Graphes Conceptuels

1. Graphes Conceptuels J.F. Baget Inria

2. Objectifs • Faire de la représentation de connaissance avec des graphes et des opérations de graphes • RdC: langage formel, syntaxe, sémantique, mécanisme d’inférence • Graphes: syntaxe graphique et mécanismes d’inférences par opérations de graphes (ici homomorphismes)

3. Plan • Prélude • Homomorphismes de graphes • Logiques, théorie des modèles • Graphes Conceptuels: syntaxe • Graphes Conceptuels: sémantique • Graphes Conceptuels: projection

4. Coloration de graphe • K-coloration: associer à chaque sommet une des couleurs {1, ..., K} de façon à ce que tous les voisins aient une couleur différente.

5. Homomorphisme de graphe • Homomorphisme: associer à chaque sommet de H un sommet de G de façon à ce que si x et y sont deux sommets voisins de H, alors leurs images sont voisines dans G. H Exercice: il existe un homomorphisme de H dans G et de G dans H G

6. Coloration et homomorphismes • Propriété: G est K-colorable ssi il existe un homomorphisme de G dans Kn (le graphe complet à n sommets) • D’où le terme de classe de coloration: classe(G) = {H | il existe un homomorphisme de H dans G} Exercice: quelle est la classe des graphes suivants? 

7. Une propriété utile • Propriété: la composition de deux homomorphismes est un homomorphisme. Exercice: preuve

8. Logique (version abstraite) • Logique L = (F, I, M) • F est un ensemble de formules (syntaxe) • I est un ensemble d’interprétations • M  F x I • (f, i)  M se lit « i est un modèle de f » (la formule f est vraie dans le monde i) • f est conséquence sémantique de f’ (f’ ├ f) si tous les modèles de f’ sont des modèles de f. (sémantique)

9. Exercice: voir que rectangle vert ├ rectangle Exemple 1 forme rectangle bleu ovale vert ovale vert ovale bleu rectangle bleu rectangle vert

10. Exemple 2: Logique des propositions • Soit A un ensemble d’atomes • SYNTAXE • a  A est une formule (un atome) • si f et f’ sont deux formules, alors (f et f’), (f ou f’), et (non f) sont des formules. • SEMANTIQUE • Une interprétation est une application de A dans {Vrai, Faux} • (f, i)  M ssi la substitution des atomes a de f par leur interprétation i(a) a pour valeur Vrai

11. Mécanismes d’inférences • Soit L = (F, I, M) une logique • Soit ► une relation sur F x F • La relation ►est dite correcte par rapport à L ssi f ► f’  f ├ f’. • La relation ►est dite complète par rapport à L ssi f ├ f’  f ► f’. Exercice: dessiner le graphe de la relation ► (i.e. ├) pour la logique de l’exemple 1.

12. Preuve de correction et complétude • Pour calculer la conséquence sémantique, on veut être plus efficace que: « pour chaque modèle de f, voir que c’est aussi un modèle de f’ » (en particulier, ce nombre peut être infini) • Donc on exhibe un algorithme pour calculer une relation binaire sur les formules, et on prouve la correction et la complétude de cette relation. • Ici, un schéma de preuve qui sera utilisé pour les graphes conceptuels.

13. Un schéma de preuve • Soit L = (F, I, M) une logique • Soit C un ensemble (ens. de codage), tf: F → C et ti: I → C • Soit ► une relation sur C x C • Soient les trois propriétés suivantes: • (P1) ► est transitive • (P2) (f, i)  M ssi ti(i) ► tf(f) • (P3) qqsoit f  F, il existe un modèle i de f avec tf(f) ► ti(i)

14. Schéma de preuve (suite) • Théorème: si (P1) et (P2) sont vérifiées, alors ► est correct par rapport à L. Si, de plus, (P3) est vérifié, alors ► est complet par rapport à L.

15. Démonstration (correction) • 1) Supposons f, f’ deux formules et tf(f) ► tf(f’) • 2) Si f n’a pas de modèle, alors f ├ f’, sinon soit i un modèle de f. • 3) On a ti(i) ► tf(f) (P2) • 4) Donc ti(i) ► tf(f’) (P1) • 5) Donc i est un modèle de f’ (P2) • 6) Donc f ├ f’ tf(f’) 1) tf(f) 4) 3) ti(i)

16. Démonstration (complétude) • 1) Supposons f, f’ deux formules et f ├ f’ • 2) Tous les modèles de f sont des modèles de f’ • 3) En particulier il existe un modèle i de f avec tf(f) ► ti(i) (P3) • 4) Comme i est aussi un modèle de f’ (2), alors ti(i) ► tf(f’) (P2) • 5) Donc tf(f) ► tf(f’) (P1) tf(f’) 5) tf(f) 4) 3) ti(i)

17. Graphes conceptuels [Sowa,84] • Syntaxe • Sémantique • Mécanisme d’inférence

18. Syntaxe (1): Le support Support S = (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf) • TC, TR1, ..., TRk sont des ensembles partiellement ordonnés, 2 à 2 disjoints • TC est l’ensemble des types de concepts • TRi est l’ensemble des types de relations d’arité i. • M est l’ensemble des marqueurs individuels • conf: M → TC est la relation de conformité.

