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Graphes Conceptuels

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Graphes Conceptuels. J.F. Baget Inria. Objectifs. Faire de la représentation de connaissance avec des graphes et des opérations de graphes RdC: langage formel, syntaxe, sémantique, mécanisme d’inférence

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Presentation Transcript
graphes conceptuels

Graphes Conceptuels

J.F. Baget Inria

objectifs
Objectifs
  • Faire de la représentation de connaissance avec des graphes et des opérations de graphes
    • RdC: langage formel, syntaxe, sémantique, mécanisme d’inférence
    • Graphes: syntaxe graphique et mécanismes d’inférences par opérations de graphes (ici homomorphismes)
slide3
Plan
  • Prélude
    • Homomorphismes de graphes
    • Logiques, théorie des modèles
  • Graphes Conceptuels: syntaxe
  • Graphes Conceptuels: sémantique
  • Graphes Conceptuels: projection
coloration de graphe
Coloration de graphe
  • K-coloration:

associer à chaque sommet une des couleurs {1, ..., K} de façon à ce que tous les voisins aient une couleur différente.

homomorphisme de graphe
Homomorphisme de graphe
  • Homomorphisme:

associer à chaque sommet de H un sommet de G de façon à ce que si x et y sont deux sommets voisins de H, alors leurs images sont voisines dans G.

H

Exercice: il existe un homomorphisme de H dans G et de G dans H

G

coloration et homomorphismes
Coloration et homomorphismes
  • Propriété: G est K-colorable ssi il existe un homomorphisme de G dans Kn (le graphe complet à n sommets)
  • D’où le terme de classe de coloration: classe(G) = {H | il existe un homomorphisme de H dans G}

Exercice: quelle est la classe des graphes suivants?

une propri t utile
Une propriété utile
  • Propriété: la composition de deux homomorphismes est un homomorphisme.

Exercice: preuve

logique version abstraite
Logique (version abstraite)
  • Logique L = (F, I, M)
    • F est un ensemble de formules (syntaxe)
    • I est un ensemble d’interprétations
    • M  F x I
  • (f, i)  M se lit « i est un modèle de f » (la formule f est vraie dans le monde i)
  • f est conséquence sémantique de f’ (f’ ├ f) si tous les modèles de f’ sont des modèles de f.

(sémantique)

exemple 1

Exercice: voir que

rectangle vert ├ rectangle

Exemple 1

forme

rectangle

bleu

ovale

vert

ovale vert

ovale bleu

rectangle bleu

rectangle vert

exemple 2 logique des propositions
Exemple 2: Logique des propositions
  • Soit A un ensemble d’atomes
  • SYNTAXE
    • a  A est une formule (un atome)
    • si f et f’ sont deux formules, alors (f et f’), (f ou f’), et (non f) sont des formules.
  • SEMANTIQUE
    • Une interprétation est une application de A dans {Vrai, Faux}
    • (f, i)  M ssi la substitution des atomes a de f par leur interprétation i(a) a pour valeur Vrai
m canismes d inf rences
Mécanismes d’inférences
  • Soit L = (F, I, M) une logique
  • Soit ► une relation sur F x F
  • La relation ►est dite correcte par rapport à L ssi f ► f’  f ├ f’.
  • La relation ►est dite complète par rapport à L ssi f ├ f’  f ► f’.

Exercice: dessiner le graphe de la relation ► (i.e. ├) pour la logique de l’exemple 1.

preuve de correction et compl tude
Preuve de correction et complétude
  • Pour calculer la conséquence sémantique, on veut être plus efficace que: « pour chaque modèle de f, voir que c’est aussi un modèle de f’ » (en particulier, ce nombre peut être infini)
  • Donc on exhibe un algorithme pour calculer une relation binaire sur les formules, et on prouve la correction et la complétude de cette relation.
  • Ici, un schéma de preuve qui sera utilisé pour les graphes conceptuels.
un sch ma de preuve
Un schéma de preuve
  • Soit L = (F, I, M) une logique
  • Soit C un ensemble (ens. de codage), tf: F → C et ti: I → C
  • Soit ► une relation sur C x C
  • Soient les trois propriétés suivantes:
    • (P1) ► est transitive
    • (P2) (f, i)  M ssi ti(i) ► tf(f)
    • (P3) qqsoit f  F, il existe un modèle i de f avec tf(f) ► ti(i)
sch ma de preuve suite
Schéma de preuve (suite)
  • Théorème: si (P1) et (P2) sont vérifiées, alors ► est correct par rapport à L. Si, de plus, (P3) est vérifié, alors ► est complet par rapport à L.
d monstration correction
Démonstration (correction)
  • 1) Supposons f, f’ deux formules et tf(f) ► tf(f’)
  • 2) Si f n’a pas de modèle, alors f ├ f’, sinon soit i un modèle de f.
  • 3) On a ti(i) ► tf(f) (P2)
  • 4) Donc ti(i) ► tf(f’) (P1)
  • 5) Donc i est un modèle de f’ (P2)
  • 6) Donc f ├ f’

tf(f’)

1)

tf(f)

4)

3)

ti(i)

d monstration compl tude
Démonstration (complétude)
  • 1) Supposons f, f’ deux formules et f ├ f’
  • 2) Tous les modèles de f sont des modèles de f’
  • 3) En particulier il existe un modèle i de f avec tf(f) ► ti(i) (P3)
  • 4) Comme i est aussi un modèle de f’ (2), alors ti(i) ► tf(f’) (P2)
  • 5) Donc tf(f) ► tf(f’) (P1)

tf(f’)

