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第二章 影像品質的改善與回復

第二章 影像品質的改善與回復. 內容. 2.1 前言 2.2 平滑法 和統計上的根據 2.3 中值法 和其加速改良法 2.4 中央加權中值法 2.5 柱狀圖平值法 2.7 頻率域濾波器 2.8 韋納濾波器 2.10 作業. 2.1 前言. 本章主要針對在雜訊 (Noise) 的干擾 和灰階分佈太集中的影響 下，如何盡可能恢復原影像的品質 。. 圖 2.1.2 某些灰階分布太集中的影像. 圖 2.1.1 受雜訊干擾的影像. 2.2 平滑法 和統計上的根據. 利用周圍的 8 個灰階值和中心點的灰階值平均，將雜訊所帶來的影響淡化。

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  1. 第二章 影像品質的改善與回復

  2. 內容 • 2.1 前言 • 2.2 平滑法和統計上的根據 • 2.3 中值法和其加速改良法 • 2.4 中央加權中值法 • 2.5 柱狀圖平值法 • 2.7 頻率域濾波器 • 2.8 韋納濾波器 • 2.10 作業

  3. 2.1 前言 • 本章主要針對在雜訊(Noise)的干擾和灰階分佈太集中的影響下，如何盡可能恢復原影像的品質。 圖2.1.2 某些灰階分布太集中的影像 • 圖2.1.1 • 受雜訊干擾的影像

  4. 2.2 平滑法和統計上的根據 • 利用周圍的 8 個灰階值和中心點的灰階值平均，將雜訊所帶來的影響淡化。 • 平滑法面罩以迴積的方式完成計算。 • 將平滑法的面罩放在 3×3 子影像上，兩兩對應的數值予以相乘，再將這九個相乘後的值相加，得到反應值取代中心點。 (2+1+2+3+20+2+2+1+3)/9 疑似雜訊 圖2.2.2 平滑法的面罩 圖2.2.2.1 經平滑法作用於 中心點後的子影像 圖2.2.1 3×3 子影像

  5. Q1：給一如下的4×4子影像，利用平滑法去除雜訊後，所得的影像為何？Q1：給一如下的4×4子影像，利用平滑法去除雜訊後，所得的影像為何？ ANS：利用圖 2.2.2的面罩，在上圖中進行平滑動作，所得影像如下 ‧這裡注意一點，上述平滑過的灰階值有經過四捨五入。 EOA

  6. Q2：如何針對邊緣像素進行平滑法的雜訊去除？Q2：如何針對邊緣像素進行平滑法的雜訊去除？ ANS：假設Q1中的4×4子影像即為原影像。通常為了處理邊緣像素的問題 ，我們會將邊緣像素複製一次，如此一來，Q1中的原影像就被放大成如 下所示的6×6影像： 利用圖2.2.2的面罩，上圖經平滑動 作後，可得下列結果： EOA

  7. Q3：如何降低(Reduce)相鄰兩個平滑運算的計算量？Q3：如何降低(Reduce)相鄰兩個平滑運算的計算量？ ANS： 我們可以發現下列的3×2視窗是重覆的： 為了降低計算量， 在第一個平滑運 算中可以被保留下來，以便在第二個平滑運算時繼 續使用，如此一來 就不必重新計算 了，這可省下一些計算的。 EOA

  8. 定理2.2.1. 平滑法作用到影像後，的確可將原影像的標準差予以 　　　 有效降下。 證明： Y的平均值為 (2.2.1) Y的變異數為 假設　　　　　　　　　 ，則可得　　　 。並假設 ， 則進一步得到　　　　 ，也就是 。在上述的特殊分布假設下， 平滑法的標準差為單一像素的標準差之1/3。

  9. 定理2.2.1.結論 • 若面罩變大，標準差將更有效地下降；然而，相對地，平滑法的計算量也會增大，且受到鄰近像素(Neighboring Pixels)的均化現象也愈大，有可能在邊(Edge)的地方會較模糊(Blurred)。

  10. 2.3 中值法和其加速改良法 • 利用周圍的 8 個灰階值和中心點的灰階值排序後的中值，去除雜訊的干擾。 • 中值法仍是以3×3、5×5或7×7的面罩，在影像上以迴積的方式完成的。 和周圍鄰居之灰階值相比 　　　　，仍視為雜訊。 中值法有效去除 　 雜訊干擾。 圖2.3.1.1 經平滑法作用於 中心點後的子影像 圖2.3.1.2 經中值法作用於 中心點後的子影像 圖2.3.1 一個平滑法 不適合的例子

