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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA. FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO. Capacitancía y dieléctricos.

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Universidad autonoma de colombia

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

SECCION DE FISICA

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

U. AUTONOMA DE COLOMBIA


Capacitanc a y diel ctricos

Capacitancía y dieléctricos

U. AUTONOMA DE COLOMBIA


Unidad iv

4.1 Introducción 4.2 Objetivo general 4.3 Objetivos específicos 4.4 Capacitancía 4.5 Combinación de capacitores 4.6 Energía almacenada en un capacitor cargado 4.7 Densidad de energía en un campo 4.8 Dieléctricos 4.9 Capacitores con dieléctrico 4.10 Una descripción atómica de los dieléctricos 4.11 Dipolo eléctrico en un campo eléctrico 4.12 Auto- evaluación 4.13 Solucionarlo

Unidad IV

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4 1 introducci n

En electrostática, todo conductor se caracteriza por un potencial eléctrico constante en todos sus puntos y dentro de el. La diferencia de potencial entre dos conductores cargados pueden acelerar cargas de prueba, y es por eso que el sistema almacena energía. Un capacitor es un dispositivo de este tipo; almacena energía por que almacena carga.

En este capitulo, estudiaremos como afecta a los capacitores la geometría y los materiales dieléctricos. También vamos a describir la estructura microscópica de los dieléctricos y con ello ampliaremos el conocimiento fundamental del comportamiento de la materia.

4.1 Introducción

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4 2 objetivo general

Dotar al estudiante de los fundamentos teóricos necesarios para poder aplicar y utilizar la energía almacenada en un campo electroestático, así como de herramientas para calcular capacitancias de diferente geometría y para obtener la capacitancia neta de sistemas de capacitores serie y paralelo.

Dimensionar la importancia del efecto de un dieléctrico sobre la capacitancia, la carga, la diferencia de potencial y la intensidad del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas.

4.2 Objetivo general

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4 3 objetivos espec ficos

Estar en capacidad de interpretar la influencia que tiene un dieléctrico (material no conductor) dentro del capacitor en variables como: la intensidad del campo eléctrico, la capacitancia, la carga y la diferencia de potencial.

Proyectar la aplicabilidad temática al estudio de una lámpara de destello, de un sintonizador de frecuencia de radio, de filtros para suministro de energía eléctrica o en circuitos electrónicos en donde los voltajes y corrientes varían con el tiempo.

4.3 Objetivos específicos

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4 4 capacitancia

-

+

Un capacitor se compone de dos conductores aislados eléctricamente uno del otro y de sus alrededores. Una vez que el capacitor se carga, los dos conductores adquieren cargas iguales pero de signo contrario, es decir, existe un desequilibrio de carga, por tanto, hay una diferencia de potencial y un campo eléctrico entre los conductores.

4.4 Capacitancia

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Se comprueba experimentalmente que la diferencia de potencial es directamente proporcional a la carga en el capacitor V a Q entonces: C = V / Q

FARADIO = VOLTIO / COULOMB.

La capacitancia C del capacitor depende del arreglo geométrico de los conductores, la capacitancia de un dispositivo es la capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica.

Carga de un capacitor

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Ejemplo 4 1

Cuando en un capacitor inicialmente descargado se transfieren 1*1012 electrones de una placa a la otra, la diferencia de potencial es de 20 voltios. ¿cuál es su capacitancia?

Ejemplo 4.1

Como la carga esta cuantizada: Qt = N*e, donde N es el numero de electrones y e la carga del electrón 1.6*10-19C, entonces:Qt = 160*10-9 C. Como Q = V*C \ C = Qt / V = 8 nC

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Ejemplo 4 2 capacitanc a de una esfera aislada de radio r

r

Consta de un conductor esférico aislado de radio r y carga Q. (el segundo conductor puede considerarse como una esfera conductora concéntrica de radio infinito)

Ejemplo 4.2 Capacitancía de una esfera aislada de radio R

Q+

C = r / K = r (4* p*eo)

La capacitancia C = Q / V la diferencia de potencial V = KQ / r

Entonces, C = Q / ( KQ / r)

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Ejemplo 4 3 capacitancia de un capacitor de placas paralelas

-

-

-

+

+

+

E

d

Consta de dos placas (rectangulares, circulares, etc.) planas y paralelas separadas una distancia d y un campo eléctrico uniforme entre ellas

Ejemplo 4.3 Capacitancia de un capacitor de placas paralelas

C = eo A / d

La capacitancia C del capacitor, la diferencia de potencial V y el campo eléctrico entre las placas es: C = Q / V V = E * d E = s / eo\ V = (s / eo)*d V = (Q/A)*d / eo C = Q / ((Qd) /(A eo))

