«Куча» чисел ( задачи из ЕГЭ 2010)

«Куча» чисел(задачи из ЕГЭ 2010) Александрова Екатерина Коновалова Анастасия 11”A”

Найдем наибольшую сумму ( она очевидно получается, когда перед каждым произведением стоит знак плюс): 3*9+3*10+3*11+…+3*17+ +4*9+4*10+4*11+…+4*17+ +5*9+5*10+5*11+…+5*17+ … +8*9+8*10+8*11+…+8*17 Для быстрого счета используем группировку (вынесем общие множители из каждой группы слагаемых): 3*(9+10+11+…+17)+4*(9+10+11+…+17)+…+8*(9+10+11+…+17)= =(3+4+5+6+7+8)*(9+10+11+12+13+14+15+16+17)=33*117= =3861 Каждое из чисел 3, 4, ..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10, ..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Начало решения Задача №1

Поиски пути решения Задача №1 Каждое из чисел 3, 4, ..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10, ..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 2. Замена плюса на минус перед любым слагаемым (произведением двух чисел) приводит к уменьшению суммы на четное число, то есть не меняет четности суммы. Поэтому искомая сумма всегда нечетная и не может быть равной 0. 1. Полученная сумма 3861 нечетная, значит она содержит нечетное число нечетных слагаемых 3. Наименьшим натуральным числом является 1. Если нам удастся подобрать знаки так, чтобы сумма оказалось равной 1, то она и будет наименьшей по модулю суммой произведений заданных чисел. Рациональная запись вычислений наибольшего числа поможет быстро прийти к ответу

Продолжение решения Задача №1 Каждое из чисел 3, 4, ..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10, ..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 2)Т.к. произведение (-3+4+5-6-7+8)*(9-10+11+12+13+14-15-16-17)=1*1=1 можно записать в виде -3*9+3*10-3*11+…+3*17+……+ +8*9-8*10+8*11+…-8*17 И уменьшить эту сумму нельзя, то искомая наименьшая по модулю сумма равна 1. ОТВЕТ: 1 и 3861

Задача №2 Перед каждым из чисел 14, 15, ..., 20 и 4, 5, ...,8 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора , а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 1) Наибольшая по модулю сумма равна (14 -(-4))+(14 –(-5))+(14 –(-6))+(14 –(-7))+(14 –(-8))+ +(15 –(-4))+(15 –(-5))+(15 –(-6))+…+(15 –(-8))+…+ +(20 –(-4))+(20 –(-5))+(20 –(-6))+…+(20 –(-8)) Она равна 5*(14+15+16+17+18+19+20)-7*(-4-5-6-7-8)= =5*119+7*30=805.

Т.к. полученная сумма нечетная(805), то она содержит нечетное число нечетных слагаемых. Замена любого знака перед данными числами на противоположный не меняет четности суммы, поэтому искомая сумма нечетная при любой расстановке знаков не может быть равна 0. 2) Получить результат меньший, чем 5*(14-15+16-17+18-19+20)-7*(-4-5+6+7+8)=5*17-7*12=1 нельзя, поэтому наименьшая по модулю сумма равна 1. ОТВЕТ: 1 и 805.

Полезные факты 1. Если сумманечетная, то она содержит нечетное числонечетных слагаемых. 2. Замена плюса на минус перед любым слагаемым приводит к уменьшению суммы на четное число, то есть не меняет четности суммы. Полезные советы 1. Если приходится делать громоздкие вычисления, то надо искать рациональные пути счета ( например, группировать слагаемые) • 2. Для доказательства невозможности чего-то надо привести обоснования, а для доказательства существования чего-то надо привести пример

Использованные ресурсы • ~ статья А.В.Шевкина "Задачи С6 из ЕГЭ 2010" с сайта http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=778

«Куча» чисел ( задачи из ЕГЭ 2010)