  11. Q1：給一如下的4x4子影像，其中灰階值為255的pixel為脈衝雜訊 (Impulsive Noise) 1.請各別利用平滑法以及中值法來去除雜訊。 2.說明哪個方法所得的影像較佳？為什麼？

  12. ANS： • (a)平滑法 • (18+12+18+12+225+225+15+225+18)/9=85.3 • (12+225+225+15+225+18+18+15+12)/9=85 • (12+18+12+225+225+15+225+18+12)/9=84.6 • (225+225+15+225+18+12+15+12+18)/9=85 (b)中值法 12, 12, 15, 18, 18, 18, 225, 225, 225 12, 12, 15, 15, 18, 18, 225, 225, 225 12, 12, 12, 15, 18, 18, 225, 225, 225 12, 12, 15, 15, 18, 18, 225, 225, 225 • (a) 中值法結果較佳。 • (b) 225灰階值之雜訊相對於旁邊的灰階值實在太大，使用平滑法的均化效果 • 有限，以上為例，85灰階值還是很容易被視為雜訊，但若使用中值法，就 • 可以將雜訊去除。EOA

  13. Q2：以本小節Q1中的3×3子影像為例，依照列優先(Row Major)的掃瞄 次序，我們將得的數列安放在圖2.3.3中的中值濾波器之輸入端，請列 出各步驟執行完後的模擬結果。 ANS：下圖為執行完各個步驟後的模擬結果，所得到的反應值為6。 上面的中值濾波器之設計原理在後面馬上會被介紹。值得注意的是：上述的中值濾波器兼具平行(Parallel)和管道式(Pipelined)的功能，可有效加速中值的運算。 EOA

  14. 為一Bitonic數列 Bitonic數列 若  圖2.3.3 中值濾波器網路

  15. 圖2.2.3 圖2.1.1經平滑法 改善效果 圖2.3.2 圖2.1.1經中值法 改善效果 圖2.1.1 受雜訊干擾的影像

  16. 大 大 大 大 小 小 小 小 Q3：針對圖2.3.3的中值濾波器網路設計，可否給一個示意圖以便更明白其 設計的原理？ ANS：當完成圖2.3.3中的第一階段(Stage 1)後，編號0~7的八筆資料會變成 大 大 大 大 小 小 小 小 完成第二階段的第一步(Step 1)後，根據Bitonic數列的特性，這八筆資料會變成 完成第二階段的第二步後，八筆資料會變成

  17. 以上資料愈在高處的值越大。完成下一步後，八筆資料會變成以上資料愈在高處的值越大。完成下一步後，八筆資料會變成 當完成第三階段的最後一步後，八筆資料會變成 此時，輸入的前八筆資料已排序好。我們留下中間的兩段資料和編號8的資料再經過二次比較就得到中間的值了。 EOA

  18. Q4：可否介紹一下Windyga的快速雜訊去除法？ ANS：這個方法植基於波峰-波谷(Peak- Valley)的觀念。在一維空間軸上，有相鄰的四個訊號，如圖2.3.3(a)所 示。我們比較訊號S2和S1及S3後可發現S2=min{S1,S3}，故進行 下面波谷運算：

  19. 圖2.3.3(b)為執行後的結果。接下來，我們比較圖2.3.3(b)中的S2、S3、S4，可發現S3=max{S2,S4}，故進行下面波峰運算：圖2.3.3(b)為執行後的結果。接下來，我們比較圖2.3.3(b)中的S2、S3、S4，可發現S3=max{S2,S4}，故進行下面波峰運算： (a)原始的相鄰三訊號 (b)執行完 後的結果 S3 S3 S4 S1 S4 S1 S2 S2 t1 t1+1 t1+2 t1+3 (c)執行完 後的結果 S3 S4 S1 S2 圖2.3.3 Windyga的波峰-波谷雜訊去除法 上面所述雖是針對一維的情形，讀者不難將其擴充至二維的影像上(參見習題9)。 EOA

  20. 我們以Lena影像為例(原影像請參見圖2.3.4(a))，當加入15%的脈衝雜訊後，我們得到圖2.3.4(b)的被干擾影像。圖2.3.4(c)所示的影像是利用Windyga波峰-波谷法所得到的去除脈衝雜訊之影像。我們的實驗結果顯示：去除雜訊後的影像之PSNR為32.399我們以Lena影像為例(原影像請參見圖2.3.4(a))，當加入15%的脈衝雜訊後，我們得到圖2.3.4(b)的被干擾影像。圖2.3.4(c)所示的影像是利用Windyga波峰-波谷法所得到的去除脈衝雜訊之影像。我們的實驗結果顯示：去除雜訊後的影像之PSNR為32.399 (a) 原始Lena影像 (b) 加入15%脈衝雜訊後所得的影像 圖2.3.4 Windyga方法的模擬結果

