Tópicos I

1. Unidad I Tópicos I Árboles, montículos y grafos Semana 1 Arboles de búsqueda

3. Objetivos Generales Entender el manejo, uso de algoritmos y estructuras de datos avanzados, haciendo énfasis en los algoritmos de internet, seguridad y redes.

4. Objetivo Específico Implementar algoritmos utilizando estructura de datos avanzadas.

5. Objetivo Instruccional Implementar algoritmos de búsqueda en arboles binarios.

7. Para la mayoría de los problemas existen varios algoritmos diferentes. ¿Cómo elegir uno que conduzca a la mejor implementación? Normalmente los problemas a resolver tienen un “tamaño” natural (en general, la cantidad de datos a procesar), al que se denominara N y en función del cual se tratara de describir los recursos utilizados (con frecuencia, la cantidad de tiempo empleado). El punto de interés es el estudio del caso medio, es decir, el tiempo de ejecución de un conjunto “tipo” de datos de entrada, y el del peor caso, el tiempo de ejecución para la configuración de datos de entrada mas desfavorable. Análisis de algoritmos

8. Pasos a considerar en el análisis de algoritmos El primer paso del análisis de un algoritmo es establecer las características de los datos de entrada que utilizara y decidir cual es el tipo de análisis mas apropiado. Análisis de algoritmos Idealmente, seria deseable poder obtener, para cualquier distribución de probabilidad de las posibles entradas, la correspondiente distribución de los tiempos empleados en la ejecución del algoritmo. Pero no es posible alcanzar este ideal para un algoritmo que no sea trivial, de manera que, por lo regular, se limita el desarrollo estadístico intentando probar que el tiempo de ejecución es siempre menor que algún “limite superior” sea cual sea la entrada, e intentando obtener el tiempo de ejecución medio para su entrada “aleatoria”.

9. Pasos a considerar en el análisis de algoritmos El segundo paso del análisis de un algoritmo es identificar las operaciones abstractas en las que se basa, con el fin de separar el análisis de la implementación. Análisis de algoritmos Así, por ejemplo, se separa el estudio del número de comparaciones que realiza un algoritmo de ordenación del estudio para determinar cuantos microsegundos tarda una computadora concreta en ejecutar un código de maquina cualquiera producido por un compilador determinado para el fragmento de código if (a[i] < V)… El primero dependerá de las propiedades el algoritmo, mientras que el segundo dependerá de las propiedades de la computadora.

10. Pasos a considerar en el análisis de algoritmos El tercer paso del análisis de un algoritmo es analizarlo matemáticamente, con el fin de encontrar los valores del caso medio y del peor caso para cada una de las cantidades fundamentales. Análisis de algoritmos No es difícil encontrar un limite superior del tiempo de ejecución de un programa – el reto es encontrar el mejor limite superior, aquel que se encontraría si se diera la peor entrada posible –. Esto produce el peor caso: el caso medio normalmente requiere un análisis matemático mas sofisticado.

11. Clasificación de los algoritmos La mayoría de los algoritmos tienen un parámetro primario N, normalmente el numero de elementos de datos a procesar, que afecta muy significativamente al tiempo de ejecución. El parámetro N podría ser el grado de un polinomio, el tamaño de un archivo a ordenar o en el que se va a realizar una búsqueda, el número de nodos de un grafo, etc. Análisis de algoritmos

12. Proporcionalidad del tiempo de ejecución de un algoritmo Análisis de algoritmos

13. Estructuras lineales Son flexibles pero son secuenciales, un elemento detrás de otro. Vectores, listas. • Estructuras no lineales • Junto con los arboles, los grafos son estructuras de datos no lineales • Superan las desventajas de las listas • Sus elementos se pueden recorrer de distintas formas, no necesariamente uno detrás de otro Son muy útiles para la búsqueda y recuperación de información Estructuras de datos

14. A B C D E F B D E F ARBOLES Estructura que organiza sus elementos formando jerarquías: PADRES e HIJOS • Los elementos de un árbol se llaman nodos • Si un nodo p tiene un enlace con un nodo m, • pes el padre y m es el hijo • Los hijos de un mismo padre se llaman: hermanos Estructuras de datos • Todos los nodos tienen al menos un padre, menos la raíz: A • Si no tienen hijos se llaman hoja: D, E, F y C • Un subárbol de un árbol • Es cualquier nodo del árbol junto con todos sus descendientes

