Métodos Numéricos e Estatísticos

1. Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7: Métodos numéricos para equações diferenciais 1a ordem Passos múltiplos 2a ordem REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

2. Equações diferenciais de 1a ordem Métodos numéricos são usados quando não é possível obter uma solução geral, ou a forma dela é tão complicada que seu uso não é prático. Uma equação diferencial de 1a ordem tem a forma , e em geral podemos escrevê-la como: Problema do valor inicial - uma equação diferencial - uma condição que deve ser satisfeita pela solução REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

3. Os métodos que estudaremos partem da idéia de que o espaço da variável independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede x0 x1= x0+h x2= x1+h....... h é o passo. O valor da função em cada ponto da rede é calculado a partir de expansões em série de Taylor. REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

4. Método de Euler ou Euler-Cauchy O valor de y para um passo h é dado pela expansão: Como em geral h é pequeno, suprimimos os termos de ordem O(h2): h2, h3, ..... Resultando na aproximação REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

5. O que resulta no processo iterativo A omissão dos termos de ordem superior a 2 causa erros de truncagem (que podem ocorrer junto a erros de arredondamento). REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

6. Exemplo: passo h=0,2 O erro não é (em geral) conhecido. Podemos estimá-lo utilizando um passo h´=2h REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

7. Método de Euler melhorado (2a ordem) Método chamado de preditor-corretor. REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

8. Exemplo: o mesmo visto anteriormente REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

9. Método de Runge-Kutta (4a ordem) Se f(x,y) não depender de y, o método reduz-se à regra de integração de Simpson REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

10. Comparação entre os métodos REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

11. Qual o valor mais adequadopara o passo h? Se a função f varia muito com y, então h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a “proposta” de que h  h/2 se K  0,05 h  2h se 0,01  K h não muda se 0,05  K  0,01 Estimativa de erro: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

12. Métodos para eq. dif. de segunda ordem P.V.I. Novamente o problema é obter os valores de yn e yn´ para a seqüência x1 = x0 + h; x2 = x0 + 2h; ... Começamos mais uma vez pelas expansões emsérie de Taylor da função e de sua derivada: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

13. O método mais simples consiste em desprezar os termos em derivadas de ordem y´´´ ou superiores 1o passo: 2o passo: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

14. Runge-Kutta-Nyström Valores iniciais: x0, y0, y0´ passo h Saída REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

15. Equações diferenciais parciais Uma equação é dita quasilinear se for linear nas derivadas mais altas: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

16. (x,y+k) k k hh (x-h,y) (x,y) (x+h,y) (x,y-k) Equações de diferenças para Eq. de Laplace e Poisson Vamos ver o caso mais simples em duas dimensões (x e y): Laplace Poisson REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

17. (x,y+k) k k hh (x-h,y) (x,y) (x+h,y) (x,y-k) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

18. Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h4), temos Juntando as aproximações das derivadas primeiras e segundas, fazendo h=k, obtemos a equação de diferenças correspondente à equação de Poisson: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

19. Para f(x,y) = 0 temos a equação de Laplace. h é chamado de o comprimento da malha (mesh size). • Equações elípticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condições previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns: • Dirichlet: se u é definido na fronteira C • Neumann: se un=u/n (derivada na • direção normal) é definida na fronteira. • Para resolver o problema, é necessário • criar uma malha.: nós da rede ou da malha (Pij) Fronteira C REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

20. Exemplo Uma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas às temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Será escolhido um comprimento h = 4 cm. u=0 u=0 y 12 P02 P12 u=100 u=100 u=100 R P01 P11 P21 P10 P20 x 12 u=100 u=100 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

21. ui,j+1 A equação de transferência de calor é ut = c2(uxx+uyy) Para o regime estacionário ut = 0, a equação se reduz à de Laplace uxx+uyy = 0 Para cada ponto da malha, temos a seguinte equação: ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 -4 ui,j = 0 P11: - 4u11 + u21 + u01 + u12 + u10 = 0 - 4u11 + u21 + 100 + u12 + 100 = 0 - 4u11 + u21 + u12 = - 200 ui-1,j ui,j ui+1,j ui,j-1 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

22. - 4u11 + u21 + u12 = -200 u11 - 4u21 + u22 = -200 u11 - 4u12 + u22 = -100 u21 +u12 - 4u22 = -100 Dando como resultados u11 = u21 = 87,5 (88,1) u12 = u22 = 62,5 (61,9) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos