Le problème de Stokes : Approche naïve de la résolution. Résolution sur cas test

1. Le problème de Stokes : Approche naïve de la résolution. Résolution sur cas test Résolution en cavité entraînée Résolution de Navier-Stokes instationnaire en cavité entraînée.

2. Stokes, un problème couplé vitesse-pression Le problème de Stokes s’écrit :

3. Nous allons traiter le cas 2D, avec les vecteurs solutions écrits sous forme vectorielle, en collocation.

4. Résolution naïve du problème de Stokes. Les équations sont écrites à la suite les unes des autres en se basant sur le vecteur solution comprenant les valeurs des composantes de la vitesse ainsi que les valeurs de la pression. En 2D, avec U et W les composantes en x et en z de la vitesse et P la pression:

5. La résolution est réalisée dans le programme E8_1_Stokes_naif_cas_test.m. Les conditions aux limites sur la vitesse sont choisies de type Dirichlet pour faire simple. Cas test :

6. Le programme : • forme l’opérateur de Stokes stationnaire (Laplacien au lieu du Helmholtz) • Calcule la solution exacte • forme le second membre à partir du terme source et de la solution exacte pour les conditions aux limites de Dirichlet • inverse l’opérateur de Stokes • Calcule la solution numérique • la met sous forme matricielle pour les affichages de différents champs Tester le programme et observer les résultats…

7. Ca ne fonctionne pas. Pour le calcul de l’inverse de l’opérateur de Stokes, mettre en commentaire la ligne Stokesinv=inv(Stokes) Enlever les commentaires des lignes suivantes concernant le nouveau calcul de l’inverse de l’opérateur de Stokes. Interpréter ce que fait le programme sur ces quelques lignes. Relancer le programme modifié. Observer les différents champs tracés sur les figures et cherchez une interprétation aux disfonctionnements précédents.

8. Résumé des observations : Les champs U et W sont bien calculés. Observer la décroissance exponentielle du spectre de U et W. Le champ de pression n’est pas celui attendu Le gradient de pression est bien calculé. Le calcul fait intervenir des modes parasites qui sont filtrés lors de l’inversion faisant intervenir une décomposition préalable en valeurs singulières.

9. Les champs U,W,P font intervenir (L+1)*(N+1) valeurs nodales. Les valeurs de U et W font intervenir des problèmes de Laplace pour lesquels le gradient de pression intervient en terme source et les conditions aux limites sont bien posées. Pour déterminer la pression, on dispose de (L+1)*(N+1) équations de divergence nulle en tout point . Elles sont indépendantes les unes des autres, mais le sont-elles des équations pour U et W ? Il peut être montré que le problème de Stokes 2D fait intervenir 8 conditions de compatibilité entre l’équation de continuité et les conditions aux limites, plus ou moins complexes (détail dans le livre de G. Labrosse). Par exemple, si les conditions aux limites assurent la conservation de la masse au bord, cela est équivalent à assurer la divergence nulle de la vitesse sur le domaine : c’est donc redondant avec l’ensemble des équations de divergence nulle en tout point. Il y a apparition de 8 modes de pression parasite que nous allons détailler.

10. Ces modes polluent la solution en pression. Pourquoi n’affectent-ils pas le calcul de U et W ?

11. Les 4 premiers modes ne produisent un gradient de pression non nul que sur les frontières du domaine : le gradient n’y est pas utilisé. Le 5ème mode est à gradient nul donc n’influe pas. Les 6ème au 8ème modes ont la propriété d’avoir un gradient nul aux points de collocation. Les points de Gauss-Lobatto en x sont en effet les zéros de T’L(x) et ceux en z les zéros de T’N(x). Ces modes n’influent donc pas non plus sur le calcul du gradient de pression.

12. Problème de Stokes stationnaire : écoulement de cavité entrainée. Parois fixes Configuration académique d’écoulement largement utilisée comme cas test pour les programmes de résolution des équations de Navier-Stokes.

13. Programme : E8_2_Stokes_naif_cavent.m Ce programme est simplement obtenu en annulant le terme source imposé dans le programme précédent et en imposant une valeur 1 à la composante de vitesse horizontale à la frontière du bas. Faire tourner le programme et observer les solutions obtenues.

14. Navier-Stokes instationnaire en cavité entrainée Revient à un problème de Stokes à résoudre à chaque itération temporelle :

15. Algorithme du programme : • Résolution du problème de Stokes comme condition initiale. Un-1 et Wn-1. • Un et Wn. • Calcul de l’opérateur de Stokes instationnaire : imposition d’un • coefficient de Helmholtz correspondant à la discrétisation temporelle • et inversion de l’opérateur. • Algorithme de calcul d’évolution temporelle de la solution. • Un-1 reçoit Un Wn-1 reçoit Wn • Un et Wn reçoivent Un+1 et Wn+1 • Evaluation du second membre au temps n+1 • Calcul de la nouvelle solution Un+1 et Wn+1 grâce à l’opérateur inversé. • - Arrêt des itérations et post-traitements.

16. Critique de l’approche naïve L’opérateur à résoudre est énorme. On résout un opérateur ayant pour solution un vecteur de trois fois la taille d’un problème de Laplace, sans possibilité d’utiliser de méthode de diagonalisations successives. Prochaine séance : les algorithmes de découplage vitesse-pression.