Частинні похідні, градієнт і похідна у напрямку

1. Частинні похідні, градієнт і похідна у напрямку Підготували студенти 7 групи Загородній Назарій Олійник Ігор

2. Зміст • 1. Частинні похідні. Приклади вокористання частинних похідних. • 2. Градієнт. Приклад використання градієнта. • 3. Похідна за напрямом. Приклад використання похідної.

3. Частинні похідні • Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя • Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом yвизначають аналогічно. • Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення : fx(x,y); zx; ; fy(x,y); zy; . • Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y). • Варто пригадати, що звичайна похідна f(x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

4. Приклади • 1. Нехай Тоді • 2. Нехай Q=K0.6L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні (Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).

5. Градієнт • Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. • Для скалярного поля градієнт визначається формулою: де i, j, k - орти системи відліку. • Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності

6. Приклад • Градієнт скалярного поля • Градієнт скалярного поля (рос. градиент скалярного поля, англ. gradient of scalar field,нім. Skalarfeld-Gradient m) – вектор, проекціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.

7. Похідна за напрямом • Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом. Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом . припустимо , що функція u(x;y;z) диференційованав точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна записати так: де нескінченно малі функції при . то

8. Перейшовши до границі при ,дістанемо формулу для обчислення похідної за напрямом З формули випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом.

9. Приклад • Знайти похідну функції в точці A(1;2;-1) за напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі. • Знаходимо вектор і його напрямні косинуси: • Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А: • Оскільки , то задана функція в даному напрямі зростає.