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任意两个随机变量 X 和 Y 的协方差 , 记为 Cov ( X , Y ), 定义为 PowerPoint PPT Presentation


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§ 3 . 协方差及相关系数. 一、协方差. 任意两个随机变量 X 和 Y 的协方差 , 记为 Cov ( X , Y ), 定义为. 1. 定义. Cov(X , Y )= E {[ X - E ( X )][ Y -E( Y ) ]}. 2. 简单性质. ⑴ Cov ( X , Y )= Cov( Y , X ). ⑵ Cov ( aX , bY ) = ab Cov( X , Y ) a , b 是常数.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


X y cov x y

§3.协方差及相关系数

一、协方差

任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为

1.定义

Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}

2.简单性质

⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)

⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数

⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)


X y cov x y

3. 计算协方差的一个简单公式

由协方差的定义及期望的性质,可得

Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}

=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)

=E(XY)-E(X)E(Y)

Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)

可见,若X与Y独立, Cov(X,Y)= 0 .


X y cov x y

4. 随机变量和的方差与协方差的关系

D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)

D(X-Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如:

Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)

为了克服这一缺点,这就引入了相关系数 .


X y cov x y

二、相关系数

定义: 设D(X)>0, D(Y)>0,

为随机变量X和Y的相关系数 .


X y cov x y

ρ=0值时(X,Y)的密度函数图


X y cov x y

ρ=0.2值时(X,Y)的密度函数图


X y cov x y

ρ=0.5值时(X,Y)的密度函数图


X y cov x y

ρ=0.8值时(X,Y)的密度函数图


X y cov x y

ρ=0.9时(X,Y)的密度函数图


X y cov x y

Y -1 0 1

X

-1

0

1

1/8 1/8 1/8

1/8 0 1/8

1/8 1/8 1/8

{或者

=0}

{或者

=3/4}

例1 (X,Y)的联合分布为:

由对称性得

EY=EX=0 EY2=EX2=3/4

另外

=1/8-1/8-1/8+1/8

=0

所以

求相关系数ρXY,并判断X,Y是否相关,是否独立.

Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0

即 X与Y不相关.

=0

亦即 ρXY=0

另一方面

P(X=-1,Y=-1)=1/8≠

P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8)

=3/4

所以X与Y不独立.


X y cov x y

例2 已知 的概率密度

解:


X y cov x y

例3 已知二维随机变量 X,Y 的联合分布律为:

X Y

-2

0

1

-1

0.3

0.12

0.18

1

0.10

0.18

0.12

求X,Y的协方差与相关系数。

解:先求边缘分布律:

X

-1

1

Y

-2

0

1

Pk

0.6

0.4

Pk

0.4

0.3

0.3


X y cov x y

X与Y 的协方差为:


X y cov x y

下面求X,Y 的方差:

X与Y 的相互关系数为:


X y cov x y

,则上式为

相关系数的性质:

证: 由方差的性质和协方差的定义知,

对任意实数b,有

0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2bCov(X,Y )

D(Y- bX)=


X y cov x y

= 0

但由

并不一定能推出X和Y 独立.

2. X和Y独立时,=0,但其逆不真.

由于当X和Y独立时,Cov(X,Y)= 0.

请看下例.


X y cov x y

设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1

上的均匀分布,证明: XY =0。

例 1

证明:


X y cov x y

同样得E(Y)=0

∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0

可易得D(X)>0, D(Y)>0.

∴XY =0, 故X与Y不相关.

而X和Y不相互独立.


X y cov x y

例2:若二维随机变量(X,Y)服从正态分布, 试证X、Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0。 。

证:

边缘分布密度为: 


X y cov x y

随机变量X,Y的相关系数为:


X y cov x y

若(X,Y)具有二维正态分布 N(0,0,1,1,ρ), 以下画出 取几个不同ρ值时(X,Y)的密度函数曲面三维图象:


X y cov x y

存在常数a,b(b≠0),

使P{Y=a+bX}=1,

即X和Y以概率1线性相关.


X y cov x y

小结|ρXY|的大小反映了X,Y之间线性关系的密切程度:

ρXY=0时, X,Y之间无线性关系;

|ρXY|=1时,X,Y之间具有线性关系.

由此定义

ρXY ≠0,X,Y相关

ρXY=0,X,Y不相关

显然

X,Y独立

注 X,Y不相关,不一定有X,Y独立.

若(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y独立X,Y不相关.


X y cov x y

例3设(X,Y)服从二维正态分布,且X~N(1,9),Y~N(0,16),

=0

所以

=3


X y cov x y

第四章 随机变量的数字特征

§4 矩、协方差矩阵

1、矩的定义


X y cov x y

第四章 随机变量的数字特征

例1


X y cov x y

第四章 随机变量的数字特征


X y cov x y

§4连续型随机变量的概率密度

Γ- 函 数


X y cov x y

2 协方差矩阵的定义

将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩

排成矩阵的形式:

称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.


X y cov x y

称矩阵

n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.

都存在,

为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵


X y cov x y

下面给出n元正态分布的概率密度的定义.

|C|是它的行列式, 表示C的逆矩阵,

X和 是n维列向量, 表示X的转置.

设(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量,

若它的概率密度为

f (x1,x2, …,xn)

则称X服从n元正态分布.

其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.


X y cov x y

  • 对一切不全为0的实数a1,a2,…,an,

  • a1X1+ a2X2+ …+ an Xn均服从正态分布.

n元正态分布的几条重要性质

1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布

2. 若X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布,

则(Y1,Y2, …,Yk)也服从多元正态分布.

3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布,则

  • “X1,X2, …,Xn相互独立”

等价于

“X1,X2, …,Xn两两不相关”


X y cov x y

例2设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),

Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.

解: X~N(1,2),Y~N(0,1),且X与Y独立,

故X和Y的联合分布为正态分布,X和Y的

任意线性组合是正态分布.

即 Z~N(E(Z), D(Z))

E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5

D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9

Z~N(5, 32)

故Z的概率密度是


X y cov x y

第四章 随机变量的数字特征

例3

解:


X y cov x y

设随机变量X 的概率密度为

例1

求 E ( 1 / X )。

例题补充


X y cov x y

例2已知( X,Y )的分布律为


X y cov x y

例3

设 X 的可能取值为

,求 X 的分布律。

解 设X 的分布律为

所以


X y cov x y

已知

例4

的次数,

对X 独立观察 4 次,Y 表示X的观察值大于

解 由题意可知


X y cov x y

例5

已知

服从参数为 3 的指数分布,

X , Y相互独立,

解 由随机变量的性质可知


X y cov x y

,且

例6

⑴ 求 (X ,Y) 的分布律;

⑵ 求 X + Y 的方差。

解 ⑴X ,Y 的取值都为-1和1,则


X y cov x y

⑵ X+Y的分布律为


X y cov x y

第四章 小 结

1 阐述了数学期望、方差的概念及背景,要掌握

它们的性质与计算,会求随机变量函数的数学

期望和方差。

2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀

分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。

3 给出了契比雪夫不等式,要会用契比雪夫不等式

作简单的概率估计。

4 引进了协方差、相关系数的概念,要掌握它们的

性质与计算。

5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价

性。

6 给出了矩与协方差矩阵。


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