DERS:MATEMATİK
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 33

DERS:MATEMATİK PowerPoint PPT Presentation


  • 157 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

DERS:MATEMATİK. GRAFİK ÇİZİMLERİ. KONU:. POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ. KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ. ASİMPTOTLAR. 1)POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ.

Download Presentation

DERS:MATEMATİK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


DERS:MATEMATİK

GRAFİK ÇİZİMLERİ

KONU:

POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ

KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

ASİMPTOTLAR


1)POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ

F(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0 şeklindeki bir polinom fonksiyonunun grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenir:

1.f(x) in tanım kümesi bulunur.

Yani bu fonksiyonlar x  R için tanımlıdır.

2.f(x) in eksenleri kestiği noktalar bulunur.

x=0 için oy eksenini kestiği nokta,

y=0 için ox eksenini kestiği nokta bulunur.

y=0 için bir x değeri bulunamıyorsa fonksiyonun ox eksenini kesmediği anlaşılır.

Bu basamakları örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN


3.Fonksiyonun geliş ve gidiş yönüne bakılır.

imx + 

_

(anxn+....) limiti hesaplanır,bulunan değerler eğrinin uç

l

noktalarının hangi bölgede olduğunu gösterir.

y

II.bölge

( -,+)

I.bölge

(+,+)

x

VI.bölge

(+,-)

III.bölge

(-,-)

x

 için

y

 ise

I.bölge

+

+

x

-

 için

y

 ise

+

II.bölge

 için

 ise

x

-

y

-

III.bölge

 için

 ise

x

+

y

-

IV.bölge

Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN


4. F(x)’in tam kareli bir çarpanı,veya başka bir deyişle için çift

katlı bir kökü varsa bu kökte grafik ox eksenine teğettir.

5. F(x)’in türevine bakılır;yani fonksiyonun birinci türevi alınıp sıfıra eşitlenir,varsa kökler bulunur,bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazılarak y değeri elde edilir.Bu değerler fonksiyonun maksimum veya minimum değerini verir.

6.Değişim tablosu yapılır.Yukarıdaki bulunan tüm bilgiler tabloya

aktarılır,türevin işareti incelenir,fonksiyonun minimum ve maksimum

noktaları belirlenir.

SONUÇ:

Bu bilgilerin tamamı koordinat düzlemine aktarılarak

grafik çizilmiş olur.

Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN


f : R R , f(x) = x2-2x-3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

1. Tanım kümesi tüm reel sayılardır.

2.Eksenleri kestiği noktalar.

için

için

x2-2x-3

x1= -1 , x2=3

3-4-5

6

BASAMAK


3.Fonksiyonun uç noktaları;

x +  için y + I.bölge

x + için y + II.bölge

4.Çift katlı kök yoktur.

5.Türevine bakalım.


6.Değişim tablosunu inceleyelim.

x

-1

0

1

3

-

-

+

-

+

0

-3

-4

0

y

x

1

3

-1

-3

-4

ÖRNEK


ÖRNEK SORU:

f(x)= (x-2)2(x+1)fonksiyonun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM


ÇÖZÜM:

1. F(x) bir polinom olduğundan x R için tanımlıdır.

2.Eksenleri kestiği noktalar

x=0 için y=4 , A(0,4)

y=0 için (x-2)2(x+1)=0

x1=x2=2, x3=-1 bulunur.

3.Fonksiyonun uç noktaları

x için y I.bölge

x- için y- III.bölge


4.Fonksiyonun (x-2)2 çarpanı tam kare olduğundan eğri x=2 apsisli

noktada x eksenine teğettir.

5.Türevine bakalım.

F(x)=(x-2)2(x+1) ise

f ‘(x)=2(x-2)(x+1) + 1 (x-2)2 =0

(x-2)

-

=0

(x-2) (3x)=0

x=2 , x=0 türevin kökleri

6.Değişim tablosu

-1

0

2

-

+

+

+

y

f(x) = (x-2)2(x+1)

f(0) = (0-2)2(0+1) = 4 ise f(0) =4

f(2) = (2-2) (2+1) = 0 ise f(2)=0


Fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

4

-1

2

DİĞER ÖRNEK


ÖRNEK SORU 2

Fonksiyonun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM


ÇÖZÜM:

1.

F(x) fonksiyonunu

için tanımlıdır.

2.Eksenlerin kestiği noktalar

3.Fonksiyonun uç noktaları


4.Fonksiyonda çift kat kök yoktur.

5.Türevine bakalım.

6.Değişim tablosu

0

1

2

+

+

-

+

+

-2

-2

0

max

min


GRAFİK:

y

x

1

2

-2


ASİMPTOTLAR

Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teğet olan doğru veya eğrilerdir.

DÜŞEY ASİMPTOT

YATAY ASİMPTOT

EĞRİ VE EĞİK ASİMPTOT


kesirli fonksiyonunda paydayı sıfır yapan x

değerine düşey asimptot denir.

Düşey Asimptot

Burada a ve b noktalarındaki limitler gider.


y

y

x

x

a

b

Düşey Asimptot

Not:Grafik hiçbir zaman düşey asimptotu kesmez,ancak

düşey asimptota sonsuzda teğet olur.


kesirli fonksiyonu verildiğinde

1.Q(x)=0 denkleminin kökleri düşey asimptotları verir.