19. All animal nourriture croquettes chat souris croquettes de souris Exemple de support TR2 TC mange regarde TR3 apporte M = {Mickey} conf(Mickey) = souris

20. Syntaxe (2): Graphe conceptuel • Graphe conceptuel sur un support S, G = (V, H, , ) avec: • V un ensemble de sommets • H un ensemble d’hyperarcs • : H → V+ associe à chaque hyperarc ses extremités •  étiquette chaque sommet par un élément de TC x (M  {*} ) (type et marqueur – individuel ou générique); et chaque hyperarc d’arité k par un élément de TRk. Notons que si un sommet a un marqueur individuel m, alors son type est conf(m).

21. Exemple 2 1 chat: * regarde mange 3 2 1 croquettes: * souris: Mickey 2 apporte 1

22. Sémantique (1): interprétation du support • Soit S = (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf) un support • Une interprétation de S est une structure (D, ic, i1, ..., ik, im) où: • D est un ensemble (le domaine) • im: M → D • ic: TC → 2D • ij: TRj → 2Dj

23. Exemple d’interprétation all animal nourriture croquettes Mickey chat souris im ic croquettes de souris  D

24. Exemple d’interprétation (suite) • i2(regarde) = {( , ), ( , )} • i2(mange) = {( , )} • i3(apporte) = {( , , )}

25. Modèle d’un support • Une interprétation (D, ic, i1, ..., ik, im) est un modèle d’un support (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf) ssi: • t <= t’  i(t)  i(t’) (concepts ou relations) • i(m)  ic(conf(type(m))) Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple est un modèle du support.

26. Modèle d’un graphe conceptuel • Une modèle (D, ic, i1, ..., ik, im) d’un support S est un modèle d’un graphe G = (V, H, , ) ssi il existe : V → D tq: • si v est un sommet individuel de marqueur m, (v) = im(marqueur(v)) • si v est un sommet, (v)  ic(type(v)) • si (h) = (v1, ..., vk), alors ((v1), ..., (vk))  ik(type(h)) Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple est un modèle du graphe conceptuel.

27. Projection • Soient G et H deux graphes conceptuels sur S. Une projection de H dans G est une application : V(H) → V(G) telle que: • etiq((v)) <= etiq(v) (ordre produit sur ordre de TC et * plus générique que marqueurs individuels, eux-même 2 à 2 incomparables) • Pour tout h de H, avec (h) = (v1, ..., vk), il existe h’ dans G avec (h) = ((v1), ..., (vk)) et type(h’) <= type(h) Exercice: voir que c’est bien une généralisation de Homomorphisme de graphe (d’où NP-complétude).

28. Exemple: projection 2 Exercice: trouver une projection de ce graphe dans l’exemple précédent. chat: * regarde 3 1 nourriture: * souris: * 2 apporte 1

29. Forme normale • Un graphe conceptuel est dit sous forme normale si deux sommets individuels distincts ont toujours des marqueurs différents. • Un graphe conceptuel G est mis sous sa forme normale nf(G) en fusionnant les sommets individuels ayant même marqueur.

30. Théorème • H est conséquence sémantique de G si et seulement si il existe une projection de H dans nf(G). • Preuve: on va utiliser le shéma de preuve précédent. • C: graphes et interprétations sont codés par des graphes • ►: homomorphisme

31. Transformations tf et ti • C: ensemble de graphes conceptuels • tf: c’est l’identité • ti: construire le graphe G(i) de la façon suivante • associer à chaque élément d de D un sommet s(d). • Le type d’un sommet s(d) est la conjonction des types t tels que d  ic(t) • Le marqueur d’un sommet s(d) est l’ensemble des marqueurs m tels que im(m) = d. • pour 1 <= j <= K, pour t  TRj, pour chaque (d1, ..., dK)  ij(t), rajouter un hyperarc h avec (h) = (s(d1), ..., s(dK)) et type(h) = t.

32. Exemple: graphe conceptuel d’une interprétation 2 1 chat: * regarde mange 1 regarde 3 2 1 2 croquettes: * souris: Mickey 2 apporte 1