第四模块 微积分学的应用
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一、二阶线性微分方程解的结构 PowerPoint PPT Presentation


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第四模块 微积分学的应用. 第十三节  二阶常系数线性微分方程. 一、二阶线性微分方程解的结构. 二、二阶常系数线性微分方程的解法. 三、应用举例. 一、二阶线性微分方程解的结构. 二阶微分方程的如下形式. y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ). f ( x ) 称为 自由项 , 当 f ( x ) 0 时 , 称为 二阶线性非齐次微分方程 ,. 称为二阶线性微分方程 , 简称 二阶线性方程. 简称 二阶线性非齐次方程. 当 f ( x ) 恒为 0 时 , 称为 二阶线性齐次微分方程 ,.

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一、二阶线性微分方程解的结构

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第四模块 微积分学的应用

第十三节 二阶常系数线性微分方程

一、二阶线性微分方程解的结构

二、二阶常系数线性微分方程的解法

三、应用举例


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一、二阶线性微分方程解的结构

二阶微分方程的如下形式

y + p(x)y + q(x)y = f (x)

f(x) 称为自由项,当f (x) 0 时,称为二阶线性非齐次微分方程,

称为二阶线性微分方程,简称二阶线性方程.

简称二阶线性非齐次方程.

当f (x) 恒为0 时,称为二阶线性齐次微分方程,

简称二阶线性齐次方程.

方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数.

这类方程的特点是:右边是已知函数或零,左边每一项含 y或 y或 y,

且每项均为 y或 y或 y 的一次项,

例如 y+xy +y = x2就是二阶线性非齐次方程.

而 y+x(y)2+y = x2 就不是二阶线性方程.


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  定理1如果函数 y1与 y2是线性齐次方程的两个解,

则函数

y = C1 y1 + C2 y2

仍为该方程的解,

其中C1,C2 是任意常数.

证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解,

所以有


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于是有

y + p(x)y + q(x)y

= 0

所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y =0 的解.


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定义 设函数 y1(x) 和 y2(x)是定义在某区间 I上的两个函数,

使

如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2,

k1 y1(x) +k2 y2(x)= 0

         则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的,否则称为线性无关.

在区间 I上恒成立.

我们往往采用另一种简单易行的方法,即看它们的比是否为常数,

考察两个函数是否线性相关,

事实上,当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时,有 k1 y1 +k2 y2 = 0,

其中 k1, k2 不全为 0,

不失一般性,


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即 y1与 y2之比为常数.

反之,若y1与 y2之比为常数,

所以 y1与 y2线性相关.

则 y1 = l y2,即 y1 -l y2 = 0.

因此,如果两个函数的比是常数,则它们线性相关;

                    例如函数y1 = ex,y2 = e -x,

如果不是常数,则它们线性无关.

                所以,它们是线性无关的.


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  定理2 如果函数 y1与 y2是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解,

y = C1 y1 + C2 y2

是该方程的通解,

其中 C1, C2为任意常数.

证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解,

所以,由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解.

又因为 y1 与 y2 线性无关,即 y1 与 y2 之比不为常数,

所以它们中任一个都不能用另一个 (形如 y1 =ky2 或 y2 =k1 y)来表示.

故C1 与C2不能合并为一个任意常数,

因此y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.


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  定理3 如果函数 y*是线性非齐次方程的一个特解,

Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解,

y = Y + y*,

是线性非齐次方程的通解.

证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x)

和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y =0 的解,

所以有

y* + p(x)y* + q(x)y*= f (x),

Y + p(x)Y + q(x)Y =0 .


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又因为 y =Y +y*,

所以

y = Y +y*,

y + p(x)y + q(x)y

= (Y +y* ) + p(x)(Y +y* ) + q(x)(Y +y*)

= (Y + p(x)Y + q(x)Y) + ( y*  + p(x) y*+ q(x)y*)

= f (x).


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这说明函数 y = Y + y*是线性非齐次方程的解,

又 Y 是二阶线性齐次方程的通解,它含有两个任意常数,

即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x)的通解.

故 y = Y + y* 中含有两个任意常数.

求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为:

(1)求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2,

得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.

(2)求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*.

那么,线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*.


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是方程 ① 的特解.

定理4 设二阶线性非齐次方程为

y + p(x)y + q(x)y = f1(x) + f2(x),

y + p(x)y + q(x)y = f1(x),

y + p(x)y + q(x)y = f2(x)

的特解,


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证 因为 y1*与 y2*分别是② 与 ③ 的特解,

所以有

y1* + p(x)y1* + q(x)y1*= f 1(x),

y2* + p(x)y2* + q(x)y2*= f 2(x) .