15. A B C D E F TERMINOLOGIA • Camino: Secuencia de nodos conectados dentro de un árbol • Longitud del camino: Es el número de nodos menos 1 en un camino • Nivel de un árbol: Es el número de nodos entre la raíz y el nodo mas profundo del arbol • Altura del árbol: Es el nivel mas alto del árbol • Un árbol con un solo nodo tiene altura 1 • Nivel (profundidad) de un nodo: Es el número de nodos entre el nodo y la raíz. • Grado(aridad) de un nodo: Es el número de hijos del nodo • Grado(aridad) de un árbol: Máxima aridad de sus nodos Estructuras de datos

16. TAD ARBOL: Definición Informal • Valores: • Un nodo puede almacenar contenido y estar enlazado con sus árboles hijos (pueden ser dos o varios) • Operaciones: Dependen del tipo de árbol, pero en general tenemos: • Vaciar o inicializar el Arbol • void Arbol_Vaciar (Arbol *A); • Eliminar un árbol • void Arbol_Eliminar(Arbol *A); • Saber si un árbol esta vacío • bool Arbol_EstaVacio(Arbol A); • Recorrer un árbol • void PreOrden(Arbol A) • void EnOrden(Arbol A) • void PostOrden(Arbol A) Estructuras de datos Tipo Abstracto Datos

17. TAD ARBOL: Definición Formal <arbol> ::= <<NULL>> | <nodo> <nodo> ::= <contenido>{<arbol>} <contenido> ::= <<dato>>{<<dato>>} Estructuras de datos

18. A C B D RAIZ A B C D E F G I H J • Tipo especial de árbol • Cada nodo no puede tener mas de dos hijos • Un árbol puede ser un conjunto • Vacío, no tiene ningún nodo • O constar de tres partes: • Un nodo raíz y • Dos subárboles binarios: izquierdo y derecho • La definición de un árbol binario es recursiva • La definición global depende de si misma Arboles Binarios Sub. Der. Sub. Izq.

19. ARBOLES BINARIOS LLENOS • Un árbol de altura h, esta lleno si: • Todas sus hojas están en el nivel h • Los nodos de altura menor a h tienen siempre 2 hijos • Sea T un árbol • Si T esta vacío, • Entonces T es un árbol binario lleno de altura 0 • Si T no esta vacío, y tiene h>0 • Esta lleno si los subárboles de la raíz, son ambos árboles binarios llenos de altura h-1 Arboles Binarios

20. ARBOLES BINARIOS COMPLETOS • Un árbol de altura h esta completo si: • Todos los nodos hasta el nivel h-2 tienen dos hijos cada uno y • En el nivel h-1, si un nodo tiene un hijo derecho, todas las hojas de su subarbol izquierdo están a nivel h • Si un árbol esta lleno, también esta completo Arboles Binarios

21. OTROS • Un árbol equilibrado es cuando • La diferencia de altura entre los subárboles de cualquier nodo es máximo 1 • Un árbol binario equilibrado totalmente • Los subárboles izquierdo y derecho de cada nodo tienen las misma altura: es un árbol lleno • Un árbol completo es equilibrado • Por definición • Un árbol lleno es totalmente equilibrado • Por definición Arboles Binarios

22. RECORRIDOS • Recorrer es: • Visitar todos los elementos de una estructura • Como recorrer un árbol • Hay tantos caminos, ¿cual escoger? • Existe tres recorridos típicos • Nombrados de acuerdo a la posición de la raíz • Preorden: raíz - subarbol izq. - subarbol der. • Enorden : subarbol izq. - raíz - subarbol der. • Postorden : subarbol izq. - subarbol der. - raíz Arboles Binarios

23. H L K M J I G G D E C A B F 12 13 9 4 6 3 8 10 5 7 11 2 1 D K B E H M A C F J L I EJEMPLO PREORDEN 1. Visitar raiz 2. Preorden al Subarbol Izq. 3. Preorden al Subarbol Der. Arboles Binarios G-D-B-A-C-E-F-K-H G-D-B-A-C-E-F G-D-B-A-C-E-F-K-H-J G-D-B-A-C-E G-D-B-A-C G-D-B-A-C-E-F-K-H-J-I G-D-B-A G-D-B G-D-B-A-C-E-F-K-H-J-I-M G-D G G-D-B-A-C-E-F-K G-D-B-A-C-E-F-K-H-J-I-M-L

