第八章 非线性控制系统分析
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第八章 非线性控制系统分析 8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法 8-5 非线性系统的逆系统方法 【 自学 】 PowerPoint PPT Presentation


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第八章 非线性控制系统分析 8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法 8-5 非线性系统的逆系统方法 【 自学 】 8-6 simulink 应用. 1. 研究非线性控制理论的意义 由于 组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性 ,所以实际上,理想的线性系统并不存在。. 8-1 概述. 例 1: 放大元件由于受电源电压或输出功率的限制,在输入电压超过放大器的线性工作范围时,输出呈 饱和现象 ,如图 (a) ;

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第八章 非线性控制系统分析 8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法 8-5 非线性系统的逆系统方法 【 自学 】

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第八章 非线性控制系统分析

8-1 非线性控制系统概述

8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响

8-3 相平面法

8-4 描述函数法

8-5 非线性系统的逆系统方法【自学】

8-6 simulink 应用


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1. 研究非线性控制理论的意义由于组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性,所以实际上,理想的线性系统并不存在。

8-1 概述

例1:放大元件由于受电源电压或输出功率的限制,在输入电压超过放大器的线性工作范围时,输出呈饱和现象,如图(a);

执行元件电动机,由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩,只有在电枢电压达到一定数值后,电机才会转动,存在着死区,而当电枢电压超过一定数值时电机的转速将不再增加,出现饱和现象,其特征如图(b) ;

传动机构,受加工和装配精度的限制,换向时存在着间隙特性,如图(c) 。

(a) (b) (c) (d)


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例2:某容器的液位高度 H 与液体流入量 Qi满足方程

式中 S 为液位容器的横截面积。

  • 非线性是宇宙间的普遍规律

  • 非线性系统的运动形式多样,种类繁多

  • 线性系统只是在特定条件下的近似描述


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2 非线性系统运动的特殊性

当系统中含有一个或多个非线性元件时, 该系统称为非线性系统。一般,非线性系统的数学模型可表示为

其中f( )和g( )为非线性函数。

当非线性程度不严重时,可以忽略非线性特性的影响,将非线性环节视为线性环节;当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时,可用微偏法线性化。

对于非线性程度比较严重,且系统工作范围较大的非线性系统,只有使用非线性的分析和设计方法,才能得到较为满意的结果。


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非线性系统的特点(P386)

非线性一阶系统的时间响应

非线性系统的自激振荡

  • 不满足叠加原理 —线性系统理论原则上不能用

  • 稳定性问题 —不仅与自身结构参数,且与输入,初条件有关,平衡点可能不惟一

  • 自振运动 —非线性系统特有的运动形式

  • 频率响应的复杂性 —跳频响应,倍/分频响应,组合振荡 (混沌)


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菜单

File/Open/D:\MATLAB6p5\toolbox\simulink\simdemos\lorenz2.mdl


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菜单Help/Demos/ MATLAB/Graphics/Lorenz Attractor Animation


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3. 非线性控制系统的分析方法

小扰动线性化

非线性系统研究方法

仿真方法

相平面法

描述函数法

波波夫法

逆系统法

反馈线性化法

微分几何法

全数字仿真

半实物仿真


11 p418

11种(P418)

8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响

1.常见非线性特性


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2. 非线性特性的等效增益

非线性环节可看作变增益比例环节

非线性特性

(1)继电特性

继电器、接触器和可控硅等电气元件的特性通常都表现为继电特性。

电磁继电器的工作原理和输入-输出特性


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继电特性的等效增益曲线如下图所示。

当输入x趋于零时,等效增益趋于无穷大;

由于输出y的幅值保持不变,故当|x|增大时,等效增益减小,|x|趋于无穷大时,等效增益趋于零。


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(2)死区

一般是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区造成的。死区特性的等效增益曲线如下图所示。

来源:各类液压阀的正重叠量;系统的库伦摩擦;测量变送装置的不灵敏区;调节器和执行机构的死区;弹簧预紧力等。

当|x|<△时,k*=0 ;当 当|x|>△,k*为|x|增函数,且随|x|于无穷时,k*趋于k。


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(3)饱和

放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和现象,等效增益曲线如下图所示。

来源:放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等。

当输入|x|≤a时,输出y随输入x线性变化,等效增益k*=k;当|x|>a时,输出量保持常值,k*为|x|的减函数,且随|x|趋于无穷而趋于零。


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(4) 间隙特性

来源:传动机构的间隙:

①齿轮传动中的齿隙(齿轮、蜗轮轴的加工及装配误差);

②液压传动中的油隙;

③磁滞效应。

间隙特性为非单值函数。


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(5)摩擦特性摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性。摩擦力阻挠系统的运动,即表现为与物体运动方向相反的制动力。

