Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios
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Generadores de Radiación Ionizante Formulas & Ejercicios. Dr. Willy H. Gerber Instituto de Fisica Universidad Austral Valdivia, Chile. Dominar los modelos asociados a la generación de radiación ionizante mediante la resolución de problemas. Objetivos:.

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Generadores de Radiación Ionizante Formulas & Ejercicios

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Generadores de Radiación Ionizante Formulas & Ejercicios

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Fisica

Universidad Austral

Valdivia, Chile

Dominar los modelos asociados a la generación de radiación ionizante mediante la resolución de problemas.

Objetivos:

www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08


Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.2 Modelo del Filamento – Modelo Mecánico Cuántico

Función de onda

[-]

n = 1, 2, 3,… numero de estado

Vector de onda

[m]

Largo de onda

[m]

Impulso

[kg m/s]

z/L

L

z

m

h,

Largo del conductor

Posición dentro del conductor

Masa del electrón [kg]

(9.11x10-31 kg)

Constante de Planck

(6.63x10-34 Js, 1.055x10-34 Js)

Energía

[J]

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.2 Modelo del Filamento – Distribución de electrones según Fermi

Energía del

Estado

[J]

Numero de

Estado con

Energía < E

[-]

1

Numero de

Estados con

Energía entre

E y E+dE

EF=100kT

F(E)

Probabilidad

de ocupación

de estados

EF=kT

Energía de

Fermi [J o eV]

EF=2kT

0

EF=10kT

0

5

E/EF

N: Numero de electrones / m3

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.2 Modelo del Filamento – Corriente de electrones libres

Impulso mínimo

para escapar

conductor

Distribución de

electrones

Densidad de

corriente

(Ecuación de Richardson-Dushman)

Constante

ϕ

k

e

T

Función de trabajo [J]

Constante de Boltzmann [J/K] (1.38x10-23J/K)

Carga elemental [C} (1.6x10-19 C)

Temperatura absoluta

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Child-Langmuir

Flujo de electrones

[1/m2]

***

ánodo

cátodo

Potencial entre

Placas [V]

Velocidad de los

Electrones [m/s]

Distribución de

Electrones [-]

ε0

Constante de campo

8.85x10-12 C2/N m2

Energía del

Electrón [J o eV]

*** Para j inferior al j calculado con la ecuación de Richardson-Dushman

(efecto saturación)

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Modelo de Filamento

Modelamiento del sistema filamento-placas

(p: placa, f: filamento, a: ánodo)

S

A

L

σ

ε

Superficie del filamento [m2]

Sección del filamento [m2]

Largo del Filamento [m]

Constante de Stefan Boltzmann

[5.6704x10-8 J/sm2K4]

Grado de emisión [-]

Caso Tungsteno:

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Betatrón

Potencial inducido

en el anillo

Campo eléctrico

en el anillo

Impulso del

Electrón en el anillo

Fuerza de Lorentz para

retener al electrón

en el anillo

Campo magnético operación [T]

Campo magnético retención [T]

Radio del anillo [m]

Potencial inducido [V]

Campo eléctrico [N/C=V/m]

Impulso [kg m/s]

Velocidad [m/s]

Masa del electrón [kg]

Carga del electrón [C]

Impulso por efecto

de la fuerza de Lorentz

Relación de Wideroe

Energía del electrón

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Ciclotrón

Fuerza para

Retener el electrón

Velocidad angular

Frecuencia angular de operación

Periodo de campo acelerador

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón

Energía inicial

Energía tras buncher

Señal en buncher

Potencial en buncher

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón

Aceleración en buncher

Factor de propagación del haz

Factor de acoplamiento

Caso perfil cuadrado

Angulo de transito

Variación de energía

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Guía de Ondas

Periodo de la oscilación del generador RF:

Distancia entre disco:

En que la fase depende del diseño, o sea de la solución formal de la ecuación de las cavidad.