24. AB y NODOAB: Definición Formal <ab>::= nulo | <nodoab> <nodoab>::=<contenido> + <izq> + <der> <izq>::=<ab> <der>::=<ab> <contenido>::<<dato>>|{<<dato>>} Arboles Binarios

25. AB Y NODOAB: Declaración • Un árbol binario: es conjunto de nodos • Solo se necesita conocer el nodo raíz • Cada nodo • Tiene Contenido y • Dos enlaces: árbol hijo izquierdo, árbol hijo derecho • Un nodo hoja, es aquel cuyos dos enlaces apuntan a null • De un árbol solo se necesita conocer su raíz • La raíz, que es un nodo, puede definir al árbol typedef struct NodoAB{ Generico G; NodoAB *izq, *der; }NodoAB; Arboles Binarios typedef struct NodoAB *AB;

26. NODOAB: Operaciones • Son elementos de un árbol que: • Almacenan información (contenido), • Conocen hijo izquierdo y derecho, ambos son nodos • Operaciones Básicas • Crear un nuevo nodo hoja • NodoAB *NodoAB_CrearHoja(Generico G); • Eliminar hoja existente • void NodoAB_Eliminar (NodoArbol **A); • Saber si el nodo es o no hoja • bool NodoAB_EsHoja(NodoArbol *p); Arboles Binarios

27. NODOAB: Mas Operaciones • Consultas de los campos de un nodo • Generico NodoAB_ConsultaContenido(NodoAB *nodo); • NodoAB *NodoAB_Izq (NodoAB *nodo); • NodoAB *NodoAB_Der(NodoAB *nodo); • Cambiar los campos de un nodo • void NodoAB_SetContenido (NodoAB *nodo , Generico G); • void NodoAB_SetIzq(NodoAB *nodo, NodoAB *enlace); • void NodoAB_SetDer(NodoAB *nodo, NodoAB *enlace); Arboles Binarios

28. AB: CREAR NODO HOJA • Se debe crear un nodo nuevo: un nodo hoja NodoAB *NuevaHoja(Generico G){ NodoAB *nuevo; nuevo = (NodoAB *)malloc(sizeof(NodoAB)); nuevo->G = G; nuevo->izq = NULL; nuevo->der= NULL; return nuevo; } Arboles Binarios

29. AB: Mas Operaciones • Eliminar • AB_Eliminar(AB *A); • Estado del Arbol • bool AB_EstaVacio(AB A); • Añadir y remover nodos • void AB_InsertarNodo(AB *A, NodoAB *nuevo) • NodoAB *AB_SacarNodoxContenido(AB *A, Generico G, Generico_fnComparar fn); • NodoAB * AB_SacarNodoxPos(AB *A, NodoAB *pos); • Busqueda por contenido • NodoArbol *AB_Buscar(AB A, Generico G, Generico_fnComparar fn ); • Recorridos • void AB_PreOrden(AB A); • void AB_PosOrden(AB A); • void AB_EnOrden(AB A); Arboles Binarios

30. AB: Creando e Instanciando Un Arbol Vacío, es aquel cuyo nodo raíz apunta a NULL void AB_Vaciar(AB *A){ *A = NULL; } Arboles Binarios Para crear una variable tipo Arbol, y empezarla a usar: • Instanciarlo (crear variable) • Vaciar el árbol Para añadirle una hoja al árbol, crear hoja: AB A; AB_Vaciar(&A); A 1 A = NodoAB_CrearHoja(Generico_CrearEntero(1));

31. RECORRIDOS: Implementación • Como ya se reviso, las operaciones de recorrido son recursivas • Ejemplo: EnOrden • Recorrer EnOrden al subarbol izquierdo • Visitar nodo raiz • Recorrer EnOrden al subarbol derecho • En todo algoritmo recursivo debemos buscar dos casos: • Básico, en que momento termina la recursividad • Recursivo, donde la función se llama a si misma Arboles Binarios Caso Recursivo • Si !AB_EstaVacio(raiz) AB_EnOrden(raiz->izq); Mostrar raiz->I AB_EnOrden(raiz->der); Caso Básico • Si AB_EstaVacio(raiz) Terminar de recorrer

