Escola polit cnica de pernambuco departamento de ensino b sico
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Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico. Capítulo 09 Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação Prof. Sérgio Mário Lins Galdino http://epoli.pbworks.com/. Agenda. Ajuste de curvas; Regressão; O método dos mínimos quadrados; A linha mínimos quadrados ;

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Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico

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Presentation Transcript


Escola polit cnica de pernambuco departamento de ensino b sico

Escola Politécnica de PernambucoDepartamento de Ensino Básico

Capítulo 09

Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação

Prof. Sérgio Mário Lins Galdino

http://epoli.pbworks.com/


Agenda

Agenda

  • Ajuste de curvas;

  • Regressão;

  • O método dos mínimos quadrados;

  • A linha mínimos quadrados;

  • A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância;


Agenda1

Agenda

  • Desvio Padrão da Estimativa;

  • O Coeficiente de Correlação Linear;

  • Coeficiente de Correlação Generalizado;

  • Correlação e Dependência;


Ajuste de curvas

Ajuste de curvas

A determinação de equações de curvas que se ajustem a determinados conjuntos de dados observados é chamado de Ajustamento de Curvas.


Ajuste de curvas1

Ajuste de curvas

Pode-se fazer uma análise da seguinte forma:

  • coleta-se os dados de duas variáveis. Por exemplo, x e y, a altura e peso de um grupo de pessoas, , respectivamente.

  • traça-se um gráfico dos pontos (X1,Y1), (X2,Y2)....(Xn,Yn) em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante é conhecido como diagrama de dispersão. Com esse diagrama pode-se visualizar uma curva aproximativa de dados ( curva de ajuste).


Ajuste de curvas2

Ajuste de curvas

  • Relação linear entre variáveis

  • Relação linear não linear


Ajuste de curvas3

Ajuste de curvas

Não existe relação


Regress o

Regressão

Um dos objetivos do ajustamento é estimar uma das variáveis (V. D.) em função da outra (V. I.). Esse processo é conhecido como regressão (y(x) versus x) .

A equação e a curva de regressão de x sobre y ocorre quando a variável x é estimado em função de y (x(y) versus y) .


M todo dos m nimos quadrados

Método dos mínimos quadrados

De todas curvas que se aproximam de determinados conjuntos de pontos, a curva que atende a propriedade :

d₁2 + d₂2 + ......+dn2 = mínimo

Obs: o dn corresponde a diferença entre o valor e o valor ajustado pela curva


M todo dos m nimos quadrados1

Método dos mínimos quadrados

dn= desvio, erro ou resíduo

C = melhor curva ajustadora


A linha de m nimos quadrados

A linha de mínimos quadrados

A reta de mínimos quadrados aproxima o conjunto de pontos (xi , yi), tem a equação

onde a e b são determinadas pela solução das equações normais para linha de mínimos quadrados


A linha de m nimos quadrados1

A linha de mínimos quadrados

Os valores de a e b são


A linha de m nimos quadrados2

A linha de mínimos quadrados

O valores b pode ser reescrito como:

onde


A linha passando pelo centr ide

A linha passando pelo centróide

A reta de mínimos quadrados passa pelo ponto , chamado centróide (centro de gravidade dos dados).

Ou a linha de regressão de x sobre y


Exemplo

Exemplo


Exemplo1

Exemplo

a= 35.82 e b= 0.476

y = 35.82 + 0.476.x


A linha m nimos quadrados em termos da vari ncia amostral e covari ncia

A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância

As variâncias e covariâncias amostrais de x e y são dadas por

É definido o coeficiente de correlação amostral como:

Então a equação da reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x:


Desvio padr o da estimativa

Desvio Padrão da Estimativa

A medida da dispersão em torno de uma curva de regressão é dado por:

Como verificamos que a curva de mínimos quadrados é a que apresenta o menor desvio padrão de estimativa dentre as curvas de regressão.


Coeficiente de correla o linear

Coeficiente de correlação linear

O coeficiente pode ser definido como:

: variação explicada ( os desvios tendem a um padrão definido pela reta de regressão de mínimos quadrados).

: variação total


Coeficiente de correla o linear1

Coeficiente de correlação linear

O r é a medida de quão bem a reta de regressão de mínimos quadrados se ajusta aos dados. Assim r2=1 é definido como correlação linear perfeita. Se r2=0 a variação total é toda não explicada.

Observação: ‘r’ estar entre 0 e 1.


Coeficiente de correla o generalizado

Coeficiente de Correlação Generalizado

O coeficiente pode ser definido como:

: variação explicada

: variação total

Mede quão bem uma curva de regressão não-linear se ajusta aos dados = Coeficiente de Correlação Generalizado


Exemplo2

Exemplo

Encontre o coeficiente de determinação e o coeficiente de correlação linear do exemplo acima.

Relembrando que o coeficiente de determinação é r2:

O coeficiente de correlação é r:


Correla o e depend ncia

Correlação e Dependência

  • Sempre que duas variáveis x e y tem coeficiente de correlação diferente de 0, ela são dependentes ( sentido probabilístico).

  • Nem sempre essa correlação representa uma interdependência causal direta.

  • Exemplo 1 :

    altura e peso→ interdependência direta

  • Exemplo 2:

    salário e criminalidade → Interdependência indireta.


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