13.3 角的平分线的性质（ 2 ）

1. 13.3角的平分线的性质（2）

2. 复习 A D 1 P O 2 C E B 1、会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学语言表述： ∵OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD＝PE

3. 思考 • 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．

4. 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， 　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

5. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE

6. Ｏ 公路 铁路 Ｓ 思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 做角的平分线OC，然后截取OP=2.5cm，即点P为所求。

7. D N M A F P E B C 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

8. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M 证明： G ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC M ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上　　　

9. A E F B C D 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。

10. 利用结论，解决问题 练一练1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建? 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的? 想一想

11. 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 拓展与延伸 C A 分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。 D B

12. 课堂小结 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE

13. 由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。 • 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

14. M C D F N E B A A A A A A A A 拓展与延伸 先证明△CDF≌△BEF（AAS） FD=FE 3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. 再证明△ADF≌△AEF （HL） ∠DAF= ∠EAF