Eğer kökleri yoksa fonksiyonun düşey asimptotlarıda yoktur.

Düşey Asimptot

2.Düşey asimptot grafiği parçalar yani düşey asimptot sayısı

n tane ise grafik n+1 parçadan oluşmaktadır.

3.Kesirli fonksiyonların paydası (x-a)2 gibi tam kare ise x=a

da eğrinin ‘a atılmış bir ekstremumu vardır.

(Aklımızda kalması için biz buna x=a da bir baca vardır

diyeceğiz)


y

x

ÖRNEK SORU

y

x

Düşey Asimptot

x=a da

‘a atılmış bir

x=a de ‘a atılmış

bir ekstremum(baca) vardır.

ekstremu (baca) vardır.

UYARI:

kesirli fonksiyonunda Q(x)=0 denkle-

minin kökleri P(x)=0 denkleminin kökü değilse düşey

asimptotturlar.Eğer Q(x)=0 denkleminin kökü,P(x)=0 denk

leminin de kökü ise,bu noktada f(x)’in sağ ve sol limitlerine

bakılır bu limitlerden en az ise o kök düşey asimptottur.


ÖRNEK SORU:

Düşey Asimptot

eğrisinin düşey asimptotu nedir?

ÇÖZÜM


ÇÖZÜM:

Paydayı sıfıra eşitleyelim

Düşey Asimptot

Bunlar düşey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limit-

lerin ‘a gitmesi gerekir.

olduğundan x=2 düşey asimptot değildir.

olduğundan x=-2 düşey asimptottur.


YATAY ASİMPTOT

kesirli fonksiyonunda

ve

y=a ve y=b doğrularına yatay asimptot denir.

Bu kesirli fonksiyon da;

i)Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse

olduğundan yatay asimptot yoktur(eğik veya eğri aimptot vardır)


x

x

ii)Payın derecesi paydanın derecesine eşitse eşit dereceli terimlerin önündeki katsayıları oranı limitin değeridir.

olduğundan yatay

asimptottur.

iii)Paydanın derecesi payın derecesinden daha büyükse

olduğundan y=0 yani x ekseni yatay asimptottur.

y

y

UYARI:Eğri düşey asimptotu kesmez.Fakat yatay asimptot eğri ve eğik

asimptotları kesebilir.Fonksiyonla asimptot denklemi ortak çözüldüğünde

bu kesim noktaları bulunur.

ÖRNEK SORU


ÖRNEK SORU:

eğrisinin yatay asimptotu bulunuz...

ÇÖZÜM


ÇÖZÜM:

olduğundan y=-3 yatay asimptottur.

y

x

y=-3

-3


EĞİK EĞRİ ASİMPTOTU

kesirli fonksiyonunda payın derecesi paydanın derecesinden

bir derece büyükse eğik,daha fazla dereceden büyükse eğri

asimptot vardır.

y=f(x) eğrisi için

olacak şekilde bir K(x) polinomu varsa buna f(x) eğrisinin bir eğri

veya eğri asimptotu denir.Bu asimptot K(x)=mx+n şeklinde ise eğik

K(x)=mx2+nx+t şeklinde ise eğri asimptot adını alır.

şeklinde yazılarak K(x) elde edilir.

SORU


ÖRNEK SORU:

Fonksiyonunun eğri asimptotunu bulunuz...

ÇÖZÜM


ÇÖZÜM:

SONUÇ=

olduğundan y=x2-1 eğri asimptottur.

1

-1

-1


KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Bir f(x) fonksiyonunu grafiğini çizmek için aşağıdaki yollar sırasıyla

izlenir.

*) f(x) in tanımlı olduğu aralık bulnur,fonksiyon trigonometrik ise pe

riyodu tespit edilir.

**) f(x) fonksiyonunun asimptotları bulunur.

***) f(x) fonsiyonunun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

a) x=0 için y= f(0), A[0,f(0)] noktası fonksiyonunu y eksenini

kestiği noktadır.

b) y=0 için f(x)=0,B(x,0) noktası fonksiyonunun x ekseninin

kestiği noktadır.

****)Fonksiyon kesirli ise pay kesirsiz ise çarpanlardan biri tam kare

ise tam karenin kökünde grafik x eksenine teğettir.

*****)Türevine bakılır.Yani f’(x)=0 denklemi çözülerek eğrinin

ekstremum noktaları bulunur.Değişim tablosu yapılarak artan ve aza-

lan olduğu aralıklar tesspit edilir.Bütün bilgiler bu değişim tablosu üzerine

yazılır ve bu bilgiler ışığında grafik çizilir.

SORU


ÖRNEK SORU:

Fonksiyonunun grafiğini çiziniz....

ÇÖZÜM


ÇÖZÜM:

i) f(x)=y nin tanım kümesi R-{2} dir.

ii) x-2=0 ise x=2 düşey asimptot

doğrusu yani x ekseni yatay asimptottur.

iii)Eksenleri kestiği noktalar x=0 için

noktası y ekse-

nini kestiği noktadır.

yani eğri x eksenini kesmez.

iv)Değişim tablosu incelenirse olduğundan denklemin

kökü yoktur dolayısıyla foksiyon her yerde azalandır.


0

2

x

-

y’

-

-

y

0

0

grafik ise şöyledir;

y

x

2


  • Login