Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Adama Mickiewicza w Zespole Szkół w Lubiniu. • ID grupy: 98/68_MF_G2 • Opiekun: Izabela Kaźmierczak • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: semestr V/ rok szkolny 2011/2012

3. Co jest najmądrzejsze? Liczba.Co jest najpiękniejsze? Harmonia.Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. Pitagoras z Samos To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa.Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków.Ten poetycki werset pokazuje jak wielkie znaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. Niektóre liczby, z którymi spotykamy się w różnych sytuacjach, mają zaskakujące właściwości i wprawiają nas w zadziwienie a nawet zachwyt.

4. Liczba Liczba to jedno z podstawowych pojęć matematyki, które kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury. Liczba, jakkolwiek wydaje się być najbardziej intuicyjnym pojęciem matematycznym, nie jest pojęciem pierwotnym, lecz jest definiowana za pomocą pojęcia zbioru. Liczba to pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

5. HISTORIA ODKRYCIA LICZB NATURALNYCH Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce

6. DZIEJE ZERA Użycie zera jako liczby powinno zostać odróżnione od użycia jako cyfry. Wiele starożytnych indyjskichtekstów używało sanskryckiego słowa shunya w znaczeniu pustki. W tekstach matematycznych używano go jako liczbę zero. W podobny sposób hinduski gramatyk Panini (V wiek p.n.e.) używał zera w dziele Ashtadhyayi, jego formalnej gramatyce sanskrytu.

7. HISTORIA LICZB UJEMNYCH Abstrakcyjna koncepcja liczb ujemnych powstała w pierwszej połowie I wieku p.n.e. Chińska praca Jiu-zhang Suanshu(Dziewięć tekstów o sztuce matematyki) zawierała metody znajdowania powierzchni figur. Czerwone znaki były używane do oznaczania dodatnich współczynników, a czarne – ujemnych. To najwcześniejsza znana wzmianka o liczbach ujemnych na świecie. W kulturze zachodniej pierwsze użycie liczb ujemnych pochodzi z III wieku, kiedy grek Diofantos rozważał zadanie, sprowadzające się do równania w dziele Arithmetica, twierdząc, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie.

8. HISTORIA LICZB WYMIERNYCH Prawdopodobnie idea ułamków pojawiła się już w czasach prehistorycznych. Nawet starożytni Egipcjanie pisali teksty matematyczne z użyciem ułamków. Klasyczni Grecy i matematycy indyjscy opracowali teorię liczb wymiernych. Najbardziej znanym przykładem ich użycia są Elementy Euklidesa (ok. 300 p.n.e.). Koncepcja ułamków jest blisko związana z ich zapisem dziesiętnym. Obydwie idee powstawały równolegle. Na przykład w tekstach indyjskich stosowano zapis dziesiętny ułamków do przybliżonego podawania wartości π, czy pierwiastka z dwóch. Podobnie babilońskie teksty matematyczne często używały ułamków o mianowniku będącym potęgą sześćdziesiątki. Do dziś pozostały ślady tego w przyjmowanym podziale jednego stopnia kątowego na 60 minut kątowych, a następnie 60 sekund oraz w tzw. systemie kopowym, z którego pochodzą takie pojęcia jak kopa (60 jednostek), mendel (15 jednostek – czwarta część kopy), czy tuzin (12 jednostek – piąta część kopy).

9. HISTORIA LICZB NIEWYMIERNYCH Po raz pierwszy liczby niewymierne użyte zostały w indyjskich tekstach Shulba Sutras, napisanych między 800 a 500 rokiem p.n.e. Pierwszy dowód istnienia liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Hippasusowi z Mezopotamii, pitagorejczykowi, który udowodnił niewymierność pierwiastka z dwóch. Związana jest z tym pewna opowieść, nie wiadomo czy prawdziwa: Pitagoras wierzył w absolutną naturę liczb, i nie potrafił zaakceptować odkrycia swego ucznia. Intelektualnie nie potrafił wprawdzie obalić dowodu, jednak podważało to fundamenty jego wiary, skazał więc Hippasusa na śmierć przez utopienie.

10. ODKRYCIE LICZB PIERWSZYCH Liczby pierwsze były badane od czasów starożytnych. Euklides poświęcił im księgę w Elementach. Zaprezentował w nich m.in. algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika oraz udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. W 240 p.n.e. Eratostenes użył algorytmu nazwanego sitemEratostenesa do szybkiego znajdowania liczb pierwszych.

