Lineárne rovnice a sústavy lineárnych rovníc

1. Lineárne rovnice a sústavy lineárnych rovníc Michaela Lepišová, kvarta Gymnázium M. M. Hodžu

2. Jednoduchšie lineárne rovnice a postup ich riešenia: 1. Nájdite koreň rovnice (neznámu x)!!! 3x + 25 = 100 / urobíme ekvivalentnú úpravu, odčítame od oboch strán rovnice 25 a dostane člen s neznámou na jednu stranu rovnice 3x = 75 / urobíme ekvivalentnú úpravu, vydelíme obe strany rovnice 3 a zistíme, čomu sa rovná x x = 25 2. Nájdite koreň rovnice!!! 3x – 5 + 3 = x + 1 – x / 2 2 odstránime zlomky, násobíme obe strany rovnice 2, každého člena 3x – 5 + 6 = x + 1 - 2x / upravíme rovnicu 3x + 1 = - x + 1 / dostaneme na jednu stranu rovnice členy s neznámou, ekv. úprava 4x = 0 / vydelíme 4 x = 0 Lineárne rovnice

3. Zložitejšie lineárne rovnice a postup ich riešenia: 1. Nájdite koreň rovnice!!! 2 (2x + 1)² = 34 + 8 (x+1)(x-1) / upravíme výrazy v zátvorke pomocou vzorca 2 (4x² + 4x +1) = 34 + 8 (x²-1) / vynásobíme členy v zátvorke 8x² + 8x + 2 = 34 + 8x² - 8 / pomocou ekv. úprav riešime rovnicu 8x + 2 = 26 8x = 24 x = 3 2. Nájdite koreň rovnice!!! (y – 3)(y +2) – (y+2)(y–4) = 7 / upravíme rovnicu podľa vzorca y² + 2y – 3y – 6 - y²+4y–2y+8 = 7 pomocou ekv. úprav vyriešime rovnicu y + 2 = 7 y = 5

4. Dosadzovacia metóda: I. x + y = 5 II. 2x – y = 1 I. x = 5 – y (pomocou ekv. úpravy vyjadríme x) II. (tento výraz dosadíme do druhej rovnice) 2 (5 – y) – y = 1 10 – 2y – y = 1 10 – 3y = 1 / - 10 -3y = -9 / : (-3) y = 3 I. (do prvej rovnice dosadíme y=3) x + 3 = 5 / - 3 x = 2 Porovnávacia metóda: I. x + y = 5 II. 2x – y = 1 I. y = 5 – x (vyjadríme si y) II. 2x – y = 1 / - 2x -y = 1 – 2x / *(-1) y = 2x – 1 (vyjadríme si y) Tieto dva výrazy porovnáme, mali by sa rovnať: 5 – x = 2x – 1 6 = 3x / : 3 x = 2 I. (do prvej rovnice dosadíme x=2) 2 + y = 5 y = 3 Sústavy lineárnych rovníc s dvomi neznámymi

5. Sčítacia metóda: I. x + y = 5 II. 2x – y = 1 (postupujeme ako pri sčítaní výrazov bez neznámej) 3x = 6 / : 3 x = 2 I. (do prvej rovnice dosadíme x=2) 2 + y = 5 / - 2 y = 3 I. 2 (a – 3) = -b – 5 II. a – 3 (b – 1) = -7 I. 2a – 6 = -b – 5 II. a – 3b + 3 = -7 (pomocou ekv. úprav dostaneme výrazy s neznámymi na jednu stranu rovnice) I. 2a + b = 1 / *3 II. a – 3b = -10 I. 6a + 3b = 3 (násobíme 3, aby sme mali v oboch rovniciach 3b) II. a – 3b = -10 (postupujeme ako v predošlom príklade) 7a = -7 / : 7 a = -1 I. -2 + b = 1 / + 2 b= 3

6. Slovné úlohy • Lineárne rovnice: V triede je 30 žiakov. Z matematiky nebola na vysvedčení horšia známka ako dvojka. Určite počet žiakov, ktorí mali jednotku z matematiky, ak trieda mala priemer z matematiky 1,4!!! Zápis: Dvojkári: 30 – 18 = 12 dvojkárov Jednotkári: x Dvojkári: 30 – x Rovnica: x + 2(30 – x) = 1,4 / *30 Odpoveď: 30 Jednotku z matematiky mali 18 žiaci x + 60 – 2x = 42 a dvojku mali 12 žiaci. -x = - 18 / *(-1) x = 18 jednotkárov

7. Sústavy lineárnych rovníc: Ak vedenie stavby odošle 1 pracovníka zo staveniska M na stavenisko N, potom bude na oboch staveniskách rovnaký počet pracovníkov.Ak odošle 1 pracovníka zo stanoviska N na stavenisko M, potom bude na stavenisku M dvojnásobný počet pracovníkov oproti stavenisku N.Koľko pracovníkov bolo pôvodne na staveniskách M a N? Zápis: x = 4 + 2 M: x x = 6 pracovníkov N: y Rovnice: Odpoveď: I. x – 1 = y + 1 Na stavenisku M bolo pôvodne II. 2 (y – 1) = x + 1 6 pracovníkov a na stavenisku I. x = y + 2 N boli pôvodne 4 pracovníci. II. 2y – 2 = y + 1 + 1 2y – 2 = y + 2 y = 4 pracovníkov

8. A logická hádanka na záver... • Ak správne hodíš bumerang, tak sa k tebe vráti. Dokážeš však hodiť loptu (čo najsilnejšie), aby sa k tebe vrátila? (do ničoho nenarazila, nebola k ničomu pripevnená, bez pomoci iných ľudí) • Riešenie: Stačí hodiť loptu priamo nad seba. Gravitácia sa postará o zbytok.

9. Ďakujem za pozornosť!!! Veľa šťastia pri riešení matematických úloh!!!