第 2 章流体力学基础

第2章流体力学基础 “哈勃”抓拍到的气体湍流风暴类似海洋中的怒潮，该图片实际显示的是炽热的氢气和其它少量如氧或硫元素组成的泡沫海洋。图片由美国国家宇航局的“哈勃”太空望远镜拍摄，表现的恒星形成温床——天鹅星云的一小块区域，该星云位于人马座方向，距地球约5500光年。

§2.1 流体力学简介 流体: 具有流动性的物体。液体和气体都是流体。由连续分布的流体质量元组成的。流体力学是力学的一个分支，它主要研究流体本身的静止状态和运动状态，以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律。流体力学中研究得最多的流体是水和空气。它的主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律，常常还要用到热力学知识，有时还用到宏观电动力学的基本定律、本构方程和物理学、化学的基础知识。

宏观上看为无穷小的一点，有确定的位置 、速度、密度和压强等；流体静力学（用P、F浮、等物理量描述）流体动力学（用P、V、h 、等物理量描述）流体力学流体质量元 • 微观上看为无穷大，不必深入研究流体分子的无规则热运动；

§2.2 理想流体的定常流动 理想流体:绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略时，可看作不可压缩流体。流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。一、定常流动流体流经的空间称为流体空间或流场。定常流动：流体流经空间各点的速度不随时间变化。流体质量元在不同地点的速度可以各不相同。流体在空间各点的速度分布不变。 “定常流动”并不仅限于“理想流体”。

通常所取的“流管”都是“细流管”。细流管的截面积 ，就称为流线。二、流线流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。流场中流线是连续分布的；流速大空间每一点只有一个确定的流速方向，所以流线不可相交。流线密处，表示流速大，反之则稀。三、流管流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。流管内流体的质量是守恒的。

四、连续性原理 描述了定常流动的流体任一流管中流体元在不同截面处的流速与截面积的关系。取一细流管，任取两个截面和，经过时间，流入细流管的流体质量两截面处的流速分别为和，流体密度分别为和。上式称为连续性原理或质量守恒方程，其中称为质量流量。 Δt S1 v1 S2 v2 同理，流出的质量流体作定常流动，故流管内流体质量始终不变，即（常量）或

对于不可压缩流体，为常量，故有 上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，其中称为体积流量。是对细流管而言的。物理上的“细”，指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成“细流管”。 S2 S1 v2 v1 对同一流管而言，C 一定。截面积 S 小处则速度大，截面积 S 大处则速度小一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为4∶1，已知水管粗处水的流速为2m·s-1。例求水管狭细处水的流速由连续性原理知解得

如图是一种自动冲水器的结构示意图，进水管A 管口截面积为3cm2，出水管B 管口截面积为22cm2，出水时速度为1.5m·s-1,该冲水器每个5min能自动持续出水0.5min. 例 A h 进水速度求 B D = 0.8m 出水管的体积流量解 0.5min. 出水量进水管的体积流量 5.5min. 出水量因所以

伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或截面上 、及地势高度之间的关系。 d v2 c S2 Δt v1 b a Δt S1 §2.3 伯努利方程及其应用一、伯努利方程的推导如图，取一细流管，经过短暂时间 △t，截面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到d ，流过两截面的体积分别为由连续性原理得在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过△t 时间动能变化量：

P2 S2 h2 P1 h1 S1 或流体经过△t时间势能变化量： Δt △t 时间内外力对该段流体做功： Δt 由功能原理：即上式即为伯努利方程的数学表达式。

二、伯努利方程的意义 表示单位体积流体流过细流管外压力所做的功；表示单位体积流体流过细流管后动能的变化量；表示单位体积流体流过细流管重力所做的功；（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。（4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。（5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v之间的关系。

S = » B v v 0 A B S A 三、伯努利方程的应用小孔流速如图所示，且SB＜＜SA，以 A、B 两点为参考点，由伯努利方程： SA SB 由可知，选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h得因PA= P 0 P B =P 0 所以 ---托里拆利公式即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。

水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理可知 ，所以此例实质为小孔流速问题 hA hB hc 左图是利用虹吸管从水库引水的示意图。虹吸管虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。 B A C 如果hA－hB＜0，管内流速没有意义。如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。喷雾原理因SA很小，vA增大使PA大于大气压，容器内流体上升到A处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。

h h 为 U 形管中液体密度，为流体密度。比多管由伯努利方程 B 从U形管中左右两边液面高度差可知 A 由上两式得较适合于测定气体的流速。常用如图示形式的比多管测液体的流速 A B

h SA SB 管道中的流速文丘里流量计（测量管道中液体体积流量）如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程由连续性原理又

