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§19.2 .2 菱形的判定. 菱形. 复习与回顾:. 1. 菱形的定义:. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。. 2. 菱形的性质:. 对角线 互相平分、 互相 垂直 且 平分每一组对角. 对边平行 四边相等. 对角相等. 想一想. A. D. B. C. 还有什么方法吗 ?. 如果一个四边形是平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?根据什么?. 根据定义得:. 有一组 邻边 相等的 平行四边形 叫做菱形. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 探究活动. 有 两条边相等

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§19.2 .2 菱形的判定

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Presentation Transcript


19 2 2

§19.2 .2 菱形的判定

菱形


19 2 2

  • 复习与回顾:

1.菱形的定义:

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质:

对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角

对边平行

四边相等

对角相等


19 2 2

想一想

A

D

B

C

还有什么方法吗?

  • 如果一个四边形是平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?根据什么?

根据定义得:

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.


19 2 2

5

5

5

5

5

5

5

5

5

探究活动

有两条边相等

有三条边相等的 四边形是菱形吗?

有四条边相等


19 2 2

D

A

C

B

猜想: 有四条边相等的四边形是菱形。

思考:它有几个已知条件?分别是什么?

已知:在四边形ABCD中,

AB=BC=CD=DA

求证:四边形ABCD是菱形

数学语言

证明:

∵AD=BC AB=CD

∵AB=BC=CD=DA

∴四边形ABCD是平行四边形

∴四边形ABCD是菱形

又∵AB=AD

∴四边形ABCD是菱形

(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)


19 2 2

画一画

A

B

D

C

先画两条等长的线段AB、AD,然后分别以B、D为圆心,AB为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC、CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?

你根据什么方法能判定是菱形吗?

有四条边相等的四边形是菱形。

∵在四边形ABCD中,

AB=BC=CD=DA

∴四边形ABCD是菱形.

O


19 2 2

思考

用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?

猜想

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.


19 2 2

A

已知:在 中,AC ⊥ BD

求证: 是菱形

B

D

C

ABCD

ABCD

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

证明:

O

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC

又∵AC ⊥ BD;

(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)

∴BA=BC

∴ ABCD是菱形

(有一组邻边相等的

平行四边形叫做菱形).

数学语言

∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD;

∴ □ ABCD是菱形


19 2 2

归纳

菱形常用的判定方法:

有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

有四条边相等的四边形是菱形.

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.


19 2 2

应用新知

D

A

C

O

B

如图, ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB= 5 ,AC=8,DB=6

求证:四边形ABCD是菱形.

证明:

(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC=4

OB=OD=3

(平行四边形的对角线互相平分)

∵ AB=5

∴ ∠AOB=

∴AC⊥BD

∴四边形ABCD是菱形.

(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).


19 2 2

做一做

判断下列说法是否正确?为什么?

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形;

(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等

的四边形是菱形;

(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一

组对角的四边形是菱形.


19 2 2

做一做

D

C

O

A

B

□ABCD的对角线AC与BD相交于点O,(1)若AB=AD,则□ABCD是形;(2)若AC=BD,则□ABCD是形;(3)若∠ABC是直角,则□ABCD是形;(4)若∠BAO=∠DAO,则□ABCD是形。


19 2 2

思考:

请你动脑筋

把两张等宽的纸条交叉重叠在一起,你能判断重叠部分ABCD的形状吗?

A

D

C

B


19 2 2

A

D

B

C


19 2 2

菱形

平行四边形

小结:

菱形的判定方法:

四条边相等

四边形

一组邻边相等

对角线互相垂直

五种判定方法


19 2 2

四边形

作 业

习题19.2

复习题19

19

6、10、

5、


19 2 2

矩形与菱形

有一角是直角的平行四边形叫做矩形.

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

平行四边形的性质

四条边都相等

性质

四个角都是直角

对角线

互相垂直且平分每一组对角

相等

有一角是直角的平行四边形

有一组邻边相等的平行四边形

对角线相等的平行四边形

判定

对角线互相垂直的平行四边形

三个角都是直角的四边形

四条边都相等的四边形


19 2 2

例题解析:

已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F求证:四边形AFCE是菱形。

分析: (1)利用定义判定

(2) 由已知可知

OA=OC,EF⊥AC.

(3)利用四边相等,你会吗?


19 2 2

二.已知:如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,PD∥AC,PC∥BD,PD、PC相交于点P。

(1)猜想:四边形PCOD是什么特殊的四边形?

(2)试证明你的猜想。

四边形PCOD是菱形。

(3)PO与CD有怎样的关系?

PO与CD互相垂直且平分


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如图4-48,CD为Rt△ABC斜边AB上的高,∠BAC的平分线交CD于E,交BC于F,FG⊥AB于G.求证:四边形EGFC为菱形.


19 2 2

D

C

M

N

F

E

A

B

如图,已知在□ABCD中,AD=2AB,E、F在直线AB上,且AE=AB=BF,

证明:CE⊥DF.


19 2 2

B

E

F

D

C

A

例:如图,Rt△ABC中,∠ACB=900,∠BAC=600,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE,求证:四边形ACEF是菱形。


19 2 2

例:如下图在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于C,EF⊥BC于F,四边形AEFG是菱形吗?


19 2 2

D

A

C

O

B

  • 思考题:

  • 如图,AD∥BC,BD垂直平分AC,四边形ABCD一定是菱形吗?若是,请说明理由。

) 1

2(

提示: △AOD≌△COB(角边角)

AD=BC


19 2 2

如图,已知AD平分∠BAC,DE//AC,

DF//AB,AE=5.

(1)判断四边形AEDF的形状?

(2)它的周长为多少?

A

E

F

C

B

D


19 2 2

F

A

D

E

B

C

练习:

  • 如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.

    则CE与CF相等吗?说明理由。

    BE与DF呢?


19 2 2

已知,如图, ∠ ABC中, ∠ ACB= 900,BF平分∠ ABC,CD垂直于AB于D,和BF交于点G , GE ∥ CA.

求证:CE和FG互相垂直平分。


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