11. HISTORIA LICZB ZESPOLONYCH Najwcześniejsze odniesienia do pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych znalazły się w pracy Herona z Aleksandrii z I wieku n.e. Dopiero jednak w XVI wieku pierwiastki takie stały się naprawdę istotne, kiedy odkryto, że ogólne wzory na rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia dają się łatwo wyprowadzić, tylko jeśli po drodze dopuścimy pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, nawet jeśli jesteśmy zainteresowani jedynie wynikami w liczbach rzeczywistych. (Tartaglia, Cardano).

12. PRYMITYWNE SPOSOBY LICZENIA Dawno temu, kiedy ludzie nie znali jeszcze żadnego pisma i ich mowa była jeszcze stosunkowo prymitywna, jedynymi liczebnikami były słowa jeden, dwa, wiele. Aby wyrazić 3, 4, 5, 6 używali kombinacji słów: jeden, dwa (np. 5 to 2,2,1). Aby powiedzieć liczbę powyżej 6 trzeba było mówić wiele. Nie znaczy to jednak, że plemiona te nie potrafiły zrozumieć i pojąć większych liczb, mimo nieistnienia odpowiednich liczebników. Ludzie oceniali wtedy „na oko”.

13. PRYMITYWNE SPOSOBY LICZENIA • Liczebnikowi zawsze wtedy przypisywano przedmiot, który miał być policzony: 5 krów, 10 strzał, 20 wojowników itd.. Pojecie liczby nie związanej ze zbiorem pewnych przedmiotów powstało znacznie później. Zasadniczą rolę odegrały tu równoliczne zbiory przedmiotów, a więc takie zbiory, których wszystkie przedmioty dają się zestawić „parami”: np. 5 krów i 5 koni – zestawiając każdą krowę z jednym koniem mamy jednocześnie zestawienie każdego konia z jedną krową. W ten sposób ludzie mogli dojść do pojęcia „liczebności” przedmiotów, przy czym pojęcie to było zupełnie niezależne od rodzaju tych przedmiotów. Dopiero tą drogą mogło powstać abstrakcyjne pojęcie liczby.

14. Dawne sposoby zapisu liczb • Z czasem powstała potrzeba zapisu liczby przedmiotów. Najstarszym znanym sposobem jest narysowanie odpowiedniej liczby kresek, zrobienie odpowiedniej liczby nacięć na patyku lub na ziemi. Karby, rysy, węzły czy też pręty – to pierwsze symbole liczb naturalnych. Były prostymi pionowymi kreskami.

15. Taki zapis zaczynał być mało przejrzysty. Dość szybko to zauważono. Pojawiły się udoskonalenia. Kreski zaczęto grupować. Oto kilka przykładów zmodyfikowanych zapisów:

16. EGIPT Starożytni Egipcjanie, podobnie jak wiele innych ludów, zapisywanie liczb zaczęli od bardzo prostej metody. Jedna pionowa kreska | oznaczała, że policzono jeden przedmiot, dwie kreski || – dwa przedmioty, trzy kreski ||| – trzy, cztery kreski |||| – cztery. Im większą liczbę trzeba zanotować, tym bardziej uciążliwy staje się ten sposób. Wyobraźmy sobie, że chcemy zapisać liczbę 82: Kiedy Egipcjanie rozwinęli swoje pismo, hieroglify, dla większych liczb wymyślili specjalne symbole. Liczby od 1 do 9 nadal zapisywano odpowiednią ilością pionowych kresek. Ale już 10 zapisywano specjalnym, pojedynczym znakiem – rysunkiem pięty. A następne liczby? Polskie „jede-na-ście” oznacza „jeden-na-dziesięcie”, czyli 10+1, dwanaście to 10+2, trzynaście to 10+3. W podobny sposób spojrzeli na to Egipcjanie. Liczby następujące po 10 zapisywali rysując znak dziesiątki oraz odpowiednią liczbę znaków jednostek. 10 11 12 20 29 90 92 99