于是有

= [y1* + p(x)y1* + q(x)y1*]

+ [y2* + p(x)y2* + q(x)y2*]

= f 1(x) +f 2(x) ,

即 y1* + y2*满足方程 ①,


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二、二阶常系数线性微分方程的解法

如果二阶线性微分方程为

y + py + qy = f(x) ,

则称该方程为二阶常系数线性微分方程.

其中 p、 q 均为常数,


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1.二阶常系数线性齐次方程的解法

设二阶常系数线性齐次方程为

y + py + qy =0 .

我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解,其中 r为待定常数.

考虑到左边 p,q 均为常数,

 将 y = rerx, y = r2erx及 y = erx 代入上式,

erx (r2 + pr + q) = 0 .

由于erx 0,因此,只要 r满足方程

r2 + pr + q = 0,

y = erx 就是④式的解.

即 r是上述一元二次方程的根时,

                  特征方程根称为特征根.

方程⑤称为方程④的特征方程.


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1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2,

即 r1r2.

都是 ④的解,

那么,这时函数

所以 y1与 y2线性无关,

因而它的通解为

2 特征方程具有两个相等的实根,

这时,由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解 y1 = erx.

还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2,

为此,设 y2 = u(x)y1,

将 y2及其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x)),

其中 u(x)为待定函数.

y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x)), 代入方程 y+ py + qy = 0 中,得


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注意到 是特征方程的重根,

所以有 r2 +pr +q = 0

及 2r+p = 0.

且 erx 0,

因此只要 u(x) 满足

为简便起见,取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x,

则 y2 = uerx就是 ④式的解,

于是得到方程 ④且与 y1 = erx线性无关的解 y2 = xerx.

 因此,④式的通解为


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3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib .

这时有两个线性无关的特解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x.

为了便于在实数范围内讨论问题,

这是两个复数解,

我们再找两个线性无关的实数解.

由欧拉公式

(这公式我们将在无穷级数章中补证),可得


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于是有

由定理 1 知,以上两个函数 eaxcosbx 与 eax sinbx均为 ④ 式的解,

 因此,这时方程的通解为

且它们线性无关.


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上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法,其步骤是:

(1)写出所给方程的特征方程;

(2)求出特征根;

(3)根据特征根的三种不同情况,写出对应的特解,并写出其通解.


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例1求方程 y - 2y - 3y = 0的通解.

解该方程的特征方程为 r2- 2r – 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1, r2 = 3,

其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e-x与 y2 = e3x,

所以方程的通解为


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例2求方程 y - 4y + 4y = 0的满足初始条件 y(0) = 1, y(0) = 4 的特解.

它有重根 r = 2.

解该方程的特征方程为 r2- 4r+ 4 = 0,

其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x与 y2 = xe2x,

所以通解为

求得

将 y(0) = 1,y(0) = 4 代入上两式,得 C1 = 1,C2 = 2,

因此,所求特解为

y =(1 + 2x)e2x.


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例3求方程 2y + 2y + 3y = 0的通解.

解该方程的特征方程为 2r2+ 2r+ 3 = 0,它有共轭复根

对应的两个线性无关的解为

所以方程的通解为


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例4求方程 y + 4y = 0的通解.

解该方程的特征方程为 r2+ 4 = 0,它有共轭复根 r1,2 =  2i. 即a = 0,b = 2.

 对应的两个线性无关的解y1 = cos 2x.

y2 = sin 2x.

所以方程的通解为


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2.二阶常系数线性非齐次方程的解法

1 自由项f (x) 为多项式 Pn(x).

设二阶常系数线性非齐次方程为

y +py +qy = Pn(x),

因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式,

其中 Pn(x) 为 x的 n次多项式.

所以可设 ⑥ 式的特解为

当原方程 ⑥中y项的系数 q 0 时, k取0;

其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式,

当 q= 0,但p 0 时,

k取1;

当 p= 0, q= 0 时,k 取 2.


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例5求方程 y - 2y + y= x2的一个特解.

解因为自由项 f (x)= x2是 x 的二次多项式,

且 y的系数 q = 1  0,取 k = 0 .

所以设特解为

代入原方程后,有


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比较两端 x同次幂的系数,有

解得

A = 1,B = 4,C = 6.

故所求特解为


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例6求方程 y +y = x3 – x +1 的一个特解.

解因为自由项 f (x)= x3 – x +1 是一个 x 的三次多项式,

且 y的系数 q = 0, p = 1  0,取 k = 1.

所以设方程的特解为

代入原方程后,有


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比较两端 x同次幂的系数:

解得

故所求特解为


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2 自由项f (x) 为 Aeax型

设二阶常系数线性非齐次方程为

y +py +qy = Aeax,

其中 a,A均为常数.

