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第四章 Fuzzy 邏輯與 Fuzzy 推論

第四章 Fuzzy 邏輯與 Fuzzy 推論. Fuzzy 規則式系統 (Fuzzy rule-based system, FRBS) 為 Fuzzy 理論的重要應用之一 是一種以條件式語句 (conditional statements) 描述人類知識的系統 是以 Fuzzy 邏輯為基礎，擴大到 Fuzzy 推論 的智慧型系統 FRBS 的發展使 Fuzzy 理論在自動控制應用 方面有許多成功的實例. 符號邏輯與 Fuzzy 邏輯. 三段論法邏輯 (syllogistic logic)

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第四章 Fuzzy 邏輯與 Fuzzy 推論

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  1. 第四章 Fuzzy邏輯與Fuzzy推論 • Fuzzy規則式系統(Fuzzy rule-based system, FRBS) • 為Fuzzy理論的重要應用之一 • 是一種以條件式語句(conditional statements) 描述人類知識的系統 • 是以Fuzzy邏輯為基礎，擴大到Fuzzy推論 的智慧型系統 • FRBS的發展使Fuzzy理論在自動控制應用 方面有許多成功的實例

  2. 符號邏輯與Fuzzy邏輯 • 三段論法邏輯(syllogistic logic) • 又稱為古典邏輯(classical logic)，主要是處理如何從辨證過程導出真偽 • Ex. 人都會死 • 蘇格拉底是人 • 蘇格拉底會死 • notes希臘的哲學家亞里斯多德是第一位邏輯學家，他建立了三段論法邏輯的大部分理論 • 三段論法是根據人類的自然語言把常識形式化(formalization)，所以它也受到自然語言不可避免的缺點(如：不精確、容易造成誤解)的困擾 • 十七世紀的德國數學家萊布尼茲為了改善這種不精確的缺點，就發展了符號邏輯(symbolic logic)，後來經過英國數學家布爾整理後重建完整的理論

  3. 符號邏輯 • 又稱作數理邏輯，是採用一套符號代替人們的自然語言。亦即，符號邏輯是把觀念抽象化為符號，並且處理各個符號經過某些運算子運後的關係 • 命題邏輯 用來處理命題的真偽 • 述語邏輯 不僅可以處理命題的真偽，還包括個體 之間的關係處理 • note 這兩種邏輯工具對於定義含糊、語意不 清楚的命題都很難有效地處理。因此導 入Fuzzy邏輯來把原來只能處理真偽二 值的符號邏輯，擴充為可以處理模糊的 命題

  4. 命題邏輯(propositional logic) • 命題邏輯是用來處理不同命的真偽 • 命題 又稱為敘述(statement) • 是命題邏輯的基本單元 • 是一種可以決定真偽的句子，通常以大 寫字母P,Q等表示 • note無法判斷其真偽的句子就不能稱為命題 • Ex. 試判斷下列那些句子是命題 • 地球是太陽系的行星 • 你好嗎 • 她是非常有天份的 • 電池壞了而且端子腐蝕了

  5. note命題邏輯是以古典集合論(classical sets theory)為基礎，在邏輯上只取真(truth)、 偽(false)兩個值 • 一個命題可以指定一個二元的真值(truth value)T(P)表示其真偽，若命題為真， T(P) = 1，若命題為偽則T(P) = 0 • 以集合論來看命題邏輯的真值： • 若A與B是定義在論域U的兩個可以表達 語言性概念或思想的集合，當命題P與Q 要檢驗一個敘述x是否屬於A或B(即x is A或x is B)的真值T(P)及T(Q)可以定義 為：

  6. 簡單命題P • 複合命題(compound proposition)： • 命題之間使用一些連接詞(connectives)來 連接彼此所構成的命題 • note連接詞包括： • 否定(negation)、連接(conjunction)、斷接 (disjunction)、蘊含(implication)、相等 (equality)

  7. T(P)：命題P的真值， • T(Q) ：命題Q的真值， • 否定 命題P的否定 • 連接 命題P與Q的連接 • 斷接 命題P與Q的斷接 • 蘊含 命題P與Q的蘊含 • 相等 命題P與Q的相等

  8. 複合命題連接詞的真值表： • Ex. 利用連接詞把底下幾個簡單命題連接成複合命 題 • (1) • (2)

  9. 複合命題依其結果的真值表現可分成下列幾類：複合命題依其結果的真值表現可分成下列幾類： • 同義(tautology) • 不管個別命題的真偽，永遠為真的複合 命題稱為同義 • 矛盾(contradiction) • 不管個別命題的真偽，永遠為偽的複合 命題稱為矛盾 • 偶發的(contingent) • 除了上述兩類之外的複合命題稱之

  10. 命題邏輯常用的推論法則 • 推論法則名稱 推論法則 • Modus Ponens • Modus Tollens • Syllogism • Double Negation • DeMorgan’s Law

  11. 述語邏輯(Predicate logic) • 述語邏輯為命題邏輯的擴充，將命題分成個體(object)與述語(predicates)兩部分，前者為述語邏輯的基本單元，後者用來描述個體的敘述 • Ex. • 命題的量詞(quantifier) • 所有的(全稱量詞)/有些(存在量詞)

  12. Fuzzy邏輯(Fuzzy logic) • Fuzzy邏輯的概念是起源於Fuzzy集合，它不像傳統的數位邏輯(digital logic)需要明確的模型，亦即，在Fuzzy邏輯中的傳統“真”與“偽”的布林值被由0到1的連續集合歸屬函數值取代 • Fuzzy邏輯可以輕易地處理一些無法準確描述的量，例如：最多的(most)、很多(many)、少數的(few)、輕微的(slightly)、差不多(about)等，這些都是時常伴隨在人類對現實世界狀況的描述中 • Fuzzy命題 為明確集合的拓廣 • 明確命題的真值相當於明確集合中元素 的特徵函數。Fuzzy命題的真值就是 Fuzzy集合的歸屬數。因此，Fuzzy命題 的運算就是Fuzzy集合的運算 • 以Fuzzy集合論來看Fuzzy命題邏輯的真 值：

  13. 語言變數(linguistic variables) • 語言變數是一種表達人類語言概念的工具。以自然語言中的字或句子為值而不是以數為值的變數，例如：語言變數“年齡”其語言值(linguistic value)可以是“童年”、“少年”、“青年”、“中年”、“壯年”、“老年”等 • 語言變數可以由一個五元組(quintuple) (x, T(x), U, G, M)描述其特性，其中 • x代表這個數數的命名，例如顏色、年紀等 • T(x) 表示x的詞集合(term set)，亦即x的語言值名稱 的集合 • U 代表涵蓋這個變數範圍的論域 • G 代表建立語言變數x語言值X的語法規則 (syntactic rule) • M 連結每個詞X的詞意規則(sementic rule)，並以 M(X)表示為論域U的Fuzzy 子集合

  14. Ex. 溫度的語言變數 • x = Temperature：語言變數 • T(x) = T(Temperature) = {Low, Medium, High}：詞 集合或語言項集合 • U = [0, 50]：論域 • G(Temperature)：語法規則 • M：語言項詞意

  15. 語言項的語氣修飾(linguistic hedges) • 語氣修飾為修飾語言項詞義的運算，若Fuzzy集合A為一個語言項，則修飾過後會產生一個新的語言項B = m(A)。常用的語氣修飾數學模型為： • 集中(concentration) —非常(very)：平方乘冪運算 • 擴大(dilation) —或多或少(more or less)：0.5次方乘冪運算

  16. 強化(contrast intensification)：以歸屬度0.5為界，大 於0.5的讓他更大，小於0.5的讓他更小

  17. Fuzzy蘊含式 • Fuzzy規則式系統(FRBS)是一種以條件式語句(conditional statement)描述人類和知識的系統 • 構成FBRS核心的兩個重要部門 • Fuzzy知識庫(Fuzzy knowledge base, FKB) • Fuzzy推論機(Fuzzy inference engine, FIE) • Fuzzy知識庫 • 是描述受控對象所涉及的領域知識(domain knowledge)和操控目標的一些定性及定量 的資訊 • 其主要是由資料庫(data base)及規則庫(rule base)組成 • 資料庫 存放描述領域知識的Fuzzy變數及語言變數 • 規則庫 包含許多Fuzzy蘊含式

  18. Fuzzy蘊含式(Fuzzy implication) • 介紹如何將Fuzzy規則表示成Fuzzy關係的 方法 • 是連接Fuzzy命題之間的重要方法，其 表示法： • note If 部分的X is Ai稱為前題命題(antecedent proposition)，是提供判斷這個語句成立與 否的條件部分 • Then 部分的Y is Bi稱為結論命題(consequent proposition)，用來表現符合條件的結果 • 命題中X與Y稱為Fuzzy變數，代表系統的輸 入變數與輸出變數 • 命題中的Ai與Bi為語言變數，是表現語言特 質的模糊性概念，例如冷熱、強弱等評價。 這些概念大都是主觀且因人而異的，不容易 用明確數據表示，因此會以Fuzzy集合來定 義，並用下列的歸屬函數表示法加以描述

  19. 多前題命題及多結論命題的蘊含式 • 蘊含式的命題可以視實際需要使用適當的連 接詞，例如AND及OR等，連接數個簡單命 題以組成複合命題 • 式中i為語句編號，j及k分別為前題命題及結 論命題的編號，C為連接詞 • Ex.

  20. Fuzzy蘊含式的運算方法 • Fuzzy蘊含式運算的方法有很多種，不同的 做法產生的結果不盡相同，也幾乎可以說是 Fuzzy系統運作的關鍵 • 較常採用的Fuzzy蘊含式的運算方法 • Zadeh蘊含式(Rz) • Lukasiewicz蘊含式(Rl) • Mamdani蘊含式(Rm)

  21. Zadeh蘊含式(Rz) • Lukasiewicz蘊含式(Rl) • Mamdani蘊含式(Rm) • note Mamdani蘊含式是Mamdani從事模糊控制研 究所提出的蘊含式運算方式，目前許多工程 應用的FRBS都是採用這種方法去計算Fuzzy 關係。對Mamdani蘊含式而言，實際上就是 做A與B的直積

  22. Ex. • Mamdani蘊含式

  23. Zadeh蘊含式

  24. 多蘊含式的系統 • 模糊蘊含式在數學意義上就是一種由A對應到B的模糊關係 • 表示系統的某種輸入狀況與輸出的對應關係。因此，對於整個系統的輸入與輸出對應關係就需要用到許多的蘊含式加以描述，蘊含式之間通常會以下列的方式連接在一起 • 此處的Else是蘊含式之間的連接詞，簡稱為生產鏈(production link)

  25. note Fuzzy蘊含式有不同的完成方法，所以蘊含 式之間的Else就會有不同意義。所有蘊含 式經過統合之後，就會變成一個由A到B的 模糊關係Rnote Fuzzy蘊含式有不同的完成方法，所以蘊含 式之間的Else就會有不同意義。所有蘊含 式經過統合之後，就會變成一個由A到B的 模糊關係R • Zadeh把Else看成AND • Mamdani把Else看成OR

  26. Ex. 有一個FRBS的規則庫有兩個蘊含式表示如下： • 使用Mamdani法求出 的Fuzzy關係矩 陣

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