17. Do zapisania liczby 100 trzeba by już było użyć dziesięciu symboli dziesiątki. Poradzono sobie z tym wprowadzając kolejny symbol, wyobrażający zwinięty sznur mierniczy. Podobnie jak w przypadku liczb od 11 do 99, liczby od 101 do 999 zapisywano używając odpowiedniej liczby znaków dla setek, dziesiątek i jedności. Jak łatwo się domyślić, dla tysiąca wymyślono kolejny znak, przedstawiający kwiat lotosu. Egipcjanie pisali zazwyczaj od prawej do lewej, ale często także od góry na dół, albo od lewej do prawej. Stosowane jako znaki hieroglificzne sylwetki ludzi lub zwierząt skierowane były w jedną lub drugą stronę, odczytywać je należało wychodząc im naprzeciw, tak żeby „napotykać ich wzrok”. Pełne barw hieroglify biegły po jednej stronie z lewa na prawo, po drugiej odwrotnie, po obu stronach rzędy napisów kierowały się ku centrum sceny. Przy poziomym piśmie małe lub poziome znaki umieszczano jeden nad drugim, zamiast stawiać je w rzędzie; przy pionowym zapisie wysmukłe znaki stawiano jeden przy drugim, zamiast jeden nad drugim. 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

18. RZYM Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt systemu karbowego, który wyewoluował. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb znaki. W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania. Zasada odejmowania wartości na mocy której 4 i 9 zapisywało się jako IX i IV, stała się powszechna dopiero w czasach średniowiecznych. Rzymianie zaś stosowali ją rzadko.

19. Inne sposoby zapisywania liczb • Cywilizacja sumeryjska (ok. 3500 lat p.n.e.) - znaki liczbowe były glinianymi żetonami: Znaki używane przez wyższych urzędników elamickich (ok. 3500 lat p.n.e.):

20. Inne sposoby zapisywania liczb • Hieroglify egipskie (wynalezione w początkach III tysiąclecia p.n.e.):

21. Inne sposoby zapisywania liczb • Znaki chińskie (wymyślone przeszło 3000 lat temu); ich obecny kształt po wielowiekowych zmianach jest następujący: Znaki syryjskie: Cyfry Majów służące do zapisu liczby w systemie dwudziestkowym:

22. OTO PRZYKŁADOWE ZAPISY KILKU LICZB W SYSTEMIE MAJÓW

23. Historia liczby π • Podobno praktyczni starożytni Rzymianie nie mieli żadnych problemów z obliczeniem obwodu koła. Brali sznurek, rozciągali go po obwodzie, mierzyli... i gotowe. Że co? Jakaś liczba ? A po co sobie tym zawracać głowę? Usposobieni bardziej teoretycznie starożytni Grecy nie dawali jednak za wygraną. Przez całe wieki zajmowali się matematyką i ustalenie wartości liczby traktowali jako bardzo ważne zagadnienie. Historia matematyki pokazuje, że rację mieli Grecy, a nie Rzymianie. Współczesna matematyka bez liczby π po prostu nie istnieje. Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis PalmariorumMathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

24. Najstarsze próby oszacowania wartości liczby Liczba π • Liczba π (inaczej ludolfina - od imienia holenderskiego matematyka Ludolfa van Ceulena, 1539-1610) określa stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy. Jest to liczba niewymierna i w praktyce operujemy tylko jej, mniej lub bardziej dokładnym, przybliżeniem, np.: • 3,141 592 653 589 793 238 462 643 Najstarsze próby oszacowania wartości liczby pochodzą z Babilonu. Na tablicy datowanej na lata 1900-1700 p.n.e. pojawia się przybliżona wartość liczby = 3,125. Na nieco późniejszym papirusie Ahmesa, zwanym również papirusem Rhinda (ok. 1650 r. p.n.e.), zatytuowanym „Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach”, znajduje się następujący „przepis” na obliczenie : „Odrzuć od średnicy jej część dziewiątą i zbuduj kwadrat o boku równym pozostałej części, będzie on równoważny z kołem”.

25. Przybliżenia liczby π • Starożytni Egipcjanie przyjmowali wartość liczby = 3,1605. Na ciekawy fakt zwrócili uwagę badacze piramidy Cheopsa. Stwierdzili oni, że iloraz otrzymany z podziału sumy dwóch boków podstawy piramidy przez jej wysokość jest równy 3,1416, co jest zadziwiająco dokładnym przybliżeniem liczby . Szacunkowe przybliżenie liczby można również znaleźć w biblijnej Drugiej Księdze Kronik: „Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci” (2 Krn 4,2). Na tej podstawie można oszacować liczbę równą 3.

26. Metoda aproksymacji liczby π • Aproksymacja to proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym. Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając obwód wielokąta wpisanego w okręg i obwód wielokąta opisanego na tym samym okręgu. Obwód koła, równy 2πr, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu. Metoda aproksymacji przez całe stulecia jej stosowania w starożytności i w średniowieczu doprowadziła do znacznego postępu w przybliżeniu wartości liczby . Dokładność oszacowania liczby zależna była od tego, z ilu boków składał się wielokąt wpisany i opisany na danym okręgu – im więcej wielokąt miał boków, tym dokładniejszy był pomiar, bo wtedy obwód wielokąta najbardziej pokrywał się z obwodem koła. Pierwszym matematykiem, który tę metodę z powodzeniem praktykował, był Archimedes. Do swoich obliczeń wykorzystał on wielokąt o 96 bokach i uzyskał w ten sposób przybliżenie sięgające dwóch miejsc po przecinku π = 3,14.

27. Liczba π coraz bardziej znana • Największą wiedzę dotyczącą wyznaczania i właności liczby π przynoszą czasy nowożytne. Johann Heinrich Lambert w 1767 roku udowodnił, że π jest liczbą niewymierną, czyli taką, której nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb rzeczywistych. W 1882 roku niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną, czyli że nie może być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Tym samym udowodnione zostało, że kwadratura koła, czyli konstrukcja kwadratu o polu równym polu danego koła, nie jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki. Wobec tego, że koło o promieniu równym jednostce długości ma pole, zagadnienie skonstruowania takiego kwadratu sprowadza się do skonstruowania odcinka o długości√π jako boku poszukiwanego kwadratu. Odcinek ten jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy odcinek o długości π jest konstruowalny.

28. ZADANIA Z LICZBAMI • Jak odmierzyć 4 litry mając naczynie o pojemności 5 i 3 litra? I SPOSÓB Nalewamy do naczynia 5-litrowego do pełna. Przelewamy z naczynia 5-litrowego do naczynia 3-litrowego tak, że w 5-litrowym zostaje nam dokładnie 2 litry. Wylewamy wodę z naczynia 3-litrowego. 2 litry będące w naczyniu 5-litrowym przelewamy do naczynia 3-litrowego. Do naczynia 5-litrowego nalewamy pełno wody i przelewamy ile sie da wody do naczynia 3-litrowego - a da sie 1 litr, czyli w naczyniu 5-litrowym zostaje 1 litr wody. II SPOSÓB Nalewamy 3 litry do naczynia 3-litrowego. Przelewamy całośc do naczynia 5-litrowego. Znowu napełniamy naczynie 3-litrowe. Przelewamy ile się da do naczynia 5-litrowego. Da się 2 litry więc w 3 litrowym zostanie litr a 5-litrowy jest pełny. Orpóżniamy 5-litrowy, przelewamy litrt z naczynia 3-ltriowego do naczynia 5-litrowego. Nalewamy do naczynia 3-litrowego pełno i przelewamy do naczynia 5-litrowego (gdzie jest litr). Otrzymujemy 4 litry.

29. PROBLEM LEONARDA Z PIZY.Dwie wieżyce, jedna wysokości 30 stóp, druga 40 stóp, oddalone są od siebie o 50 stóp. Pomiędzy nimi znajduje się wodotrysk, do którego zlatują dwa ptaki z wierzchołków obu wieżyc i lecąc z jednakową prędkością przybywają w tym samym czasie. Jaka jest dłuższa odległość pozioma wodotrysku jednej z wieżyc? x – krótsza odległość poziomą od wieżyc do wodotrysku y – dłuższa odległość poziomą od wieżyc do wodotrysku . W wyniku lotu ptaków, powstają dwa trójkąty prostokątne o równych przeciwprostokątnych. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, powstaje taka oto równość: x² + 402 = y² + 302 Podana jest również odległość wieżyc od siebie, co można zapisać: x + y = 50. Po kilku przekształceniach obu równań otrzymujemy, że dłuższa odległość wynosi 32 stopy, krótsza 18 stóp.

30. Liczby występujące w „przyrodzie” ZŁOTA LICZBA Liczba 1/2(√5-1) to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasusw V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział: "Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny"..

31. CZYM JEST ZŁOTY PODZIAŁ? Złoty podział, podział harmoniczny, boska proporcja — podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi". φ = (1+√5)/2 = 1.61803398…

32. CZYM JEST ZŁOTY PROSTOKĄT I ZŁOTY TRÓJKĄT? Złoty prostokąt - to prostokąt, w którym długości boków pozostają w złotym stosunku. Złoty trójkąt to trójkąt, który przy wierzchołku posiada kąt ostry 36° oraz dwa kąty ostre przy podstawie 72°. Stosunek długości boku każdego z nich do długości jego podstawy jest złotą liczbą.