  由于 p,q为常数,且指数函数的导数仍为指数函数,

因此,我们可以设 ⑦ 的特解

当a不是 ⑦式所对应的线性齐次方程的特征方程r2 + pr + q = 0 的根时,取k = 0;

其中 B 为待定常数,

当 是其特征方程重根时,取k = 2.

当a是其特征方程单根时,取k = 1;


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2

=

B

.

7

例7求方程 y +y + y= 2e2x的通解.

解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根,取 k = 0,

所以,设特解为

代入方程,得

故原方程的特解为


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1

=

B

,

4

例8求方程 y + 2y - 3y= ex的特解.

解a = 1 是特征方程 r2 + 2r- 3 = 0 的单根,取 k = 1,

所以,设特解为

故原方程的特解为

代入方程,得


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3 自由项f (x) 为 eax(Acos wx + Bsin wx)型

设二阶常系数线性非齐次方程为

y +py +qy = eax (Acos wx + Bsin wx),

其中 a,A,B均为常数.

  由于 p,q为常数,且指数函数的各阶导数仍为指数函数,

正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数,

因此, 我们可以设 ⑧有特解

其中 C,D为待定常数.

当a + wi不是⑧式所对应的齐次方程的特征方程的根时,

是根时,

取k = 0,

取k = 1,

代入⑧ 式,求得 C及 D.


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例 9求方程 y + 3y -y= ex cos 2x的一个特解.

解自由项 f (x) = ex cos 2x为 eax(Acoswx + Bsinwx)型的函数,

且 a+wi=1 + 2i,它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2+ 3r – 1 = 0 的根,

取 k = 0,所以设特解为


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代入原方程,得

比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数,得

解此方程组,得

故所求特解为


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例10求方程 y +y= sin x的一个特解.

解自由项 f (x)= sin x为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数,且 a=0,w = 1,

且 a+wi=i是特征方程 r2 + 1 = 0 的根,

取 k = 1,所以,设特解为

代入原方程,得


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比较两端 sinx与 cosx的系数,得

故原方程的特解为

而对应齐次方程 y +y = 0 的通解为

Y = C1cosx + C2sinx.

故原方程的通解为


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例 11方程 y + 4y= x +1 + sinx的通解.

解自由项 f (x)= x +1 + sinx可以看成 f1(x)= x +1 和 f2(x)= sin x之和,

所以分别求方程

y + 4y= x +1,

y + 4y= sin x .

的特解.

方程 ⑨的特解易求得,

设方程⑩的特解为


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代入⑩,得

3Asin x = sin x.

所以

得原方程的特解


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  原方程所对应的线性齐次方程为y + 4y= 0,其通解为

Y = C1cos 2x + C2sin 2x,

故原方程的通解为


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O

三、应用举例

例12弹簧振动问题

  设有一个弹簧上端固定,下端挂着一个质量为 m 的物体,

    当弹簧处于平衡位置时,物体所受的重力与弹性恢复力大小相等,方向相反,

设给物体一个初始位移 x0初速度 v0,

则物体便在其平衡位置附近上下振动.

已知阻力与其速度成正比,

试求振动过程中位移 x的变化规律.


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解 建立坐标系,平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向,则物体位移 x是时间 t的函数 x = x(t).

物体在振动过程中,受到两个力的作用:

弹性恢复力 f1 与阻力 f2,

由胡克定律知, f1= -kx,

其中 k为弹性系数大于 0,

负号表示弹性恢复力与位移 x方向相反;

阻力 f2与速度 v成正比, f2= -mv,

其中 m 为比例系数大于 0 (或称阻尼系数 ),

负号表示阻力 f2与速度 v方向相反,

根据牛顿第二定律 F = ma,知

ma = -kx – mv,

其中 a为加速度,

v为速度,


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那么,上式变为

                    则上式方程可表示为

这里 n,w为正常数,

称为振动的微分方程,

是一个二阶常系数线性齐次方程,

其根为

它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0,


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由题意列出初始条件

于是,上述问题化为初值问题:


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下面分三种情况来讨论

1 大阻尼情形,即 n > w .

是两个不相等的实根. 所以方程的通解为

2 临界阻尼情形,即 n = w.

这时,特征根 r1 = r2 = - n,所以方程的通解为


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3 小阻尼情形,即 n < w .

这时,特征根为共轭复数

所以方程的通解为

上式也可写成


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对于 1, 2

情形,x(t) 都不是振荡函数,

即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置.

且当 t +  时, x(t)  0,

 对于 3 的情形,虽然物体的运动是振荡的,

 但它仍随时间 t的增大而趋于平衡位置,

 总之,这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止,

           称为弹簧的阻尼自由振动.


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