William J. Stevenson

1. OPERATIONSRESEARCH Operations Management Enos William J. Stevenson 8th edition

2. ELIMINASI GAUSS Kamis, 20 April 2006

3. Solusi Numerik untuk persamaan- persamaan linier: a. Metode Langsung 1. Eliminasi Gauss 2. Eliminasi Gauss-Jordan 3. Dekomposisi 4. Sistim Tridiagonal

4. b. Metode Tak Langsung (Iterasi) 1. Metode Jacobi 2. Metode Gauss-Seidel 3. Metode Newton-Raphson 4. Successive overRelaxation Metode tak langsung biasanya memerlukan waktu yang sangat lama.

5. Matriks A.x = b Vektor

6. Solusi sistem persamaan aljabar linier dapat ditentukan jika memenuhi syarat-syarat: • A.x = b mempunyai jawab unik x V untuk setiap b  V • A.x =b hanya mempunyai satu solusi x  V untuk setiap b  V • Jika A.x = 0, berarti x = 0 • A-1 atau inversi matriks A ada, • Determinan A  0 • Rank (A) = n, (matriks A berorde n)

7. Algoritma Eliminasi Gauss Menyatakan persamaan linier sebagai n buah persamaan simultan Tentukan faktor pengali (1) (2) (3)

8. Persamaan (1) dikali m2: m2 a11x1 + m2a12x2 + m2a13x3 =m2b1 • Hasil perkalian diperkurangkan dari persamaan (2) (4)

9. a’22 = a22 – m2a12 a’23 = a23 – m2a13 b’2 = b2 – m2b1 maka: a’22x2 + a’23x3 = b’2……………(5) Persamaan (2) disubtitusi dgn persamaan (5).

10. Tentukan faktor pengali untuk persamaan ketiga: Persamaan pertama dikali dengan m3, persamaan ketiga dikurangi persamaan pertama. a’32x2 + a’33x3 = b’3…………………………(6) dimana a’32 = a32 – m3a12 a’33 = a33 – m3a13 b’3 = b3 – m3b1

11. Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6): a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……….(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2 ………(5) a’32x2 + a’33x3 = b’3……….(6) Faktor pengali m’3 = a’32/a’22 a’32 – m’3a’22 = 0 a’’33 = a’33 – m’3a’23 b’’3 = b’3 – m’3b’2

12. a’33x3 = b’3 ………….. (7) Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6), a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……..(1) a’22x2 + a’23x3 = b’2……..(5) a’’33x3 = b’3 …….(7)

14. Contoh 1: Diberikan sistim persamaan linier: 2x1 + x2 + 3x3 = 11………….(1) 4x1 + 3x2 + 10x3 = 28………….(2) 2x1 + 4x2 + 17x3 = 31………….(3) Tentukan nilai-nilai x1, x2, dan x3: Penyelesaian: • Faktor pengali m2 = 4/2 = 2 • Eliminasi x1 dari persamaan kedua dan ketiga.

15. Persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan kedua, persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan ketiga 2x1 + x2 + 3x3 = 11 x2 + 4x3 = 6 3x2 + 14x3 = 20 Eliminasi x2 dari persamaan ketiga (persamaan kedua menjadi persamaan pivot sedangkan koefisien x2 menjadi elemen pivot.

16. Persamaan kedua dikali 3 untuk mengeliminasi x2 pada persamaan kedua: 2x1 + x2 + 3x3 = 11 x2 + 4x3 = 6 2x3 = 2 Langkah II: subtitusi balik. x3 = 2/2 = 1 x2 + 4.1 = 6  x2 = 2 2x1 + 2 + 3.1 = 11  x1 = 3

17. Contoh 2: w + x + y + z = 10 2w + 3x + y + 5z = 31 -w + x - 5y + 3z = -2 3w + x + 7y - 2z = 18 Matriks augmented

18. II – 2(I) III + 1(I) IV -3(I)

19. III-2(II) IV+2(II) x - ½

20. IV – 2(III)

21. x4 = 4 x3 + x4 = 7; x3 + 4 = 7; x3 = 3 x2 – x3 + 3x4 = 11; x2 – 3 + 12 = 11; x2 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 10; x1 + 2 +3 + 4 = 10; x1 = 1