Kelly Cristina Poldi, Gerhard Wäscher

1. Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg The One-dimensional Cutting Stock Problem with Usable Leftovers and Handling Constraints: a Case Study Kelly Cristina Poldi, Gerhard Wäscher

2. Conteúdo • Apresentação da empresa • Definição do problema • Modelo matemático • Método de solução • Exemplos • Perspectivas

3. Motivação • NordlamGmbH • Localizada em Magdeburg • Produção de lamelado colado (“glued laminated timbers”) para atender mercado internacional Nordlam GmbH, in Magdeburg.

4. Nordlam GmbH Magdeburg está situada no coração da Europa, com excelente conexão internacional (rodovia, ferrovia e navegação fluvial).

5. Logística – Rio Elba Rio Elba: nasce na República Tcheca, desagua no Mar do norte, em Hamburgo, no maior porto da Alemanha. Wasserstraßenkreuz República Tcheca. Aqueduto de 918m. (228m sobre a água) Porto em Hamburgo.

6. Produtos: Lamelados Colados • Resistência à incêncio (embora metal não queime, ele deforma rapidamente); • Resistência a terremoto (tipo de encaixe); • Transferência de calor. • Meio-ambiente: recurso renovável, enquanto metal consome muita energia (recurso não-renovável) para ser produzido. Madeira x Metal

7. Produtos

8. Produtos Classificação • Dimensão: • Firmeza: BS11, BS14, BS16, BS18 • Qualidade:view (85%) industry (15%)

9. Informações adicionais • Objetos são estocados em diferentes cassetes (aprox. 990 cassetes); • Perda aceitável de até 2000mm; • Sobra de 8000mm a 19999mm.

10. Literatura • Gradisar, M., et al. (1997). Optimization of roll cutting in clothing industry. C&OR. • Cherri, A. C., Arenales, M. N., Yanasse, H. H. (2008). The one dimensional cutting stock problem with usable leftover – a heuristic approach. EJOR. Algoritimos baseados em níveis de apiração. Constrói padrões de corte adicionando-se e retirando-se itens no padrão. • Abuabara, A., Morabito, R. (2008). Cutting optimization of structural tubes to build agricultural light aircrafts. AOR Indústria de aeronaves. • Koch, S.; König, S.; Wäscher, G. (2008). Linear Programming for a Cutting Problem in the Wood Processing Industry – A Case Study. Working paper. Padrões de corte gerados a priori.

11. Formulação matemática Custo de movimentação de cassetes Custo de padrão de corte

12. Formulação matemática

13. Padrões de corte Um padrão de corte p (p P(j)) para um objeto tipo j é representado por um vetor: que satisfaz: Um padrão de corte é factível factível quando: • não há perda: • Perda aceitável: • Sobra:

14. A= m m’ n = m + m’ B N Método de solução: Simplex com GC 1. Partição básica 2. Solução básica inicial: 3. Variáveis duais: multiplicadores simplex 4. Custos relativos: Dantzig: 5. Direção simplex 6. Tamanho do passo 7. Atualização e volta ao passo 3.

15. Custo relativo é dado por: zj Custos relativos Função objetivo Minimizar custos totais Custos relativos: Problema da mochila:

16. Procedimento para a solução Resolver o PCE usando geração de colunas, com ILOG Concert. Problema Mestre Relaxado (PMR) Subproblema tipo 1 (SP1) Padrão de corte Subproblema tipo 2 (SP2) Padrão de corte com sobra

17. Procedimento • Construir o Problema Mestre Relaxado (com padrões de corte homogêneos). • A cada iteração, resolve-se os Subproblemas tipo 1 e tipo 2, para todos os objetos em estoque, em todos os cassetes. • A melhor solução para cada subproblema (menor custo relativo) é adicionada ao Problema Mestre. Porém, todas as colunas são armazenadas. • Quando o processo de geração de colunas termina, tem-se uma solução fracionária para o PMR e todas as colunas que foram geradas no processo. • Converte-se o PM em um problema inteiro a adiciona-se as variáveis binárias yk relativas ao movimento de cassetes. • Resolve-se o PM e obtém-se uma solução inteira para o problema.

18. Dados da empresa • Custo de movimentação: 6€ por movimentação de cassete • Custo de material: 320€/m3 • Custo de sobra: 5% do custo do material • ONMAX: 50% da disponibilidade do objeto padrão • Perda aceitável: 2000 mm • Sobra aceitável: entre 8000 mm e 19999 mm

19. Exemplo Grupo: BS11 80 x 180 view

20. Solução para o exemplo

21. Experimentos computacionais 53 grupos de produtos

22. Experimentos computacionais Tempo computational 4,7 s

23. Conclusões e Perspectivas • Um problema prático foi modelado e uma abordagem por geração de colunas foi desenvolvida para resolvê-lo. • A abordagem desenvolvida foi capaz de resolver todos os problemas fornecidos pela empresa em um tempo computacional aceitável e também apresentou solução de qualidade (min valor da f.o.). • Testes com variação no parêmetro ONMAX. • Comparação com solução ótima.

24. Obrigada!