  21. 圖2.3.4 Windyga方法的模擬結果 (c) 利用Windyga法去雜訊後的結果

  22. 2.4 中央加權中值法 • 除了可進一步去除雜訊外，還可保留較好的紋理。 • 加權值的作用是將視窗內位於中間的值複製W次，利用周圍的 8 個灰階值和中心點的灰階值複製W次排序後的中值取代中心點。 1,2, 2, 2, 3, 3, 100, 100, 100 圖2.4.2.1 中值法造成右斜45度線段的中斷 1,2,2,2,3,3,100,100,100,100,100,100,100 圖2.4.2 線段被視窗框住的例子 圖2.4.2.2 中央加權中值法，若W=5， 線段不會中斷

  23. Q1：給一個5×5的子影像，若想利用中央加權中值法以去除雜訊，請Q1：給一個5×5的子影像，若想利用中央加權中值法以去除雜訊，請 問子影像中的中央像素需要重覆幾次後，一定能避免一條斜線被破壞 的情形？ ANS：我們將中間位置的像素重覆W次，則連同其餘的斜線上像素， 共有W+4個像素值，只需確保 則必然不會將該斜線打斷。我們因此解得W>16。換言之，子影像中的中央像素被重覆十七次以後，可確保一條斜線不會被打斷。 EOA

  24. Q2：若將Q1中的5x5改成7x7，則中央像素需要重複幾次呢？Q2：若將Q1中的5x5改成7x7，則中央像素需要重複幾次呢？ ANS：同樣的道理，依據 可得到W>36，所以中央像素需被重複37次。 EOA Q3：給一個k x k的子影像，如何決定中央加權中值法的W值？ ANS：利用下列不等式： 可推得 也就是最小的W值可選 。下面的表格可當作自動選取 Ｗ值之用。 EOA

  25. 定理2.2. 若視窗大小為3×3而W=3，中央加權中值法得到的輸 出值為 ，中值法得到的輸出值為 ，視窗中 　　　　心的像素灰階值　 ， 　和 則 。

  26. 2.5 柱狀圖平均法 • 影像的灰階分佈太集中於[a, b]區之間。 • 找出一種轉換f使得上面的分佈能轉成均勻分佈。畢竟更大範圍的灰 階值分佈會使影像的紋理更豐富和多樣。 圖2.5.2 均勻分布柱狀圖 圖2.5.1 灰階分布柱狀圖

  27. 依據離散頻率總和不變原理 G(q)為均勻分佈，其各個的機率值　 為 ，　 表影像的大小。 找出 f 使得 f(p)=q 的關係可被確定。 引進機率分佈的概念， 移項後，可得 依離散的形式來說 由H(P)上的每個P值，經由 可得到對應的 q 值。

  28. <p0,p1,p2,p3>=<10,15,20,25> • <H(p0),H(p1),H(p2),H(p3)>=<15,30,30,25> • q0=0, q3=50, q3-q0/N^2 = 0.4 • q1=0.4([H(p0)+H(p1)]+10 = 28 • q2=0.4([H(p0)+H(p1)+H(p2)]+10 = 40 • <0,28,40,50>

  29. 部份重疊柱狀圖平均法 • 將原先影像切割成許多 　長條型的子影像。 • 每一個子影像仍用柱狀 　圖平均法處理完後，移 　動子影像一半的水平距 　離。 • 繼續使用柱狀圖均等法 　，直到所有的子影像和 　部分重疊的子影像全部 　處理完。 圖2.5.4 重疊式區域柱狀圖平均法

  30. 圖2.5.3 經柱狀圖 平均法改善效果 圖2.1.2 某些灰階分布 太集中的影像 圖2.5.5 經部份重疊 柱狀圖平均法 改善效果

  31. 下面的示意圖很適合用來解釋上面這個等式。 H(P) G(q) 面積 相等 上面的示意圖表示函數 從 積分到 所得到的面積會等於 函數 從 積分到 所得到的面積。在 、 、 和 的 對應上需滿足 EOA

  32. 圖2.7.1 和　　　 關係 2.7 頻率域濾波器 F F’ FT S(u,v) IFT I’ I • 低通濾波器： • 低通巴特沃斯濾波器： • 高通巴特沃斯濾波器：

  33. 圖2.7.2(a) 和 得到的傅利葉頻譜圖 圖2.7.2(b) 得到的影像 I’ 圖2.6.3 輸入影像 I

  34. 2.8 韋納濾波器 F F’ S + N = Z T A 圖2.22 韋納濾波器  希望找到矩陣 A 使得 e 為最小，就是要解　　　　 即 (2.8.1)

  35. 利用　　　　　　　　　　　　　　　　　　 和 (2.8.3)  (2.8.2)  已知 F=TZ  (2.8.4) 為 的平均向量，則共變異數可定義為 假設　　　 ，則　　　　　 和　　　　　　　 和   

  36. 給一 影像如下所示： 2.10 作業 • 習題一(中值法及中央加權中值法)： • 習題二：寫一C程式以完成中值法的實作。 試求利用中值法之輸出影像矩陣，及利用中央加權中值法之 輸出影像矩陣，令加權值W=5。以3×3的面罩完成計算。

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