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Guía de Ondas

Ecuaciones claves para el calculo de la estructura de la guía de onda para el caso de alta velocidad:

d1

d2

d3

d4

dn

dn+1

Largo de cavidad

1

2

3

4

n

n+1

Factor de propagación

Haz

Angulo de transición

La energía ganada

tras n cavidades

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.4 Guía de Ondas – Ondas fuera de una cavidad

Ecuación de onda

Solución onda plana

Relación de

dispersión

Velocidad de fase

Velocidad de grupo

Perpendicularidad

Vector de onda y

amplitud

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades infinita

Ecuación de ondas

Cavidad cilíndrica

Condiciones de

borde

Solución

Relación de

dispersión

Frecuencia de cut-off

Velocidad de fase

Velocidad de grupo

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.4 Guía de Ondas – Funciones de Bessel del primer tipo

Raíces Jn

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades periódicas

Ansatz

con

Condiciones

de borde

Soluciones

Modo TM010

Densidad de energía

Energía

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Cabezal del Linac

Caso distintas velocidades (energías)

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Perfil del haz

Corrección de la forma del perfil del haz: modelo de la fuente puntual

Rayos

Gamma

Compensador

Colimador

Intensidad

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Perfil del haz

Corrección de la forma del perfil del haz

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Ejercicios 1

Mecánica Cuántica

Cuales son los largos de onda de los primer tres estados en un filamento representado por un conductor “unidimensional” de largo 5 mm? (5.00x10-3m, 2.50x10-3m, 1.67x10-3m)

Cuales son los impulsos para los estados descritos en 1? (1.33x10-31 kg m/s,2.65x10-31 kg m/s, 3.98x10-31 kg m/s)

Cuales las energías de los estados descritos en 1? Exprese el resultado en eV (6.07x10-14 eV, 2.43x10-13 eV, 5.46x10-13 eV)

Si el conductor se define como un volumen de 5 mm de largo y 0.1 mm de radio de Tungsteno (densidad 19.25 g/cm3, peso molar 183.84 g/mol) y cada átomo contribuye con un electrón; cuantos electrones de conducción contiene? (9.902x1018)

Cual es la energía de Fermi del filamento antes descrito? Exprese el resultado en eV (5.83eV)

Si se toma como referencia que las típicas energías de partículas son del orden de kT (donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura), a que temperatura correspondería la función de trabajo del Tungsteno que es 4.52 eV? Que significa que la temperatura que puede alcanzar del filamento antes de fundirse sea 3695 K? (5.24x10+4 K; muy pocos electrones contribuyen al flujo)

Modelo del Filamento

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Ejercicios 2

7.Si la función de trabajo del Tungsteno es 4.52 eV, cual es la velocidad mínima que tiene que tener el electrón para abandonar la superficie del filamento? Considere la aproximación no relativista. (1.90x10+6m/s)

Cual es el error (diferencia entre masa relativista y masa no relativista) para la velocidad calculada en el ejercicio anterior? (2.01x10-5)

Si se asume que el gamma es 0.5, cual seria la máxima densidad de corriente para las temperaturas 20C, 100C, 1000C, 2000C y 3000C? (3.63x10-67A/m2, 2.04x10-50A/m2, 1.67x10-6A/m2, 3.48x10+2A/m2, 7.91x10+5A/m2)

Depende la velocidad final de los electrones de la distancia entre las placas? Porque? (No, la energía es igual a la fuerza por la distancia recorrido, pero la fuerza es proporcional al inverso de la distancia)

Cual es la velocidad que tienen los electrones al alcanzar el ánodo si el potencial aplicado es 20 kV, 40 kV, 80 kV, 120 kV y 150 kV (8.38x10+7 m/s, 1.19x10+8 m/s, 1.68x10+8 m/s, 2.05x10+8 m/s, 2.30x10+8 m/s)

Cual es la corriente que se puede generar entre filamento y ánodo si ambos están a 2 cm, el haz tiene un radio de 1 mm y el potencial aplicado es 1 kV, 5 kV, 10 kV, 20 kV y 50 kV (1.84x10+2 A/m2, 2.06x10+3 A/m2, 5.83x10+3 A/m2, 1.65x10+4 A/m2, 6.52x10+4 A/m2))

Modelo simple de placas

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Ejercicios 3

13.Supongamos que un filamento de Tungsteno opera a 3300 K, cual seria la resistencia de este si su largo es de 5 cm y el radio es 0.02 mm. (41.16 Ω)

