效率與生產力分析入門

1. 效率與生產力分析入門 第1章 緒論 1.1 　緒論 1.2 　一些名詞之非正式定義 1.3 　方法簡介 1.4 　各章大綱 1.5 　你的經濟學背景為何？

2. 1.1 緒論 • 本書主要在探討公司或組織的績效衡量，藉由投入轉換成產出之過程以得出相對效率； • 本書探討的績效衡量方法可以應用到許多不同類型的公司或組織，包括私部門公司、服務業部門，公司分支機構、非營利組織； • 除了衡量個體層次的資料外，這些衡量方法亦可比較產業跨期績效或是跨地理區域（例如郡、縣、城市、州、國家等）的整體績效表現； • 本書將探討不同績效衡量方法的應用與其相對優缺點。

3. 1.2 一些名詞之非正式定義 • 生產力(productivity) • 技術效率(technical efficiency) • 配置效率(allocative efficiency) • 技術改變(technical change)（或技術變革） • 規模經濟(scale economies) • 總要素生產力(total factor productivity, TFP) • 生產（前緣）邊界(production frontier) • 可行生產集合(feasible production set)

4. 圖1.1 生產邊界及技術效率

5. 圖1.2 生產力、技術效率及規模經濟

6. 圖1.3 兩個時期間的技術變革

7. 1.3 方法簡介 本書主要內容在探討下述四種基本的方法： 最小平方計量經濟生產模式(Econometric models)； 總要素生產力(TFP)指標； 資料包絡分析(DEA)； 隨機邊界法(SFA)。

8. 1.4 各章大綱 • 第二章 生產經濟學回顧 • 第三章 生產力及效率衡量概念 • 第四章 指數分析法與生產力衡量 • 第五章 資料與衡量議題 • 第六章 資料包絡分析法 • 第七章 資料包絡分析法進階主題 • 第八章 生產技術之計量經濟衡量法 • 第九章 隨機邊界分析法 • 第十章 隨機邊界法的進階主題 • 第十一章 使用邊界衡量法計算及解構生產力變動 • 第十二章 結論

9. 1.5 你的經濟學背景為何？ • 第一群讀者包括主修經濟學，及剛修完個體經濟課程的研究生； • 第二群則包括較不具備個體經濟知識的讀者。該群讀者包括大學部學生、MBA學生、產業研究人員、政府公職人員等； • 第一群讀者可以快速瀏覽第二與第三章，並應閱讀生產模式的計量經濟評估的章節內容。 • 第二群讀者除應仔細閱讀第二與第三章，依據你的經濟學背景，可能需要補充閱讀在這兩章中的一些參考文獻。

10. 效率與生產力分析入門 第2章 生產經濟學複習 2.1 緒論 2.2 生產函數 2.3 轉換函數 2.4 成本函數 2.5 收益函數 2.6 利潤函數 2.7 小結

11. 2.1 緒論 本章複習一些關鍵的經濟學概念，這些概念有助於讀者進一步瞭解效率及生產力衡量之意涵； 為了更容易閱讀，本章不使用集合概念，而是使用函數及圖形來敘述公司的生產活動； 本章之生產經濟學複習與多數大學經濟學教科書內容基本相似。

12. 2.2 生產函數 • 假設某一公司使用N項投入（例如勞力、機器、原物料）生產單一產出，則可使用下述生產函數來表示 • 其中q代表產出，x=(x1,x2,…, xN)’代表N×1維投入向量

13. 2.2.1 函數特性

14. 圖2.1 單一產出生產函數

15. 圖2.2 產出等產量線

16. 圖2.3 一組生產函數

17. 2.2.2 經濟利益的數量 假如生產函數(2.1)式具備二次連續可微分，則可以使用微分來計算此一經濟利益數量，例如，前面已提及的兩項數量，一項是邊際產出： 另一項是邊際技術替代率：

18. 2.2.2 經濟利益的數量 • 另一相關概念是產出彈性，是一種無單位衡量： • 以及直接替代彈性：

19. 圖2.4 替代彈性

20. 規模報酬

21. 2.2.3 案例說明 • 為了說明邊際產出及彈性的計算方式，茲以雙投入Cobb-Douglas生產函數為例： • 此一生產函數的計算過程如下：

22. 2.2.3 案例說明 Cobb-Douglas生產函數另一項重要的特性是規模彈性亦固定不變 可計算直接替代彈性DES12，由方程式(2.11)及(2.12)得出： 直接替代彈性等於1，這是Cobb-Douglas生產函數的另一項特性。

23. 2.2.4 短期生產函數 • 只要將一個以上的投入維持固定，就可得出長期生產函數的短期變數。例如，在生產函數(2.10)中，假設將第二項投入值設定短期投入固定為x2=100，則得出的短期生產函數為： • 此函數即可用圖2.5來說明，當然在另個時間點，該公司生產會發現第二項產出固定在另一數值，x2=150之短期生產函數為： • 此函數亦可用圖2.5來說明，假如重複多次此項設定動作，則最後可得出一組短期生產函數