摩擦力一般表示为三种形式的组合,如图所示。F1是物体开始运动所需克服的静摩擦力; F2为动摩擦力;第三种摩擦力为粘性摩擦力,与物体运动的滑动平面相对速率成正比。


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3.对系统运动的影响

为便于定性分析,采用下图所示的结构形式,图中K*为非线性特性的等效增益,G(s)为线性部分的传递函数,K为线性部分的开环增益。

当忽略或不考虑非线性因素,即K*为常数时,系统变为线性系统,因此非线性系统的分析可在线性系统分析的基础上加以推广。非线性因素对系统运动的影响通过增益的变化改变系统的闭环极点的位置,因而仍可采用根轨迹法或频域法分析。


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(1)继电特性

超调量增大:

造成的影响:

(1)改善系统性能,简化系统结构。

(2)可能会产生自激振荡,使系统不稳定。

|x|较大时k*下降,阻尼比较大,超调量减小; |x|较小时K*上升,阻尼比较小,超调量增大。


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(2)死区特性

对系统的影响:

(1)使系统产生稳态误差(尤其是测量元件)。

(2)可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。

超调量减小:

|x|较大时, K*上升,阻尼比较小,超调量增大;|x|较小时, K*下降,阻尼比较大,超调量减小。


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饱和非线性系统

曲线1:放大器无饱和

曲线2:放大器有饱和

系统的响应

(3)饱和特性

作用:

(1)大信号作用时,等效传递系数下降跟踪误差,响应时间,稳态误差。

(2)可能使振荡减弱。

(3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。


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(4)间隙特性

间隙的存在,相当于死区的影响,降低系统的跟踪精度。由于间隙为非单值函数,对于相同的输入值x(t),输出y(t)的取值还取决于x´(t)的符号,因而负载系统的运动变化剧烈。

造成的影响:

间隙输出相位滞后,减小稳定性裕量,动特性变坏自持振荡。所以应尽量避免或减小。


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(5)摩擦特性

传动机构的结构图如图。由静摩擦到动摩擦的跳变造成系统低速运动的不平滑性,即当系统的输入轴作低速平稳运转时,输出轴的旋转呈现跳跃式的变化--低速爬行现象。


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以上主要是通过等效增益概念在一般意义上针对特定的系统定性分析了常见非线性因素对系统性能的影响,在其它情况下不一定适用,具体问题必须具体分析。


8 3 1885

由系统变量及其导数(如 )

构成的用以描述系统状态的平面。

8-3 相平面法(1885年庞加莱)

(1) 相平面和相轨迹

相平面:

1 相平面的基本概念

相轨迹:

系统变量及其导数随时间变化

在相平面上描绘出来的轨迹。

例1 单位反馈系统


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相平面法的适用范围

  • 除要求 为解析函数外,别无其它条件;既适用于线性系统,又适用于非线性系统。

  • 相平面是二维的,只适用于一阶和二阶系统;


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上半平面 —向右移动

顺时针运动

下半平面 —向左移动

通过横轴时 ,以90°穿越x轴

设二阶系统方程为:

(2) 相轨迹的性质

运动方向

相轨迹上斜率不确定的点

奇点(平衡点):

对于线性定常系统,原点是惟一的平衡点。


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解 令

线性化

例2 设系统方程为

求系统的平衡点xe,并判定平衡点附近相轨迹的性质。


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特征方程

不稳定焦点

鞍点


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特征方程的根

相轨迹方程

相轨迹是斜率为 的直线,

c

2.线性一阶、二阶系统的相轨迹

(1)线性一阶系统的相轨迹 线性一阶系统自由运动的微分方程为

T>0时,相轨迹沿该直线收敛于原点;

T<0时,相轨迹沿该直线发散至无穷远。


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(2)线性二阶系统的轨迹 描述线性二阶系统自由运动的微分方程为

当b>0时,微分方程又可以表示为

线性二阶系统的特征根

相轨迹微分方程为


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(2) 二阶系统的相轨迹(b≠0)

奇点

相迹图

奇点

相迹图

极点分布

极点分布

中心点

鞍 点

稳定的

焦点

不稳定

的焦点

稳定的

节点

不稳定

的节点


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(2) 二阶系统的相轨迹(b=0)

系统特征根为s1=0,s2=-a, 相轨迹方程为


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例4 系统方程为 ,分析系统的自由响应。

奇点

特征

方程

稳定焦点

极点

鞍点

开关线

(3)利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统

(切换线)


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例5 系统方程为 ,分析系统的自由响应。

奇点

特征

方程

中心点

极点

中心点

开关线——划分不同线性区域的边界线

平衡线(奇线)——不同区域的相轨迹相互影响而产生


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线性部分

非线性部分

综合点

开关线方程

例6 系统如右,已知 ,确定开关线方程,奇点

位置和类型,绘制相平面图。


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中心点

中心点

水平线

相轨迹

以 为中心的椭圆

以 为中心的椭圆

响应

区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质


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例7 系统如右, , ,分别讨论系统运动。

线性部分

非线性部分

比较点

整理

在I 区:

抛物线方程

同理在II 区:

当 时,开关线为:


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( I )

( II )

系统方程

相轨迹图

开关线


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(P394)

3. 绘制相平面的等倾斜线法


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为常数α

等倾线法续1

第一个新思想是

α是相轨迹斜率

第二个新思想是

β是等倾线斜率


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等倾线法续2


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等倾线法续3


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开关线

等倾线法续4

鞍点(0,0)

