Stereometrie
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 25

Stereometrie PowerPoint PPT Presentation


  • 88 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Stereometrie. Vzdálenost bodu od přímky. VY_32_INOVACE_M3r0113. Mgr. Jakub Němec. Vzdálenost bodu od přímky v prostoru. Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu převést na určování vzdálenosti dvou bodů.

Download Presentation

Stereometrie

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Stereometrie

Vzdálenost bodu od přímky

VY_32_INOVACE_M3r0113

Mgr. Jakub Němec


Vzdálenost bodu od přímky v prostoru

  • Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu převést na určování vzdálenosti dvou bodů.

  • Vzdálenost bodu od přímky jsme řešili v planimetrii a víme, že tuto vzdálenost určuje daný bod a bod přímky, který nazýváme patou kolmice. Tato kolmice je kolmá k přímce a zároveň prochází zadaným bodem.

  • V prostoru je před řešením úlohy nutné určit si rovinu, ve které budeme vzdálenost hledat. Rovina bude určena bodem a přímkou, což je dostačující pro její přesné určení.

  • Nalezením této roviny získáme řez prostorového úvaru, jehož pomocí je příklad zadán. Jak víme, řez je dvourozměrný geometrický útvar, takže při dalších krocích postupujeme obdobně jako v planimetrii.


V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 4 cm určete vzdálenost bodu A od přímky GH.


Bod A a přímka GH jednoznačně určují řez krychle.


Zde je znázorněn řez krychle rovinou AGH.

Z vlastností krychle vyplývá, že daný řez je obdélník.


Strana AB měří samozřejmě stejně jako hrana krychle 4 cm.

Strana AH je naše hledaná vzdálenost, poněvadž spojnice bodů AH je kolmá k přímce GH.

Bod H je tak patou kolmice přímky, která je určená bodem A.


Z vlastností krychle vyplývá, že úsečka |AH| je úhlopříčka stěny, tedy úhlopříčka čtverce.

Výpočet je tedy zřejmý – využijeme Pythagorovu větu.


-----------------------------------------------------

Obecně:

Zde je uveden postup výpočtu.

Vzdálenost bodu A od přímky GH je tedy přibližně v = 5,66 cm.

Pro urychlení následujících výpočtů si pamatujte vztah pro výpočet úhlopříčky čtverce.


V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 7 cm určete vzdálenost bodu A od přímky FH.


Bod A a přímka FH jednoznačně určují řez krychle.


Zde je znázorněn řez krychle rovinou AFH.

Z vlastností krychle vyplývá, že strany řezu jsou úhlopříčky stěn krychle, tedy úhlopříčky čtverců.

Náš řez AFH je tedy rovnostranný trojúhelník.


Strany AF, AH a FH měří stejně, tedy cm.

Z vlastností rovnostranného trojúhelníku vyplývá, že kolmice z bodu A k protější straně (je to tedy výška trojúhelníku) protíná stranu FH přesně v jejím středu S.

Bod S je tak patou kolmice k přímce FH, která je určená bodem A.

Úsečka |AS| je naše hledaná vzdálenost.

K výpočtu opět využijeme Pythagorovy věty.


Uvedené řešení je založeno na úpravě obecných rozměrů krychle.

Získáme tak obecný vztah pro výpočet naší situace.

Poté stačí pouze dosadit rozměr do získaného vztahu a příklad je vyřešen.


Při dosazení rozměrů do rovince je nutné nezaokrouhlovat, popř. zaokrouhlit alespoň na tisíciny. V opačném případě vyjde vzdálenost nepřesně.


V kvádru ABCDEFGH s rozměry |AB|= 7 cm, |BC|= 4 cm a |AE|= 3 cm urči vzdálenost bodu A od přímky BH.


Bod A a přímka BH jednoznačně určují řez kvádru.


Zde je znázorněn řez kvádru rovinou ABH.

Z vlastností kvádru vyplývá, že daný řez je obdélník.


Kolmice k přímce BH, která zároveň prochází bodem A, nám určí patu kolmice P.

Nyní máme tři způsoby, jak vypočítat vzdálenost AP:

-na základě podobnosti trojúhelníků

- na základě goniometrických funkcí

- na základě obsahu trojúhelníku.


Pokud chceme využít podobnosti trojúhelníků, musíme nejdříve podobné trojúhelníky najít.

V našem případě jsou to trojúhelníky APB (pravý úhel u bodu P) a HAB (pravý úhel u bodu A).

K výpočtu potřebujeme znát znát úhlopříčku boční stěny BG a tělesovou úhlopříčku BH.


Pokud využijeme poměru odpovídajících stran, můžeme bez složitějších výpočtů určit vzdálenost AP.

V našem kvádru zřejmě platí (|AH|=|BG|) .


Při výpočtu pomocí goniometrických funkcí využijeme funkce tangens a sinus.


Musíme ovšem znát buď stranu AH nebo stranu BH.

Využijeme výpočet z předchozího postupu.

Bez zaokrouhlení nám vyjde výsledek přesně jako v prvním případě, tedy asi 4,07 cm.


Poslední možností je využití obsahu trojúhelníku.

Obsah trojúhelníku ABH lze vypočíst pomocí stran AB a AH nebo pomocí strany BH a její výšky AP.

Pro výpočet využijeme opět rozměry, které jsme již zjistili v prvním způsobu řešení.

Sami můžete porovnat výsledky. Pokud nedojde k zaokrouhlení, vedou všechny tři postupy k témuž výsledku. Záleží pouze na vás, který z nich budete preferovat.

cm


Úkol závěrem

  • 1) V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 5 cm urči vzdálenost bodu F od přímky BS, kde bod S je střed horní podstavy krychle.

  • 2) V kvádru ABCDEFGH s rozměry |AB|= 5 cm, |BC|= 5 cm a |AE|= 9 cm urči vzdálenost bodu H od přímky AC.


Zdroje

  • Literatura:

    • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7.

  • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.


  • Login