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抽象代数 ( 第 2 章 ) —— 理论、问题与方法

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抽象代数 ( 第 2 章 ) —— 理论、问题与方法. 西南大学 数学与统计学院. 第 2 章 数环与数域. 2.1 整数剩余类环 2.2 整环的分式域 2.3 素域与扩域 2.4 素数的欧拉分解 2.5 Hamilton 四元数环 2.6 Lagrange 平方和定理. 2.1 整数剩余类环. 定义 1 整数剩余类运算 定理 2 Z m 成为一个环 例 1 环 Z 2. 环同构. 定义 3 环同态 f: R ~ S 定义 4 环同构 f: R ≌ S 例 2 环同态 f: Z ~ Zn. 剩余类环 Z p.

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Presentation Transcript
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第2章 数环与数域
  • 2.1整数剩余类环
  • 2.2整环的分式域
  • 2.3素域与扩域
  • 2.4素数的欧拉分解
  • 2.5Hamilton四元数环
  • 2.6Lagrange平方和定理
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2.1整数剩余类环
  • 定义1 整数剩余类运算
  • 定理2 Zm成为一个环
  • 例1 环Z2.
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环同构
  • 定义3 环同态 f: R~S
  • 定义4 环同构 f: R≌S
  • 例2 环同态 f: Z~Zn
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剩余类环Zp
  • 定理6 a、b∈Z,则a、b互素当且仅当存在s、t∈Z使sa+tb=1.
  • 定理7 若是p素数则剩余类环Zp是域.
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理想与剩余类环
  • 定义8 理想;剩余类环
  • 定理9(同态基本定理) 设有环同态:R~R,则A={r∈R|=0}=Ker(同态核)是R的理想;反之若R有理想A,则存在环同态:R~R/A=R.
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2.2整环的分式域
  • 例 从整数环Z到有理数域Q.
  • 定义1 整环
  • 例 整数环Z;Zn是整环当且仅当n=p是素数.
  • 定义2 环嵌入
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整环的分式域
  • 定理3每个整环都可以嵌入一个域(分式域).
  • 证明 分3步
  • 第1步 定义2元集A,得商集F.
  • 第2步 验证F是一个域.
  • 第3步 整环R嵌入域F.
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整环的分式域
  • 定理4如果一个非零环R含在一个域F中,那么F含R的分式域,说明分式域是包含环的最小域.
  • 定理5 同构的环分式域也同构.
  • 例 F[x]的分式域F(x).
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分式域:问题思考
  • 问题:
  • 整数环与偶数环有相同的分式域.
  • 一般地,问一个无零因子交换环R与它的子环S在什么条件下有相同分式域?
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问题思考
  • 典型事实观察:
  • 以下的环与子环有相同分式域:
  • Z与nZ; Z[x]与Q[x];
  • 设R是没有零因子的交换环,S是它的子环,对∈R记S={u | u∈S }.
  • 猜想:R与S有相同分式域当且仅当每∈R都有SS≠{0}.
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问题思考
  • 定理 无零因子交换环R与它的子环
  • S有相同分式域当且仅当每∈R都
  • 有SS≠{0}.
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2.3素域与扩域
  • 复习和问题:
  • 从任何整环可以获得分式域
  • 反过来,任意一个域可以通过什么一般的途径而获得呢?
  • 答:域扩张的方法
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素域定义
  • 两个已知的域:Q与Zp
  • 特点:最小域
  • 问题:是否还有其他最小域?
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素域定义
  • 定义1素域
  • 定理2 (无零因子环的特征)
  • 设R是一个没有零因子的环,则
  • (1)na=0,0≠a∈Rn=0,这时记charR=0.或者
  • (2)存在素数p使每pa=0,这时记charR=p.
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素域与扩域
  • 定理3 设F是素域,则
  • (1) char F = 0, F≌Q,或者
  • (2) char F = p, F≌Zp.
  • 注 由定理3知道,任一个域或者是Q的扩 域或者是一个p元域Zp的扩域.
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素域与扩域
  • 定理4 域上的n次多项式最多有n个根.
  • 证明 利用带余除法
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2.4素数的欧拉分解
  • 本节证明下面的欧拉定理:
  • 定理2.4.3(欧拉)奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p≡1(4)
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素数的欧拉分解
  • 定理1(Fermat)设p是素数,p†a则ap-1≡1(p)
  • 证 记b=a-1
  • 则ap≡(b+1)p≡bp+1≡(a-1)p+1
  • ≡(a-2)p+2≡…≡a(p)
  • 故ap-1≡1(p).
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素数的欧拉分解
  • 定理2(Wilson)设p是素数,则(p-1)!≡-1(p).
  • 证 由定理1, 1,2,3,…,p-1(p)是方程
  • xp-1-1≡0(p)的根,由定理2.3.3此方程仅有这p-1个根,由根与系数关系(p-1)!≡-1(p).
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欧拉定理
  • 定理3(欧拉)奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p≡1(4).
  • 证由本节第一段的说明,只需证方程
  • 有解.若有解则x、y一奇一偶, p≡1(4).
  • 现设p≡1(4),记a=(p-1)/2!由Wilson定理
  • 记b=[√p],则 . 整数集{x-ay|x、y=0..b}
  • 有x1-ay1≡x2-ay2,取x=x1-x2,y=y1-y2, 则
  • 于是 .