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Partie 2 : Théorie des modules effectifs - Approximations de Voigt et Reuss

Partie 2 : Théorie des modules effectifs - Approximations de Voigt et Reuss. 1. Théorie des modules effectifs 1.1 Localisation 1.2 Définition directe des tenseurs effectifs 1.3 Caractérisation énergétique, propriétés variationnelles 2. Approximations de Voigt et Reuss

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Partie 2 : Théorie des modules effectifs - Approximations de Voigt et Reuss

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Presentation Transcript

  1. Partie 2 :Théorie des modules effectifs -Approximations de Voigt et Reuss • 1. Théorie des modules effectifs • 1.1 Localisation • 1.2 Définition directe des tenseurs effectifs • 1.3 Caractérisation énergétique, propriétés variationnelles • 2. Approximations de Voigt et Reuss • 2.1 Approximation de Voigt • 2.2 Approximation de Reuss • 2.3 Bornes de Voigt et Reuss • 2.4 Exemple

  2. x x l Propriétés Propriétés Propriétés l x x x Les matériaux qui nous intéressent Propriétés Thermoélasticité linéaire Macrohétérogène, microhomogène Microhétérogène, macrohomogène Macrohétérogène, microhétérogène

  3. 1. Théorie des modules effectifs Matériau homogène à l’échelle macroscopique Méthodes d’homogénéisation Matériau hétérogène à une échelle plus fine Notre cadre : élasticité linéaire et déformations infinitésimales s, e : tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle des hétérogénéités. S, E : tenseurs de contraintes et de déformations définis à l’échelle macroscopique.

  4. V ou West le VER (volume élémentaire représentatif) Ces moyennes ( ) sont valables en l’absence de cavités, fissures, inclusions Rappel : relation entre les tenseurs des contraintes et des déformations aux échelles locale et macroscopique :

  5. Non unicité de la solution (sollicitation) 1.1 Localisation PourSou Econnu : Quels sont les champs locaux qui en résultent dans W ? Analyse mécanique  Équations du problème Équilibre intérieur Condition de moyenne Loi de comportement mais pas complètement défini Conditions aux limites : homogène au contour

  6. Déformations homogènes imposées Contraintes homogènes imposées Résultats démontrés Sollicitation homogène au contour Formulation d’un problème avec conditions sur la frontière W

  7. Condition de contraintes homogènes au bord • Problème local à Sd donné: PCH • Problème local à Ed donnée : P’CH

  8. Condition de déformations homogènes au bord • Problème local à Ed donnée: PDH • Problème local à Sd donné : P’DH

  9. VER pas équivalent Remarques sur les conditions de contraintes et déformations homogènes Si on impose des contraintes homogènessur W mais Déformations inhomogènessur W

  10. Tenseur de localisation et de concentration : Propriétés en élasticité linéaire HPP - fonctionnelles linéaires Ax: Tenseur de localisation des déformations Symétrie des déformations (E,e) Bx: Tenseur de concentration des contraintes Symétrie des contraintes (S,s)

  11. 1.2 Définition DIRECTE des tenseurs effectifs PDH Tenseur des modules effectifs : Tenseur des souplesses effectives : PCH

  12. Propriétés des tenseurs effectifs : Remarques : A = IetB = I 1/ La loi des mélanges correspondrait à 2/ Seule la connaissance moyenne par phase de A et B est nécessaire

  13. L1(M1) LM (MM) Cas particulier : matériau biphasé

  14. 1 2 démo • 1.3.1 Caractérisation ENERGETIQUE : • Suite des propriétés des tenseurs effectifs : Lemme de Hill Lemme de Hill • Relations de comportement inverses

  15. Fd f ud W Travail des efforts donnés Énergie de déformation 1.3.2 Propriétés variationnelles : Utilisation des Principes de Minimum S.A. = {s(x).n=Fd, x WF, div(s)=0, x W} C.A. ={u(x)=ud, x Wu} • Principe du minimum en déplacements : Énergie Potentielle Parmi tous les champs de déplacement v(x)C.A, la solutionu(x)minimisel’EP

  16. Énergie de déformation complémentaire Travail des contraintes dans les déplacements donnés • Principe du minimum en contraintes : Énergie Potentielle Complémentaire Parmi tous les champs de contraintes t(x)S.A, la solutions(x)maximisel’EPC • Formules de Clapeyron : si (u,s) solution

  17. Lemme de Hill Énergies de déformation moyennes • En déformations homogènes au contour si (u(x), s ) solution • En contraintes homogènes au contour si (u(x), s) solution

  18. u(x) sol. u(x) sol. Sh Eh (L(u)=0) Sh (L*(t)=0) Clapeyron ssol. Eh ssol. Clapeyron Encadrement des tenseurs effectifs f(x) = 0 (forces de volume) • Énergie Potentielle • Énergie Pot. Complémentaire

  19. Encadrement des tenseurs effectifs Eh Sh

  20. 1 3 2 1.3.3 Influence des conditions de contour Exemple : composite AL/Sic à fibres longues • fibres circulaires, régulièrement réparties • fraction volumique : Vf=0,385 • composite supposé à symétrie carrée (symétries de l’arrangement)

  21. Résolution numérique de PCH et P’DH • déformation ou contrainte homogène au contour • contrainte moyenne imposée • influence du maillage : • 5 VER : V, Vm avec m=2,4,6,8 contenant mm fibres

  22. Résultats : modules de cisaillement transverse(mt) et de compressibilité latérale(K) (Hashin,1966) # = homogénéisation périodique >10% 1,5% 0,2% 1,25%

  23. Déformation équivalente

  24. Influence des conditions de contour : Conclusions • Suquet (1982) • Hill-Mandel MS:LE = I + O(d3/l3) Si l>>d : (M’S )-1=LE et (L’E )-1 = MS M-1H=LH et L-1H= MH

  25. A=I,on lève la nécessité de connaître les 2. Approximations de Voigt et Reuss : Bornes du premier ordre • 2.1 Approximation de Voigt (1887): • Déformations uniformes dansW: LH =<L:A> • Encadrement (Hill, 1952) Le tenseur des rigidités de Voigt est une estimation par excès

  26. MH =<M:B> • 2.2 Approximation de Reuss (1929): • Contraintes uniformes dansW: B=I • Encadrement (Hill, 1952) Le tenseur des souplesses de Reuss est une estimation par excès • Remarques • la connaissance de Lr et Mr suffisent • pas a priori de connaissance des symétries du MHE (->21 coeffs) • illustration sur un exemple isotrope macroscopiquement et dans les phases

  27. Encadrement des modules de compressibilité et de cisaillement 2.3 Bornes de Voigt et Reuss Matériaux composites isotropes et à phases isotropes : au sens quadratique • Encadrement valable pour k et m intervenant de manière découplée • (partie hydrostatique et déviatorique) : plus valide pour E et n

  28. A faire 2.4 Exemple Deux phases isotropes du composite Al/SiCp: 1/ Calcul des bornes de Voigt et Reuss 2/ Montrer la relation précédente pour E

  29. 3,12 1,48 0,385 Module de cisaillement pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp Fuseaux de Hill m#t=1,56

  30. 2,28 1,42 0,385 Module de compressibilité latérale pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp K#=1,52

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