5)

tf(f)

4)

3)

ti(i)

graphes conceptuels sowa 84
Graphes conceptuels [Sowa,84]
  • Syntaxe
  • Sémantique
  • Mécanisme d’inférence
syntaxe 1 le support
Syntaxe (1): Le support

Support S = (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf)

  • TC, TR1, ..., TRk sont des ensembles partiellement ordonnés, 2 à 2 disjoints
    • TC est l’ensemble des types de concepts
    • TRi est l’ensemble des types de relations d’arité i.
  • M est l’ensemble des marqueurs individuels
  • conf: M → TC est la relation de conformité.
exemple de support

All

animal

nourriture

croquettes

chat

souris

croquettes de souris

Exemple de support

TR2

TC

mange

regarde

TR3

apporte

M = {Mickey}

conf(Mickey) = souris

syntaxe 2 graphe conceptuel
Syntaxe (2): Graphe conceptuel
  • Graphe conceptuel sur un support S, G = (V, H, , ) avec:
    • V un ensemble de sommets
    • H un ensemble d’hyperarcs
    • : H → V+ associe à chaque hyperarc ses extremités
    •  étiquette chaque sommet par un élément de TC x (M  {*} ) (type et marqueur – individuel ou générique); et chaque hyperarc d’arité k par un élément de TRk. Notons que si un sommet a un marqueur individuel m, alors son type est conf(m).
exemple
Exemple

2

1

chat: *

regarde

mange

3

2

1

croquettes: *

souris: Mickey

2

apporte

1

s mantique 1 interpr tation du support
Sémantique (1): interprétation du support
  • Soit S = (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf) un support
  • Une interprétation de S est une structure (D, ic, i1, ..., ik, im) où:
    • D est un ensemble (le domaine)
    • im: M → D
    • ic: TC → 2D
    • ij: TRj → 2Dj
exemple d interpr tation
Exemple d’interprétation

all

animal

nourriture

croquettes

Mickey

chat

souris

im

ic

croquettes de souris

D

exemple d interpr tation suite
Exemple d’interprétation (suite)
  • i2(regarde) = {( , ), ( , )}
  • i2(mange) = {( , )}
  • i3(apporte) = {( , , )}
mod le d un support
Modèle d’un support
  • Une interprétation (D, ic, i1, ..., ik, im) est un modèle d’un support (TC, TR = (TR1, ..., TRk), M, conf) ssi:
    • t <= t’  i(t)  i(t’) (concepts ou relations)
    • i(m)  ic(conf(type(m)))

Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple

est un modèle du support.

mod le d un graphe conceptuel
Modèle d’un graphe conceptuel
  • Une modèle (D, ic, i1, ..., ik, im) d’un support S est un modèle d’un graphe G = (V, H, , ) ssi il existe : V → D tq:
    • si v est un sommet individuel de marqueur m, (v) = im(marqueur(v))
    • si v est un sommet, (v)  ic(type(v))
    • si (h) = (v1, ..., vk), alors ((v1), ..., (vk))  ik(type(h))

Exercice: voir que l’interprétation de l’exemple

est un modèle du graphe conceptuel.

projection
Projection
  • Soient G et H deux graphes conceptuels sur S. Une projection de H dans G est une application : V(H) → V(G) telle que:
    • etiq((v)) <= etiq(v) (ordre produit sur ordre de TC et * plus générique que marqueurs individuels, eux-même 2 à 2 incomparables)
    • Pour tout h de H, avec (h) = (v1, ..., vk), il existe h’ dans G avec (h) = ((v1), ..., (vk)) et type(h’) <= type(h)

Exercice: voir que c’est bien une généralisation de

Homomorphisme de graphe (d’où NP-complétude).

exemple projection
Exemple: projection

2

Exercice: trouver une projection de ce graphe dans l’exemple précédent.

chat: *

regarde

3

1

nourriture: *

souris: *

2

apporte

1

forme normale
Forme normale
  • Un graphe conceptuel est dit sous forme normale si deux sommets individuels distincts ont toujours des marqueurs différents.
  • Un graphe conceptuel G est mis sous sa forme normale nf(G) en fusionnant les sommets individuels ayant même marqueur.
th or me
Théorème
  • H est conséquence sémantique de G si et seulement si il existe une projection de H dans nf(G).
  • Preuve: on va utiliser le shéma de preuve précédent.
    • C: graphes et interprétations sont codés par des graphes
    • ►: homomorphisme
transformations t f et t i
Transformations tf et ti
  • C: ensemble de graphes conceptuels
  • tf: c’est l’identité
  • ti: construire le graphe G(i) de la façon suivante
    • associer à chaque élément d de D un sommet s(d).
      • Le type d’un sommet s(d) est la conjonction des types t tels que d  ic(t)
      • Le marqueur d’un sommet s(d) est l’ensemble des marqueurs m tels que im(m) = d.
    • pour 1 <= j <= K, pour t  TRj, pour chaque (d1, ..., dK)  ij(t), rajouter un hyperarc h avec (h) = (s(d1), ..., s(dK)) et type(h) = t.
exemple graphe conceptuel d une interpr tation
Exemple: graphe conceptuel d’une interprétation

2

1

chat: *

regarde

mange

1

regarde

3

2

1

2

croquettes: *

souris: Mickey

2

apporte

1

ad