이산수학
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2014 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세 PowerPoint PPT Presentation


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이산수학 (Discrete Mathematics) 점화 관계 (Recurrence Relations). 2014 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세. Recurrence Relations. Recurrence Relations.

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2014 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

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Presentation Transcript


2014

이산수학(Discrete Mathematics)

점화 관계

(Recurrence Relations)

2014년 봄학기

강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세


2014

Recurrence Relations

Recurrence Relations

  • A recurrence relation (R.R., or just recurrence) for a sequence {an} is an equation that expresses an in terms of one or more previous elements a0, …, an−1 of the sequence, for all n≥n0.(수열 {an}에 대한 점화 관계란 an을 이전의 항들인 a0, …, an−1들을 사용하여 표시하는 등식이다.  대표적인 예가 피보나치 수열)

  • A particular sequence is said to solve the given recurrence relation if it is consistent with the definition of the recurrence.(특정한 수열이 주어진 점화 관계를 만족하면 해당 수열을 주어진 점화 관계의 해라 한다.  다음 페이지의 예를 참조)

    • A given recurrence relation may have many solutions.(주어진 점화 관계는 하나 이상의 많은 해를 가질 수 있다.)


2014

Recurrence Relation Example

Recurrence Relations

  • Consider the recurrence relation

    an = 2an−1 − an−2 (n≥2).

  • Which of the following are solutions?

    an = 3n

    an = 2n

    an = 5

Yes

No

Yes


2014

이자율 계산 예제 (1/3)

Recurrence Relations

  • Recurrence relation for growth of a bank account with P% interest per given period: (이자율이 P%일 때, 총액 계산)

    Mn = Mn−1 + (P/100)Mn−1

    • Mn: 이번 달의 총액

    • Mn−1: 지난 달의 총액

    • (P/100)Mn−1: 지난 달의 이자


2014

이자율 계산 예제 (2/3)

Recurrence Relations

Mn= Mn−1 + (P/100)Mn−1

= (1 + P/100) Mn−1

= rMn−1(let r = 1 + P/100)

= r (rMn−2)

= r·r·(rMn−3)…and so on to…

= rnM0


2014

이자율 계산 예제 (3/3)

Recurrence Relations

  • 예제:원금이 10,000 달러이고, 1년 이자가 11%일 때, 복리로 계산하면 30년 후 계좌 잔고는?

    • Mn = Mn−1 + (11/100)Mn−1 = (1.11)Mn−1

    • M1 = (1.11)M0

    • M2 = (1.11)M1 = (1.11)2M0

    • M3 = (1.11)M2 = (1.11)3M0

    • Mn = (1.11)Mn-1 = (1.11)nM0

    • M30 = (1.11)30M0 = (1.11)30x 10,000 = $228,922.97 // M0 = 10,000


2014

피보나치 수열의 예제

Recurrence Relations

  • Growth of a population in which each organism yields 1 new one every period starting 2 periods after its birth.(예제 4: 주어진 (생물, 미생물) 개체는 태어난 지 2주기 이후에는 매 주기마다 하나의 새로운 개체를 생산한다… )

    Pn = Pn−1 + Pn−2 (Fibonacci relation)

    • Pn: 현재(n번째) 주기의 개체 수

    • Pn−1: 바로 이전 주기에 있었던 개체의 수

    • Pn−2: 새로 태어난 개체의 수 (2주기 이후에 새로운 개체를 생산하므로)


2014

하노이 탑 예제 (1/3)

Recurrence Relations

  • Problem: Get all disks from peg 1 to peg 2.(말뚝 1에 있는 모든 디스크를 말뚝 2로 옮긴다.)

    • Only move 1 disk at a time.(한 번에 한 개의 디스크만 옮길 수 있다.)

    • Never set a larger disk on a smaller one.(작은 디스크 위에 큰 디스크를 올려 놓을 수는 없다.)

Peg #1

Peg #2

Peg #3


2014

하노이 탑 예제 (2/3)

Recurrence Relations

  • Let Hn = # of moves for a stack of n disks. (Hn을 n개의 디스크 스택을 옮기는 데 필요한 디스크의 이동 횟수라 하자.)

  • Optimal strategy:

    • Move top n−1 disks to spare peg. (Hn−1 moves)

    • Move bottom disk. (1 move)

    • Move top n−1 to bottom disk. (Hn−1 moves)

  • Note: Hn = 2Hn−1 + 1


2014

하노이 탑 예제 (3/3)

Recurrence Relations

Hn = 2 Hn−1 + 1

= 2 (2 Hn−2 + 1) + 1 = 22 Hn−2 + 2 + 1

= 22(2 Hn−3 + 1) + 2 + 1= 23Hn−3 + 22 + 2 + 1

= 2n−1H1 + 2n−2 + … + 2 + 1

= 2n−1 + 2n−2 + … + 2 + 1(since H1 = 1)

=

= 2n − 1


2014

More Examples (1/2)

Recurrence Relations

예제(비트 스트링 문제):두 개의 연속적인 0들을 갖지 않는(0이연달아 2개 나오지 않는)길이 n의 비트 스트링 개수에 대한 점화 관계와 초기 조건을 제시하라.

# of bit strings of

length n with no

two consecutive 0s:

1

an-1

End with a 1:

Any bit string of length n – 1 with no two consecutive 0s

an-2

1 0

End with a 0:

Any bit string of length n – 2 with no two consecutive 0s

an = an-1 + an-2

Total:

  • 점화 관계: an = an-1 + an-2

  • 초기 조건: a1 = 2 = |{0, 1}|, a2 = 3 = |{01, 10, 11}|


2014

More Examples (2/2)- skip

Recurrence Relations

  • 예제(코드 워드 나열):짝수 개의 0을 포함하는 십진수는 유효한 코드 워드(예: 1230407869는 유효하고, 120987045608은 유효하지 않다)라 하고, an을 n자리 코드 워드라 할 때, an의 점화 관계를 구하라.

    • 한 자리 스트링(0, 1, 2, .., 9) 중 0은 유효치 않으므로, a1 = 9.

    • an에 대해서는 다음 두 가지 경우의 합으로 나타난다.

      • Case 1: (n–1)자리 유효한 스트링에0이 아닌 수를 더한 스트링의 개수= 9an-1

      • Case 2: (n-1)자리 유효하지 않은 스트링에0을 더한 스트링의 개수= (10n-1 - an-1)

    • an = 9an-1 + (10n-1 - an-1) = 8an-1 + 10n-1


2014

점화 관계식 풀기

Recurrence Relations

모든 점화 관계식을 (단순하게) 해결할 수는 없다.

주요 점화 관계식에 대한 풀이는 교재를 참조한다.


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