24. 圖2.5 短期生產函數

25. 2.3 轉換函數 本節以一生產多項產出的公司為例，說明生產函數概念。設該公司使用N項投入生產M項產出，其生產可能可用下述轉換函數表示： 其中q=(q1,q2,….,qM)是M×1維產出向量，轉換函數的一個特殊案例是以外顯型式來呈現生產函數(2.1)，亦即：

26. 2.4 成本函數 • 公司生產所決定之投入組合，目的是要讓生產成本極小化。 • 公司的成本極小化問題可以數學式表示如下： • 其中w=(w1,w2,….,wN)是投入價格向量

27. 2.4.1 案例說明 • 以下為一個成本極小化問題的案例，假設一家公司生產使用兩項投入，生產一項產出，生產函數為 ，此公司的成本極小化問題可以表示如下： • 或將x2取代

28. 2.4.1 案例說明 • 為極小化此生產函數 • 對x1偏微分是一項簡單的微分計算，一階導數值(derivative)設定為0，得 • 求解x1可得出條件投入需求函數 • 將方程式(2.27)帶回技術限制式，可產生第二項投入條件需求函數： • 最後得出成本函數為：

29. 圖2.6 成本極小化

30. 2.4.2 成本函數特性

31. 2.4.3 投入需求函數導出條件 欲處理多投入多產出之生產技術問題，通常會以更通用的成本函數來導出投入需求函數條件，特別是假如成本函數具二次連續可微分，則其Shepard’s Lemma條件為： 為了方便說明，仍以2.4.1節所導出的成本函數(2.29)為例： 對價格偏微分所得出的導函數如下：

32. 2.4.3 投入需求函數導出條件 假如成本函數具二次連續可微分，並滿足C.1至C.5等特性，則Shepard’s Lemma條件可被用來說明投入需求函數條件具有下述特性之意義：

33. 2.4.4 短期成本函數 • 若將投入價格向量w區分為 固定投入價格與變動投入價格次向量。則短期成本極小化問題可表示如下： • 假設前述所用Cobb-Douglas生產函數的第二項投入固定不變， 則短期成本極小化問題如下： • 技術限制可透過求解短期投入需求函數條件而得出： 。 • 因此，短期成本函數為：

34. 2.4.5 邊際成本及平均成本 • 短期變動成本： • 短期固定成本： • 短期總成本： • 短期平均變動成本： • 短期平均成本： • 短期平均固定成本： • 短期邊際成本： • 長期總成本： • 長期平均成本： • 長期邊際成本：

35. 圖2.7 長期與短期固定成本、變動成本及總成本

36. 2.4.6 規模經濟與範疇經濟 規模報酬的衡量亦適用於多產出案例，而且可以使用成本函數型式予以定義，例如：整體規模經濟的衡量如下： 當c大於1，等於1，小於1分別代表該公司生產呈現規模報酬遞增、固定與遞減的現象。 在多產出案例中，探討由生產不同產出數量所造成的成本節省，也是非常有意義的，茲將三種所謂範疇經濟衡量方法敘述如下：

37. 2.4.6 規模經濟與範疇經濟 方程式(2.58)是一種整體(global)範疇經濟的衡量方法。它衡量的是假如所有產出均分開生產，生產成本等比率變化的情形－假如S＞0，則公司生產以聚集生產所有產出為最佳策略；若S＜0，則公司應以獨立生產所有產出為最佳策略。 方程式(2.59)是一種特定產出(product-specific)範疇經濟的衡量方法，它是衡量，假如第m項產出獨立生產，而所有其它產出則聚集生產，此狀況下生產成本等比率變化的情形－假如Sm＞0，則公司以聚集生產所有產出為最佳策略；若Sm＜0，則公司應以獨立生產第m項產出為最佳策略。 方程式(2.60)是另一種特定產出(product-specific)範疇經濟的衡量方法，它衡量的是，生產第m項產出之邊際成本變化除以生產第n項產出之邊際成本變化所得出的導數(derivative)，假如導數為負值，則公司的第n項產出呈現出規模經濟。

38. 2.5 收益函數 • 一家多投入多產出之公司生產，其收益極大化問題可表示如下： • 其中 是產出價格向量 • 假設收益極大化問題受限於生產技術限制， 在此案例中，收益極大化問題可表示如下： • 由於僅有一項產出，技術限制所定義之短期條件產出供給函數如下： 因此，收益函數為：

