复习１ 二重积分的几何意义

1. §2 二重积分计算 复习１ 二重积分的几何意义 当函数 时,二重积分 的值等于图示曲顶柱体的体积. －－曲顶柱体的底面； －－曲顶。

2. 当 为常数时， 复习２二重积分的性质 性质１ 性质２ 性质３ 对区域具有可加性 [应用］

3. 轴的一组平面 去截立体。如 果截面积为 ┃ O 复习３已知平行截面积的立体体积 用垂直于 ． ，则 ［应用］

4. 一、利用直角坐标计算二重积分 设 ≥0 ，根据二重积分的几何解 释，二重积分 以下先就特殊类型的积分区域来研究二重积分的计算方法．

5. X－型区域 ： ≤ ≤ ， ≤ ≤ 特征: 在任意　　　　　　处 作　轴的垂线，与区域　　边界的交点不超过两个。

6. Y －型区域 ： ≤ ≤ ， ≤ ≤ 特征： 在任意　　　　　　处 作　轴的垂线，与区域　　边界的交点不超过两个。

7. 曲顶柱体的底面: ： ≤ ≤ ， ≤ ≤ 曲顶柱体的顶面: 作 轴的垂直平面截曲顶柱体,设截面积为 应有 ［复习］

8. , ， .

9. 由此可得二重积分的计算公式 于是,当积分区域为 X－型区域: : ≤ ≤ ， ≤ ≤ 时,二重积分可以化为二次积分 . .

10. (1)如果积分区域为 X－型区域: : ≤ ≤ ≤ ≤ ， . [例1] .

11. (2)如果积分区域为 Y－型区域: : ≤ ≤ ≤ ≤ ， . . [例1] .

12. 如果二重积分 的积分区域 既不是 -型 区域也不是 -型区域，用 平行于坐标轴的直线将 分成若干小区域. ＋ ＋ ． ［性质］

13. 1 是由直线 例1 计算二重积分 ，其中 与抛物线 所围成的闭区域． ： 解法一 ：0≤ ≤１， ≤ ≤　． ； : 解法二 ０≤ ≤１， ≤ ≤　 ． .

14. 化为两种不同次序的累 例２试将二重积分 轴所围成． 由直线 , 和 次积分，其中 解法一 + = = + 解法二 = ．

15. ２ 与抛 ，其中 由直线 例3计算 线 所围成． 解 = ．

16. 例4先改变积分顺序，再计算积分值： 解 改写成二重积分,得 其中 ≤ ≤ , ≤ ≤ . 将 按 型区域又可以表示为 ≤ ≤ ， 0≤ ≤ . ． = = ［公式］

17. 二、利用极坐标系计算二重积分

18. 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图

19. 区域特征如图

20. 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图

21. 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 极坐标系下区域的面积

22. 解

23. 解

24. 解

27. 解

28. 解

29. 解

31. 三、二重积分的换元法

33. 例1 解

35. 例2 解