2 1 4 3 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，例求（1）管2、3、4的流量; v2 （2）管2、3、4的流速; v1 v4 v3 （3）管1、4中的压强差. 解 (1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3•s-1 ∵ S2 = S3Q2 + Q3 = Q1 ∴ Q2 = Q3 = 450cm3•s-1 (2) v2 = v3 = Q2∕S2 = 450∕15 = 30cm•s-1 v4 = Q4∕S4 = 900∕10 = 90 cm•s-1 (3) v1 = Q1∕S1 = 900∕15 = 60cm•s-1 由伯努利方程得

.一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2∶1 ，已知粗管内水的流速为1m•s-1 , 例细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。求解 ∵d1∶d2 =2∶1 ∴ S1∶S2 = 4∶1 且v 1= 1m•s-1 由 S1v1 =S2v2 得 v2 = 4v1 = 4 m•s-1 又由得

s2 v2 h2 当水龙头关闭时，，由伯努利方程 v1 S1 水管里的水在压强P = 4.0×105Pa作用下流入室内，水管的内直径为 2.0 cm，引入 5.0 m高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速为4.0m·s-1。例浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。求解即 = 3.5×105Pa 当水龙头完全打开后，由伯努利方程：即 = 2.3×105Pa 打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。

如图所示为一虹吸装置，h1和h2及流体密度 已知，例 a、b、c、d各处压强及流速。求 c h1 h2 解由题意可知，va= 0, pa= pd= p0 a b 选d点所在平面为参考平面，对a、d两点应用伯努力方程，有 d 解得因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以由连续性原理，有：对于a、b两点，有对于a、c两点，有得：

伯努利人物简介 丹尼尔·伯努利（1700~1782）， 1700年1月29日生于尼德兰的格罗宁根。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学习逻辑、哲学、医学和数学。1724年，丹尼尔获得有关微积分方程的重要成果，从而轰动欧洲科学界。伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究，其著名的《流体力学》一书影响深远。他同时是气体动力学专家。1782年3月17日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。

§2.4 黏滞流体的定常流动 所有流体在流动时具有黏滞性，因此会有能量的损耗。当能量损耗必须计时，将其作黏滞流体处理。一、牛顿黏滞定律层流：当流体流速较小时，保持分层流动，各流层之间只作相对滑动，彼此不相混合。流体的这种运动称为层流。湍流：当黏滞流体流速较大时，容易产生径向流动（垂直于管轴方向的速度分量），各流层相互掺合，整个流体作无规则运动，称为湍流。

v+dv f dy v f´ 其中比例系数称为黏滞系数，在IS制中单位为Pa· s；与流体的属性、温度有关，与流体的运动形式无关。一般液体的随的升高而减小，气体的随的升高而增大。牛顿黏滞定律 : 在流动的黏滞流体中，如果相邻的流体质量元速度不同，它们之间存在着阻碍它们相对运动的力，称为黏滞阻力。 1687年，牛顿发现作层流的黏滞流体中，流层间的黏滞阻力 y △s △s x 这种黏滞流体称为牛顿流体。

牛顿流体除了外压力和重力做功外，还有黏滞力做功。假设单位体积流体流过细流管黏滞力做功为 ，则伯努利方程为 1 2 A B C 二、黏滞流体的伯努利方程牛顿流体在粗细均匀的水平管道中作定常流动：因为得必须使管道左右两端保持足够的压强差才能维持牛顿流体的定常流动牛顿流体在横截面积相同的敞口渠道中作定常流动：因为得必须使渠道有足够的倾斜度才能维持牛顿流体的定常流动

流体是作层流还是作湍流与一个无量纲的数 的大小有关，其称为雷诺数。三、湍流（流体作湍流时，阻力大流量小，能量耗损增加）能量耗损E与速度的关系为式中k是比例系数，它与管道的形状、大小以及管道的材料有关，式中的v是平均流速。四、雷诺数流体的流动状态由雷诺数决定。流体由层流向湍流过渡的雷诺数，叫做临界雷诺数，记作Re。对于圆形管道在管道中流动的流体，只要雷诺数相同，它们的流动状态就比较类似。