39. 2.5 收益函數 • 在單一產出案例中，可以定義出下述收益之函數： • 長期總收益： • 長期平均收益： • 長期邊際收益： • 當繪製其長期總收益(LTR)、長期平均收益(LAR)、長期邊際收益(LMR)，長期總收益(LTR)時，則是一通過原點的直線方程式，斜率為p，而長期平均收益(LAR)=長期邊際收益(LMR)，是一截距為p之平行線（參閱圖2.9與圖2.10）。

40. 2.6 利潤函數 • 前面已經探討過公司生產如何使用投入與產出價格資訊來選取投入或產出的最適數量，但尚未探討兩者同時決定的最適數量。 • 本節將探討公司生產如何同時選取投入及產出最適數量 • 為此，通常假設公司做這些決定之目的是為了產生最大利潤（亦即，收益減去成本）。假設多投入多產出公司所欲求解之問題為：

41. 圖2.8 利潤極大化

42. 圖2.9 長期總收益、長期總成本及利潤極大化

43. 圖2.10 長期邊際收益、長期邊際成本及利潤極大化

44. 2.7 小結 本章已說明如何藉由求解最適化問題，從生產（或轉換）函數得出成本函數、收益函數及利潤函數。也說明如何從成本函數、收益函數及利潤函數來得出投入需求及產出供給方程式（例如使用Hotelling’s Lemma方程式）。 我們可以反向推理出生產技術其實意謂成本函數、收益函數及利潤函數在實質上必須涵括與轉換（或生產函數）相同的資訊。 事實上，轉換函數的每項特性均可轉換成成本函數、收益函數及利潤函數的特性，反之亦然。此項轉換關係稱為對偶原理。 本章所呈現的所有計算結果皆假設所有公司都具有技術效率－即假設每個公司都知道如何在已知的投入下獲致最大產出，並知道如何運用投入產出組合以獲致最大收益，使用最小成本。 顯然實際上並非如此，故第三章的探討將放寬這些效率假設。

45. 效率與生產力分析入門 第3章 生產力與效率衡量的概念 3.1 緒論 3.2 生產技術之集合理論探討 3.3 產出及投入距離函數 3.4 使用距離、成本及收益函數衡量效率 3.5 衡量生產力及生產力變化 3.6 小結

46. 3.1 緒論 • 本章除回顧一些其他更進階的生產經濟學內容，主要聚焦在如何使用集合理論來呈現生產技術，透過距離函數的概念讓讀者瞭解生產技術之意涵，以及距離函數如何在生產力衡量上扮演重要的角色。 • 本章同時簡短論述第二章所探討的成本函數、收益函數及利潤函數，這些函數經常被用來研究多投入多產出的組織生產技術。此外，也介紹技術效率、成本效率、配置效率及規模效率的定義與衡量方法，以及這些效率的相互關係。 • 本章與第二章論述內容的實質差異在於本章使用集合理論概念，以原問題(primal)及對偶(dual)型式敘述生產技術，第二章則只使用函數型態來進行這些內容的探討。

47. 3.2 生產技術之集合理論探討 • 描述多投入多產出生產技術的一個簡便方法是使用技術集合S，使用符號x及q分別表示N×1維非負實數投入向量，以及M×1維非負實數產出向量。這些向量的組成均為非負實數，技術集合可定義為： • 此集合由所有投入-產出向量(x,q)組成，x可以生產q

48. 3.2.1 產出集合 • 集合S所定義的生產技術同樣也可使用產出集合P(x)加以定義，P(x)代表所有產出向量q之集合，而q可使用投入向量x而產生，產出集合可定義如下： • 產出集合的特性可彙整如後，即產出集合P(x)需滿足： • 0P(x):在一已知投入集合下，沒有生產任何產出（亦即不生產是可能發生的）； • 投入為零，則產出不可能非零； • P(x)滿足產出的強自由處置：假如yP(x)且y*y，則y*P(x)； • P(x)滿足投入的強自由處置：假如y可由x生產，則y可由任何x*x所生產； • P(x)具有封閉性； • P(x)是有界限的； • P(x)為凸集合。

49. ； 3.2.2 投入集合 • 與產出向量y 相結合之投入，可用集合加以定義如下： • 投入集合由所有投入向量x組成，x可以使用來生產一特定產出向量q，假設生產技術符合基本的假設，則投入集合將具有下述特性： • L(q)具有封閉性； • L(q)具有外凸性； • 投入具有弱自由處置性，假如 • 投入具有強自由處置性，假如

50. 3.2.3 生產可能曲線與收益極大化之探討 • 多產出生產技術是難以具像化或直接觀察的，惟可以藉由使用簡單的一投入兩產出的案例來加以說明，在此實例中，陳述的是一個投入需求函數，單一投入為兩產出的函數： • 此一投入兩產出的案例可以使用生產可能曲線(PPC) 來說明，生產可能曲線所呈現的為使用固定投入所生產的不同產出組合