32. A F A D C B G E C B 6 7 1 4 5 2 3 D F G E OPERACION ENORDEN void AB_EnOrden(AB A, Generico_fnImprimir imprimir){ if(!AB_EstaVacio(A)){ AB_EnOrden(A->izq,imprimir); imprimir(A->G); AB_EnOrden(A->der,imprimir); } } Arboles Binarios Arbol Vacio!, Terminar

33. APLICACIÓN: Evaluación de Expresiones • Ya se sabe lo de las expresiones • InFija, operador en medio • PreFija, operador antes de dos operandos • PosFija, operador luego de dos operandos • Para evaluar una expresión dada, podríamos • Pasarla a posfija y usar solo pilas • Pasarla a posfija y usar pilas y un árbol de expresión Arboles Binarios

34. + * a b + c a b ARBOL DE EXPRESION • Arboles que representan expresiones en memoria • Todos los operadores tienen dos operandos • La raiz puede contener el operador • Hijo izq: operando 1, Hijo derecho: operando 2 • Ejemplo: (a+b) Arboles Binarios (a+b)*c

35. + a * b - + c d Ejercicio en Clase • Construya arboles de expresión para: (X+(Y*Z)) * (A-B) • Deducir la expresión del siguiente A.B. Arboles Binarios

36. Evaluar una expresión aritmética en infija • La expresión se transforma a la expresión posfija • Esto, ya sabemos como hacerlo • Crear un árbol de expresión • Para esto se va a usar una pila y un árbol de caracteres • Usando el árbol, evaluar la expresión Arboles Binarios

37. - * * * * B B C C D D A A Crear un árbol de expresión • Los operandos serán siempre nodos hoja del árbol • Los operadores serán nodos padre Arboles Binarios A*B-C*D+H AB*CD*-H+ + H D - C * H B * C D A B A

38. + H - * * B C D A Evaluación de la expresión postfija • Lo ideal es recuperar los dos operandos, el operador, y ejecutar la opción • ¿Que recorrido es el ideal? • PostOrden Para evaluar el árbol: Si el árbol tiene un solo nodo y este almacena un operando El resultado de la evaluación es el valor de ese operando Si no 1. Res1 = Evaluó subarbol izquierdo 2. Res2 = Evaluó subarbol derecho 3. Recupero la info de la raiz y efectuo la operación allí indicada, entre Res1 y Res2 Arboles Binarios (A * B) - (C*D) + H A A y B A * B (A * B) y C (A * B) y C y D (A * B) y (C*D) (A * B) - (C*D) (A * B) - (C*D) y H

39. 6 4 9 5 Árbol binario de búsqueda • Los elementos en un árbol • Hasta ahora no han guardado un orden • No sirven para buscar elementos • Los arboles de búsqueda • Permiten ejecutar en ellos búsqueda binaria • Dado un nodo: • Todos los nodos del sub. Izq. Tienen una clave menor que la clave de la raíz • Todos los nodos del sub. Der. Tienen una clave mayor que la clave de la raíz 55 30 75 Árbol de búsqueda 85 4 41

40. TAD ABB: Definición <abb>::= NULL | <abb_nodo> <abb_nodo>::=<clave>+<contenido>+<izq>+<der> <izq>::=<abb> <der>::=<abb> <clave>::<<dato>>|{<<dato>>} <contenido>::<<dato>>|{<<dato>>} • Valores: • Conjunto de elementos • Dado un nodo p, • Los nodos del árbol izquierdo almacenan valores mayores al de p • Los nodos del árbol derecho almacenan valores menores al de p • Operaciones • Son las mismas operaciones que para un AB • Pero en este caso ya tenemos reglas suficientes que nos indican como: • Insertar • Sacar • Buscar Árbol de búsqueda typedef struct ABB_Nodo{ Generico clave, G; ABB_Nodo *izq, *der; }ABB_Nodo;

41. Crear con clave • Como el nodo ahora tiene un campo clave • Cambian un poco las operaciones del nodo • Ejemplo Árbol de búsqueda NodoAB *NuevaHoja(Generico clave, Generico contenido){ NodoArbol *nuevo; nuevo = malloc(sizeof(NodoArbol)); nuevo->clave = clave; nuevo->G = contenido; nuevo->izq = NULL; nuevo->der= NULL; return nuevo; }