33. SPIRALA NA BAZIE ZŁOTEGO PROSTOKĄTA Wiadomo, że jeżeli od złotego prostokąta odetniemy kwadrat to pozostanie kolejny złoty prostokąt. Teraz utwórzmy w każdym kolejnym kwadracie ćwierć okręgu o średnicy długości boku kwadratu, tak aby otrzymać krzywą ciągłą. Wykreślimy tym sposobem Złotą Spiralę. Złota spirala została uznana za reprezentatywny przykład złotej liczby, ponieważ jest to spirala, jaką odnajdujemy w skręcie muszli ślimaka oraz ostrygi.

34. CIĄG FIBONACCIEGO Leonardo Bonacci zwany Fibonaccimurodził się pod koniec XII wieku w Pizie. W młodości był kupcem i podróżnikiem. Swoją wiedzę spisał w dziełach Liber abacii Practicageoetriae. Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący : Początkowe wartości tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.

35. WŁASNOŚCI LICZB FIBONACCIEGO Długości kolejnych boków kwadratów to kolejne liczby ciągu Fibonacciego. Jeśli dodamy do siebie kwadraty długości kolejnych kwadratów to otrzymamy pole powstałego prostokąta.

36. SŁYNNE ZADANIE FIBONACCIEGO Każda para dojrzałych królików rodzi co miesiąc parę młodych królików. Na początku roku mamy jedną parę młodych królików. Pod koniec pierwszego miesiąca para młodych osiąga dojrzałość; pod koniec drugiego para już dojrzałych królików wciąż żyje i daje życie parze młodych. Proces dojrzewania i rozmnażania trwa nieustannie, jakimś cudem żaden królik nie umiera. Kolejne liczby, mówiące o liczbie par królików w poszczególnych miesiącach, tworzą ciąg Fibonacciego.

37. ZŁOTA LICZBA W ARCHITEKTURZE Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie. Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.

38. ZŁOTA LICZBA W PRZYRODZIE Filotaksja to sposób ułożenia powtarzających się elementów budowy roślin (takich jak liście, pędy boczne, kwiaty, płatki, ziemia) charakterystyczny dla tego gatunku. Tworzą one najczęściej układ spiral, których parametry są związane z liczbami Fibonacciego i liczbą złotą.

39. ZŁOTA LICZBA W PRZYRODZIE Nasiona słoneczników tworzą spirale układające się w dwóch przeciwnych kierunkach. W niektórych gatunkach tych roślin jest 21 spiral rozwijających się w jedną stronę i 34 w drugą stronę. Istnieją również gatunki, dla których liczba spiral wynosi odpowiednio 34 i 55. Wspomniane liczby to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Innym przykładem występowania złotej liczby w przyrodzie są muszle zwierząt, np. łodzika. Przekrój jego muszli (wypełnionej głównie powietrzem) ukazuje, iż pasuje ona idealnie do złotego prostokątu, a jej łuki mieszczę się po ćwierć okręgu w każdym ze złotych kwadratów.

40. ZŁOTA LICZBA W ARCHITEKTURZE W konstrukcji Partenonu – antycznej Greckiej świątyni bogini Ateny - również został wykorzystany złoty podział.

41. ZŁOTA LICZBA W MUZYCE Antonio Stradivari (ur. 1643 lub 1644 w Cremonie, zm. 18 grudnia 1737 tamże) – włoski lutnik, przedstawiciel kremońskiej szkoły lutniczej, jeden z najwybitniejszych budowniczych instrumentów w historii lutnictwa. Wykorzystywał on złoty podział w budowie swoich skrzypiec. Różne kolory odcinków odnoszą się do różnych części skrzypiec, w których zachodzi stosunek złotej liczby

42. ŁAMIGŁÓWKI LICZBOWE - Kwadraty magiczne Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych nie powtarzających się dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym. Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

43. SUDOKU Zasady . .Diagram należy wypełnić w taki sposób, aby w każdej kolumnie, wierszu i kwadracie składającym się z dziewięciu pól (3x3) znalazły się liczby od 1 do 9. Liczby umieszczone w tym samym kwadracie, kolumnie oraz wierszu nie mogą się powtarzać.