Que corriente debe de existir si el filamento del ejercicio anterior se encuentra en equilibrio radiactivo y la temperatura ambiente es de 20C? Asuma el grado de emisión como 1. (1.013 A)

Que potencial tiene que ser aplicado al filamento del ejercicio anterior para lograr la corriente calculada? (41.7 V)

Uno de los primeros betatrón generaba electrones con energías de 2 MeV y tenían un radio del orden de 50 cm. De que orden tenían que ser los campos magnéticos? (0.0267 T)

Cual es la masa relativista del electrón con la energía indicada en el ejercicio anterior? (6.67x10-3 kg)

Cuanto le falta a la velocidad v del electrón para alcanzar la velocidad de la luz c? Indique el resultado como la fracción (c-v)/c. (6.83x10-29)

Si con los parámetros del betatrón se construye un ciclotrón, con que velocidad angular tienen girar los electrones? (4.68 GHz)

Betatrón/Ciclotrón

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Generadores de radiaci n ionizante formulas ejercicios

Ejercicios 4

Klistrón

Si a la entrada del Klistrón se aplica un potencial de 80 kV, con que velocidad entra el electrón al buncher? (8.38x10+7 m/s)

Si la señal que se aplica en el buncher opera con una frecuencia de 2.8 GHz. Cual es el largo del bunch que se genera? (18.8 cm)

Considerando los datos del ejercicio anterior, cual es el factor de propagación del haz? (33.4 1/m)

De que tamaño es el factor de acoplamiento si en el caso del ejercicio anterior se supone que el campo es constante a lo largo de un buncher de 1 cm? (98.2 1/m)

Si el potencial aplicado al buncher es de 500 V, cual es la energía que se le “agrega” o “resta” a los electrones según el ciclo de la señal en el ejercicio anterior? Indique el resultado en keV. (49.08 keV)

Si deseamos acelerar electrones hasta una energía de 6MeV, que velocidad debemos lograr? Indique el resultado en fracción de la velocidad de la luz (0.966)

Si la guía es operada con una radio frecuencia de 2.8 GHz, de que largo debe ser la ultima cavidad? (53.3 mm)

Guía de Ondas

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Ejercicios 4

De que tamaño debe ser la primera cavidad si entra con la energía máximaque resulta de sumar la energía de entrada al Klistrón (ejercicio 20) y aquella que este le suma (ejercicio 24)? (53.3 mm – o sea en este caso las cavidades casi no varían desde la primera a la ultima porque la velocidad inicial es cercana a la de la luz)

Cual es el largo máximo de las cavidades de la guía de onda descrita por los ejercicios anteriores? (53.7 mm)

Cuanta energía suministra cada cavidad si esta tiene un largo de 53.3 mm, la radio frecuencia es de 2.8 GHz y el voltaje máximo es de 150kV? Indique el resultado en MeV. (95.98keV)

Cuantas cavidades tenemos que tener en la guía para lograr electrones de 6 MeV si al ingresar tienen una energía de 50keV? (62)

Para una guía de ondas de 1 cm de radio y largo infinito, cual es la primera frecuencia angular de corte? (7.22x10+10 1/s)

Cual es la velocidad de grupo de una onda en una cavidad infinita para el caso de vector de onda cero? (cgrupo=c)

Porque la guía de onda de largo infinito no logra acelerar electrones? (Porque la velocidad de grupo de las ondas (c) se adelantan a la de los electrones (v < c) que deben acelerar)

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Ejercicios 5

Colimador y focalizador

Si el electrón que sale del Linac tiene una energía de 6 MeV, que intensidad tiene que tener el campo magnético para que lo logre deflectar en tan solo 15 cm? (1.13x10-2 T)

Si un electrón tuviese una energía en un 0.1% menor a los 6 MeV, cual seria la diferencia entre el radio de la trayectoria de este electrón con respecto del de 6 MeV? (0.658 mm)

Si la distancia entre la fuente virtual y el paciente es de 2 m, el colimador esta a 50 cm de la fuente virtual y este ultimo tiene un ancho de 2 cm; cual es el ancho del haz a la altura del paciente y cual es el decrecimiento en el borde del haz respecto del centro si no existiera un filtro corrector? (8 cm, 0.998)

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