченных) различных вершин, называемых рёбрами.

3. Свойства графа: • Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину. • Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

4. Ориентированный граф • Ориентированный граф (сокращенно орграф) G — это упорядоченная пара G = <V,A>, для которой выполнены следующие условия: • V это множество вершин или узлов, • A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами. Дуга — это упорядоченная пара вершин (v,w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v w ведёт от вершины v к вершине w.

5. Смешанный граф • Смешанный графG — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G= <V,E,A>, где V, E и A определены так же, как для ориентированного графа.

6. Путь: виды и свойства • Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

7. Путь: виды и свойства • Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин , для которой все пары являются (ориентированными) рёбрами. • Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины u и v являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность (u,v,u) является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

8. Дополнительные характеристики графов Граф называется: • связным, если для любых вершин u,v есть путь из u в v. • сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь. • деревом, если он связный и не содержит простых циклов.

9. Представление графов

10. Абстрактный граф в С++ • class Graph • { • public: • Graph (int numV_, bool directed_): numV(numV_), numE(0), • directed(directed_) {} • virtual ~Graph() {} • int V() const {return numV;} • int E() const {return numE;} • bool isDirected() const {return directed;} • virtual void insert(Edge) = 0; • virtual void remove (Edge) = 0; • virtual bool isEdge(int,int) const = 0; • protected: • int numV; • int numE; • bool directed; • };

11. Представление графов • Матрица смежности • Список смежных вершин

12. Матрица смежности • Матрица M размером NxN (N – мощность множества вершин V (|V|=N) • Элемент матрицы M[i,j] равен 1, если (i,j) – ребро и 0 – если нет.

13. Класс vector Контейнер vector обеспечивает структуру данных непрерывной областью памяти. Это позволяет обеспечивает эффективный прямой доступ к любому элементу контейнера vector посредством операции индексирования []. Все алгоритмы STL могут работать с контейнером vector. Итераторы для vector обычно реализуются как указатели на элементы контейнера vector.

14. Матрица смежности-реализация • class AdjMatrixGraph : public Graph • {public: • std::vector<std::vector<bool> > adj; // двухмерн. массив • AdjMatrixGraph(int numV_, bool directed_ = false) : • Graph(numV_, directed_) { • adj.resize(numV_); • for (int i = 0; i != numV; ++i) • adj[i] = std::vector<bool>(numV_, false); • } • void insert (Edge e) { • if (!adj[e.v][e.w]) { • adj[e.v][e.w] = true; • if (!directed) • adj[e.w][e.v] = true; • ++numE; • } • }

15. Матрица смежности-реализация 2 • void remove (Edge e) { • if (adj[e.v][e.w]) { • adj[e.v][e.w] = false; • if (!directed) • adj[e.w][e.v] = false; • --numE; • } • }; • bool isEdge(int u, int v) const { • return adj[u][v]; • } • }

16. Характеристики представления • Проверка на существование ребра isEdge(i,j) – O(1) • Перебор всех верших – O(n) • Перебор всех ребер - O(n2)

17. Список смежных вершин • Представляет собой набор связных списков, в которых хранятся инцендентные соседи каждого ребра

18. Реализация • class AdjListGraph : public Graph • { • public: • std::vector<std::list<int> > adj; • AdjListGraph(int numV_, bool directed_ = false) : • Graph(numV_, directed_), adj(numV_) {} • void insert(Edge e) { • if (!(0 <= e.v && e.v <= numV && 0 <= e.w && e.w < numV)) • throw "Invalid vertex"; • adj[e.v].push_back(e.w); • ++numE; • if (!directed) • adj[e.w].push_back(e.v); • }

19. Реализация • void remove(Edge e) { • std::list<int>::iterator itr = • std::find(adj[e.v].begin(), adj[e.v].end(), e.w); • if (itr != adj[e.v].end()){ • adj[e.v].erase(itr); • --numE; • if (!directed) { • itr = std::find(adj[e.w].begin(), adj[e.w].end(), e.v); • adj[e.w].erase(itr); • } • } • } • bool isEdge(int u, int v) const { • std::list<int>::const_iterator itr = • std::find(adj[u].begin(), adj[u].end(), v); • return itr != adj[u].end(); • } • }

20. Характеристики представления • isEdge (i,j) – O(|E|) • Перебор вершин - O(|E|) • Перебор всех ребер - O(|E|) • Обычно, |E|<<|V|2,поэтому чаще используют связный список смежных вершин

21. Пример использования на задаче:

22. Постановка задачи: Предположим, к примеру, что мы используем текстовые строки для кодирования названий городов и хотим сконструировать карту, где значения ребер графа — это расстояние между двумя соответствующими городами. Такой граф показан на рис.: Взвешенный граф

23. Операторы инициализации графа:

24. Можно использовать набор классических алгоритмов для обработки таких графов. Одним из примеров является алгоритм Дейкстры поиска кратчайшего пути. Требуется указать город, с которого начинается путь. При этом создается приоритетная очередь для пар расстояние/ город. Она инициализируется нулем для начального города. Приоритетная очередь содержит города в порядке от ближайшего до самого дальнего.

25. При каждой итерации цикла мы извлекаем из очереди город. Если для него еще не найдено кратчайшего пути, записывается текущее расстояние и путем проверки графа вычисляется расстояние до соседних городов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет исчерпана приоритетная очередь.

26. Список исрользованных материалов: • Лекции по курсу «Алгоритмы и структуры данных» • Г. Шилдт «Полный справочник по С++» • электронная энциклопедия «wikipedia.org» • http://www.freesource.info/