44. MALOWANIE LICZBAMI Malowanie liczbami to logiczna łamigłówka o prostych zasadach, ale rozwiązaniu wymagającym odpowiedniej strategii. Łamigłówka polega na zaznaczeniu właściwych pól diagramu, za którym kryje się obrazek. Liczby u góry i z lewej strony diagramu określają, które pola należy zaznaczyć. Każda liczba określa długość grupy zamalowanych pól w danym rzędzie lub kolumnie. Pomiędzy grupami zamalowanych pól musi być co najmniej jedno pole puste. Kolejność liczb mówi o kolejności grup zamalowanych pól.

45. TANGRAM Tangram to starożytna chińska układanka.Tangram tworzy kwadrat składający się z siedmiu części (wielokątów), z których każda część nazywana jest kamykiem lub tanem. Celem gry jest ułożenie przedstawionych figur geometrycznych z dostępnych części tangramu w taki sposób, aby wykorzystać wszystkie części, które muszą do siebie przylegać, ale nie mogą na siebie nachodzić. Każdą część tangramu można w razie potrzeby odwracać i obracać dookoła osi według potrzeb. .Według jednej z legend Tangram wymyślił chiński uczony imieniem Tan, aby zaciekawić geometrią swoich uczniów. . Tangram można wykorzystywać na wiele sposobów. Jest to dobra pomoc dydaktyczna, która kształtuje logiczne myślenie u dzieci, zmusza do poszukiwania nietypowych rozwiązań, wpływa bardzo pozytywnie na rozwój wyobraźni

46. DOMINO Domino składa się najczęściej z 28 prostokątnych płytek zwanych kamieniami. Każda płytka podzielona jest na dwa kwadraty, na których znajdują się oczka. Grupa oczek w każdej płytce jest jedną z możliwych kombinacji z powtórzeniami zbioru siedmio-elementowego. Każdą płytkę domina jednoznacznie określają dwie liczby - ilość oczek znajdujących się w każdym kwadracie. Ilość wszystkich oczek danej płytki nazywamy ilością jego oczek. Jeżeli obie połówki płytki mają jednakową ilość oczek, to taką płytkę nazywamy dubletem. Zasady gry w domino są ogólnie znane. Do dowolnego wyłożonego kwadratu kamienia należy przystawić kwadrat o tej samej ilości oczek. Sama gra w domino nie przedstawia wiele z punktu widzenia matematyki, jest jednak kilka interesujących zadań i łamigłówek powiązanych z tą grą. Dwadzieścia osiem kamieni do pozornie prostej gry jest źródłem niełatwych, a nawet zawiłych zagadnień matematycznych.

47. Pytania Fermiego • Enrico Fermi, włoski fizyk, laureat Nagrody Nobla, bardzo lubił rozwiązywać problemy, w których trzeba było szacować różne dziwne wielkości. Oto kilka z nich :- Ile kilogramów soli zjadamy w ciągu życia ?- Ile ważą razem wszystkie mrówki na świecie ?- Ile ziaren cukru jest w jednym kilogramie cukru ?Takie pytania nazywamy pytaniami Fermiego (nawet jeśli nie on jest ich autorem). Aby znaleźć na nie odpowiedzi, czasami wystarczy odszukać odpowiednie dane i wykonać obliczenia. Często jednak danych potrzebnych do odpowiedzi na pytanie Fermiego nigdzie nie znajdziemy. Możemy wówczas wtedy je oszacować, przyjmując rozsądne założenia.

48. Pytania Fermiego – zadanieCzy Chińczycy mogą nakryć Polskę czapkami ? Powierzchnia Polski: 312 tys. km ² Liczba mieszkańców Chin: 1 mld 300 mln Wielkość czapki Chińczyka musimy oszacować. Przyjmijmy, że czapka ma średnicę 40 cm. 3,14 · 20 cm² = 0,13 m² 1 300 000 000 · 0,13 m² = 169 000 000 m² = 169 km² Te informacje możemy znaleźć np. w roczniku statystycznym. Obliczamy powierzchnię, którą przykrywa jedna czapka ( 3,14 – liczba pi ). Obliczamy powierzchnię, którą przykryją czapki wszystkich Chińczyków Odp. Z obliczeń wynika, że Chińczycy nie mogliby nakryć Polski Czapkami. Nie mogliby nakryć nawet jednego województwa.

49. Liczby olbrzymy Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

50. Liczby olbrzymy – nazewnictwo Warto znać nazwy dużych liczb... Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej, oraz zapis w postaci potęgi liczby 10.