42. CREACION DE UN ABB • Un árbol de búsqueda debe mantener • A la derecha valores mayor a la raíz • A la izquierda valores menor a la raíz • Ejemplo: • Construya árbol con los siguientes elementos: • 8, 3, 1, 20, 10, 5, 4 Árbol de búsqueda 8 3 20 1 5 10 4

43. Ejercicio en clase • Construya el árbol para almacenar: 12, 8, 7, 16, 11 Árbol de búsqueda ?

44. 8 3 20 1 5 10 4 Búsqueda de un nodo • Dada una clave, devolver el nodo que la contiene • Se comienza en la raíz • Si el árbol esta vacío • No se encontró • Si clave buscada es igual a la clave del nodo evaluado • Se encontró Si no • Si la clave buscada es mayor a la del nodo evaluado • Buscar en el subarbol derecho • Si no • Buscar en el subarbol izquierdo Árbol de búsqueda Buscar(raiz,25) Buscar(raiz,5) 5 5 No existe

45. Implementación de la búsqueda NodoABB *ABB_Buscar(ABB A, Generico clave, Generico_fnComparar comp){ if(ABB_EstaVacio(A)) return NULL; if(f(clave, A->clave) == 0) return A; if(f(clave, A->clave) > 0)) return ABB_Buscar(A->der, clave, comp); else return ABB_Buscar(A->izq, clave, comp); } Árbol de búsqueda

46. 8 3 20 1 5 10 4 Inserción de un nodo • Muy parecido a la búsqueda • Debo insertar en la posición correcta • El árbol debe mantener sus propiedades • Pasos: • Crear una nueva hoja • Buscar en el árbol donde ponerla • Enlazar el nuevo nodo al árbol Insertar(raiz,15) 15>8…der Árbol de búsqueda 15<20…izq 15>10…der Insertar aqui 15

47. Implementación de la inserción bool ABB_Insertar(ABB *A, NodoABB *nuevo, Generico_fnComparar f){ if(!ABB_EstaVacio(*A)){ if(f(nuevo->clave, (*A)->clave) >0) ABB_Insertar((*A)->der, nuevo,f); else if(f(nuevo->clave, (*A)->clave) <0) ABB_Insertar((*A)->izq,nuevo,f); else return FALSE; } else{ //Si esta vacio, alli insertar *A = nuevo; } return TRUE; } Árbol de búsqueda

48. 34 18 90 6 25 100 20 28 Eliminación de un nodo Eliminar(raiz,34) • Es mas compleja que la inserción • Al sacar un nodo del árbol • El árbol debe mantener sus propiedades • El árbol debe reajustarse • Pasos: • Buscar el nodo p que se va a eliminar • Si el nodo a eliminar tiene menos de dos hijos • Subir el nodo hijo a la posición del nodo eliminado Si no • Ubicar el nodo q con la mayor de las claves menores • Reemplazar contenido de p con el del nodo q • Eliminar el nodo q que se encontró en el primer paso 34 28 Árbol de búsqueda 28 nmayor

49. Implementación de sacar un nodo NodoABB *ABB_SacarNodoxContenido(ABB *A, Generico clave, Generico_fnComparar fn) { NodoABB *p, *tmp = *A; if(ABB_EstaVacio(*A)) return NULL; if(fn((*A)->clave, clave) < 0) return(ABB_SacarNodoxContenido(&(*A)->der, clave, fn)); else if(fn((*A)->clave, clave) >0) return(ABB_SacarNodoxContenido(&(*A)->izq, clave, fn)); if((*A)->der == NULL) (*A) = (*A)->izq; else if((*A)->izq == NULL) (*A) = (*A)->der; else tmp = ABB_SacarRaiz(A); return tmp; } Árbol de búsqueda

50. REVISAR… Métodos de búsqueda elementales: • Búsqueda secuencial • Búsqueda binaria • Búsqueda por árbol binario • Búsqueda directa en arboles binarios Métodos de ordenación elementales: • Ordenación por selección • Ordenación por inserción • Ordenación de burbuja • Ordenación de shell • Ordenación rápida (Quicksort)