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Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico

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Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico. Capítulo 09 Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação Prof. Sérgio Mário Lins Galdino http://epoli.pbworks.com/. Agenda. Ajuste de curvas; Regressão; O método dos mínimos quadrados; A linha mínimos quadrados ;

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escola polit cnica de pernambuco departamento de ensino b sico
Escola Politécnica de PernambucoDepartamento de Ensino Básico

Capítulo 09

Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação

Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

http://epoli.pbworks.com/

agenda
Agenda
  • Ajuste de curvas;
  • Regressão;
  • O método dos mínimos quadrados;
  • A linha mínimos quadrados;
  • A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância;
agenda1
Agenda
  • Desvio Padrão da Estimativa;
  • O Coeficiente de Correlação Linear;
  • Coeficiente de Correlação Generalizado;
  • Correlação e Dependência;
ajuste de curvas
Ajuste de curvas

A determinação de equações de curvas que se ajustem a determinados conjuntos de dados observados é chamado de Ajustamento de Curvas.

ajuste de curvas1
Ajuste de curvas

Pode-se fazer uma análise da seguinte forma:

  • coleta-se os dados de duas variáveis. Por exemplo, x e y, a altura e peso de um grupo de pessoas, , respectivamente.
  • traça-se um gráfico dos pontos (X1,Y1), (X2,Y2)....(Xn,Yn) em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante é conhecido como diagrama de dispersão. Com esse diagrama pode-se visualizar uma curva aproximativa de dados ( curva de ajuste).
ajuste de curvas2
Ajuste de curvas
  • Relação linear entre variáveis
  • Relação linear não linear
ajuste de curvas3
Ajuste de curvas

Não existe relação

regress o
Regressão

Um dos objetivos do ajustamento é estimar uma das variáveis (V. D.) em função da outra (V. I.). Esse processo é conhecido como regressão (y(x) versus x) .

A equação e a curva de regressão de x sobre y ocorre quando a variável x é estimado em função de y (x(y) versus y) .

m todo dos m nimos quadrados
Método dos mínimos quadrados

De todas curvas que se aproximam de determinados conjuntos de pontos, a curva que atende a propriedade :

d₁2 + d₂2 + ......+dn2 = mínimo

Obs: o dn corresponde a diferença entre o valor e o valor ajustado pela curva

m todo dos m nimos quadrados1
Método dos mínimos quadrados

dn= desvio, erro ou resíduo

C = melhor curva ajustadora

a linha de m nimos quadrados
A linha de mínimos quadrados

A reta de mínimos quadrados aproxima o conjunto de pontos (xi , yi), tem a equação

onde a e b são determinadas pela solução das equações normais para linha de mínimos quadrados

a linha de m nimos quadrados1
A linha de mínimos quadrados

Os valores de a e b são

a linha de m nimos quadrados2
A linha de mínimos quadrados

O valores b pode ser reescrito como:

onde

a linha passando pelo centr ide
A linha passando pelo centróide

A reta de mínimos quadrados passa pelo ponto , chamado centróide (centro de gravidade dos dados).

Ou a linha de regressão de x sobre y

exemplo1
Exemplo

a= 35.82 e b= 0.476

y = 35.82 + 0.476.x

a linha m nimos quadrados em termos da vari ncia amostral e covari ncia
A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância

As variâncias e covariâncias amostrais de x e y são dadas por

É definido o coeficiente de correlação amostral como:

Então a equação da reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x:

desvio padr o da estimativa
Desvio Padrão da Estimativa

A medida da dispersão em torno de uma curva de regressão é dado por:

Como verificamos que a curva de mínimos quadrados é a que apresenta o menor desvio padrão de estimativa dentre as curvas de regressão.

coeficiente de correla o linear
Coeficiente de correlação linear

O coeficiente pode ser definido como:

: variação explicada ( os desvios tendem a um padrão definido pela reta de regressão de mínimos quadrados).

: variação total

coeficiente de correla o linear1
Coeficiente de correlação linear

O r é a medida de quão bem a reta de regressão de mínimos quadrados se ajusta aos dados. Assim r2=1 é definido como correlação linear perfeita. Se r2=0 a variação total é toda não explicada.

Observação: ‘r’ estar entre 0 e 1.

coeficiente de correla o generalizado
Coeficiente de Correlação Generalizado

O coeficiente pode ser definido como:

: variação explicada

: variação total

Mede quão bem uma curva de regressão não-linear se ajusta aos dados = Coeficiente de Correlação Generalizado

exemplo2
Exemplo

Encontre o coeficiente de determinação e o coeficiente de correlação linear do exemplo acima.

Relembrando que o coeficiente de determinação é r2:

O coeficiente de correlação é r:

correla o e depend ncia
Correlação e Dependência
  • Sempre que duas variáveis x e y tem coeficiente de correlação diferente de 0, ela são dependentes ( sentido probabilístico).
  • Nem sempre essa correlação representa uma interdependência causal direta.
  • Exemplo 1 :

altura e peso→ interdependência direta

  • Exemplo 2:

salário e criminalidade → Interdependência indireta.

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