人体大动脉的直径为 4.0×10 -2m ，血液的密度为103kg·m-3、黏滞系数为3.5×10-3Pa·s，其平均流速为45×10-2m·s-1（大动脉的临界雷诺数 Re 为110~850）例求血液的雷诺数。解由得人体大动脉血管内的血流为湍流。

dr 2R l §2.5 泊肃叶定律斯托克斯定律一、泊肃叶定律（描述水平管道中牛顿流体的流速随半径 r 的分布规律）如图所示，在管内选取一半径为 r 厚为dr，长为l，流速为v 的与管同轴的薄圆筒状流层。流层所受的内摩擦力的合力为流层所受的净压力为稳定流动时，有积分，得圆管中实际流体的流速随半径的分布规律。

dr r o Q 与（单位长度上的压强差）成正比； A Ⅰ B Ⅱ 通过管道的总流量 ——泊肃叶定律 Q 与η 成反比； Q与R 4成正比，R对Q 的影响非常大；测量流体粘滞系数的实验方法，如毛细管粘度计, 奥氏粘度计. 令得 ——达西定理

式中为牛顿流体的黏滞系数， 为小球半径，为小球相对于流体的速度。二、斯托克斯定律（牛顿流体中的小球作低速运动的规律）牛顿流体中作低速运动的小球所受阻力的大小：测定流体的粘滞系数、进行沉降分离和离心分离。三力平衡时有沉降分离收尾速度黏滞系数颗粒半径

ω ω C O v ω x 粒子离心分离因生物大分子半径很小，收尾速度vT太小，无法实现沉降分离。必须通过增大力场的办法使其的收尾速度达到要求。 B O C 以离心场替代重力场，所以 g应由ω2x取代，得出颗粒的收尾速度为 A 离心加速度经常用重力加速度的倍数来表示，以此表明离心机离心能力的大小。沉降系数 S是单位离心加速度引起的沉积速度。 IS制中单位为秒（s）.常用斯威德伯（S）. 1 S = 10-13 s

如果土壤颗粒匀速下沉的距离s = 0.150 m，所用时间t = 67 s , 80℃时土壤颗粒的密度ρ= 2.65×103 kg·m-3，水的密度ρ0= 9.982×102 kg·m-3 , 粘滞系数η = 1.005×103 Pa·s ，例求土壤颗粒半径则收尾速度解土壤颗粒半径

§2.6生物流体力学简介 一、生物流体力学的基本概念生物流体与生命现象有关的流体的总称。生物流体力学就是在传统流体力学的基础上研究生物流体流动规律的边缘学科。生物体内流体的流动。如植物体内水和糖分的输送过程；动物体内血液流动、呼吸气流、淋巴循环、胆汁分泌、肠道蠕动及吸收、排泄、细胞分裂中的流动与变形规律，水生植物细胞内以及黏菌体内原生质的运动等。生物流体力学研究对象外部流体对生物体运动的影响。如动物泳动及飞行等。

..... 生物流体力学研究方法非连续介质流体研究连续介质流体研究拉个朗日法欧拉法微结构连续介质悬浮介质中的颗粒除介质外，影响生物流体流动的因素还非常多，如繁杂的管道系统、流动的原始动力、生物系统的高度协调性等。

y x 二、生物流体的分类剪切应力设在两块水平平行薄板之间充满某种粘滞液体，下板固定不动，而上板在力F的作用下向右以一定的速度v运动 F S  表示剪应力。牛顿流体比如空气、水、石油等绝大多数机械工业中常用的流体流体与时间无关的非牛顿流体非牛顿流体与时间有关的非牛顿流体（粘弹性流体）

根据与 的关系，非牛顿流体可分为几大类： 1）塑性流体：它有一个保持不产生剪切变形的初始应力（称为致流应力），只有克服这个初始应力后，切向应力才与成正比例关系： τ dv/dy 2 1 3 τ0 4 比如凝胶、牙膏等都属于塑性流体。 2－塑性流体 1－牛顿流体 3－假塑性流体 4－涨塑性流体

2）假塑性流体：当较小时，对 的变化率较大，近似于塑性流体有初始应力的情况；但当较大时，对的变化率又逐渐降低：比如泥浆、纸浆、高分子溶液等都属于假塑性流体。

3）涨塑性流体：当较小时，对 的变化率较小；当较大时，对的变化率逐渐变大：一些乳化液、油漆、油墨等都属于涨塑性流体。

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