稳定焦点(0,0)

注意这两条线

渐近线


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注意事项(P395)


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例8 系统如右,在 平面上分析系统的自由响应运动。

线性部分

非线性部分

比较点

整理


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4.相平面上的奇点和奇线

(1)定义

由相轨迹的斜率方程 可知,相平面上的点 只要不同时满足 ,则该点相轨迹的斜率是唯一确定的。

  • 普通点

这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。(即相轨迹曲线不会在普通点相交)


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  • 奇点

若相平面中的某点,同时满足 ,则该点相轨迹的斜率 ,为不定值,这类特殊点称为奇点。

通过奇点的相轨迹不止一条,它是相轨迹曲线的交点。

奇点处 ,系统运动速度和加速度同时为零,状态处于平衡,故奇点又称平衡点。


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  • 奇线

非线性系统通常存在多个奇点

多个奇点共同作用,会产生特殊的相轨迹:

能够把相平面划分为具有不同运动特点的多个区域,这种特殊的相轨迹称为奇线。


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  • 极限环—— 对应二阶非线性系统的周期运动

各类极限环

稳定的极限环

不稳定的极限环

半稳定的极限环


Van der pol

例:Van der Pol 方程 的极限环。


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线性部分

非线性部分

比较点

整理

5.非线性系统的相平面分析

例9 系统如右,在 平面上分析系统的自由响应运动。


R t 2 1 t p405

r(t)=2•1(t)时饱和非线性系统的相轨迹(P405)


R t v t p406

r(t)=vt时饱和非线性系统的相轨迹(P406)


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(P403,P404)


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6.由相轨迹求取系统输出响应曲线

相轨迹上坐标A点移动到B点所需的时间,可按下式计算


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作 业

8- 3 、8 -9、 8 -11


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8-4 描述函数法(1940年Daniel)

1 描述函数基本概念

(1) 周期函数y(t) 的傅氏级数展开


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(2) 理想继电特性的正弦响应

i=1


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y(t)

y(t)

y(t)

ωt

ωt

ωt

非线性环节的正弦响应(补充)


3 p408

(3)描述函数的定义(P408)

1

1

1

1

N(A) = N(A) ej∠N(A) =

y(t)= A0+∑(Ancosnωt+Bnsin nωt)

n=1

非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式

为此,定义正弦信号作用下,非线性环节的稳态输出中一次谐波

分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数,用N(A)表示:

若A0=0,且当n>1时,Yn均很小,则可近似认为非线性环节的

正弦响应仅有一次谐波分量!


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理想继电特性的描述函数:


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2. 非线性特性的描述函数

一般继电特性的描述函数:


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h>0

1>m>0

h=0

m=1

m=-1


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一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率w无关

非线性环节为单(非单)值函数时,N(A)是实(复)数,虚部为(不为) 0


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3. 非线性系统的简化(P415)

N1(A)+N2(A)

N1(A)

N2(A)

等效变换的原则是在r(t)=0条件下,根据非线性特性的串、并联,简化非线性部分为一个等效非线性环节。

(1)非线性特性的并联

由描述函数定义,并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。见右图。


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(2)非线性特性的串联(P415)两个非线性环节串联,可采用图解法简化。以死区特性和死区饱和特性串联简化为例。

通常,先将两个非线性特性按下张图(a)、(b)形式放置,就可以确定等效非线性的参数。


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k2=1

1

注意:两个非线性环节的串联,等效特性还取决于其前后次序。调换次序则等效非线性特性亦不同。描述函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串联,可按上述两个非线性环节串联简化方法,依由前向后顺序逐一加以简化。

0

1

0

0

1

k1=0.7


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G3

(3)线性部分的等效变换(P416)


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(1)基本假设

①结构上:N(A), G(j) 串联

② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优

③ G(j)低通滤波特性好

不包围

稳定

包围

不稳定

则系统

相交于

可能自振

P=0的情况

相切 临界稳定

4. 用描述函数法分析非线性系统

(2)稳定性分析

负倒描述函数


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(3)的绘制及其特点

例1 理想继电特性的负倒描述函数


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j

0

M

-h

h

起于– 

终于– 


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j

0

M

-h

h

实部从0  –  , 虚部为常数


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-2

jIm

-1/3

Re

0


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不是自振点

的点

是自振点

对应半稳定

的周期运动

(4)自振分析(定性)

P=0的情况

穿入

穿出

相切于


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(4)自振分析(定量)

自振必要条件:

例1分析系统的稳定性(M=1),求自振参数。

系统一定自振。

解 作图分析,

由自振条件:

得:

比较实/虚部:


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例2


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例3


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如图所示的非线性系统,

例4

1.分析参数K对系统自由运动的影响;

2.若能产生自激振荡,试求使输出c(t)振幅为1时的振荡频率和参数K的值。

不稳定

稳定

自激振荡;


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作 业

8 -16、 8-17、 8-18、 8 -13


8 7 simulink

8-7 simulink 应用

实验四


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