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Ejemplo 4 4 capacitanc a de un capacitor cil ndrico

b

-Q

r

a

+Q

^

Er = l / (2pe0 r)

r

b

b

b

Vb- Va =-ò Erdr = -ò l/(2peo r) dr

Vb- Va =-l/(2peo) ò r dr

a

a

a

b

b

Vb- Va =-ò E· dl = -òEr ·dr

a

a

Vb – Va = - l / (2pe0)Ln r

b

a

Un capacitor cilíndrico consiste en un conductor central de radio a, con una densidad lineal de carga +l una longitud l

Ejemplo 4.4 Capacitancía de un capacitor cilíndrico

La capacitancia es: C = Q / V, y la diferencia de potencial V entre el cilindro de radio a y el cilindro de radio b se define como:

Para una superficie cilíndrica de radio a < r < b el campo eléctrico es radial hacia fuera

C = Q / V = Q / {l / (2 p e0)} Ln (b /a) C = Q / V = Q / {(Q/l)/ (2 p e0)} Ln (b /a)

El segundo conductor es un cascaron cilíndrico de radio b > a y densidad lineal de carga –l

C = 2pe0 l / Ln (b /a)

Vb – Va = -l / (2pe0) Ln(b/a) = V

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Ejemplo 4 5 capacitancia de un capacitor esf rico

a

a

-Q

b

b

^

r

r

+Q

b

b

Vb- Va =-ò Erdr = -ò (KQ / r2)dr

Er = KQ / r2

a

a

b

b

Vb- Va =-ò E· dl = -òEr ·dr

a

a

b

b

Vb – Va = KQ (1/r) = kQ (1/b – 1/a)

Vb – Va = -KQ ò (dr/r2)

a

a

Consta de un cascaron conductor esférico de radio b y carga -Q

Ejemplo 4.5 Capacitancia de un capacitor esférico

y una esfera concéntrica conductora de radio a < b y

carga +Q

C = a*b / (K (b – a))

Para la superficie de radio a < r < b el campo eléctrico es radial hacia fuera

Para calcular el campo eléctrico a una distancia r talque a < r < b se construye una superficie esférica de radio r

La Capacitancía es C = Q / V, la diferencia de potencial V entre la esfera de radio a y la esfera de radio b se define como:

Por tanto C = Q / V = Q / {KQ (b – a) / (a*b)}

Como Va> Vb Þ Va – Vb = KQ (1/a – 1/b)

Va – Vb = KQ(b - a) / (a * b)

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Ejemplo 4 6

Si se considerara la tierra como un inmenso capacitor ¿cuál sería su capacitancia considerándola como una esfera conductora aislada de radio r = 6.37*10*106 m.

Ejemplo 4.6

C = r (4*p*eo) = 707 mF

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Ejemplo 4 7

+

+

+

+

-

-

-

-

d

Se tiene un capacitor de placas paralelas separadas una distancia de 2 cm. Si la placas son discos y la capacitancia es de 72*10-12 F = 72 PF ¿cuál es el radio de las placas?

Ejemplo 4.7

C = eo A / d, entonces. A = Cd / eo como A = pr2 = Cd / eo\r =Ö(Cd / (eop)) r =0.228 m = 22.77 cm

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Ejemplo 4 8

b

-

a

l

¿cuál es la capacitancia por unidad de longitud de un capacitor cilíndrico de radio a = 5 cm y radio b = 10 cm?

Ejemplo 4.8

C = 2pe0 l / Ln(b /a), entonces, C / l = 2 p e0 / Ln (b /a) C = 7.52 PF/m

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Ejemplo 4 9

a

b

-Q

+Q

¿cuál es la capacitancia de un capacitor esférico de radio a de 5 cm y radio b de 10 cm?

Ejemplo 4.9

C = a * b / (K(b – a)) = 11.11 PF C = 11.11*10-12 F

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4 5 combinaci n de capacitores

+

+

+

-

-

-

Se tiene una batería, unos conductores, un capacitor de placas paralelas C descargado y un interruptor.

Carga en un capacitor

4.5 Combinación de capacitores

Cuando el interruptor se cierra cada placa adquiere la misma cantidad de carga Q pero de signo contrario, y una diferencia de potencial V.

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+

+

+

-

-

-

+

+

+

-

-

-

Capacitores en serie

Se tienen dos capacitores en serie C1 y C2, inicialmente descargados, una batería, un interruptor y unos conductores.

Los dos capacitores conectados en serie tiene cargas iguales de signos opuestos.

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+

+

+

-

-

-

+

+

+

-

-

-

Esto hace que el sistema se comporte como si fuera un solo capacitor.

entoncesV–V1 – V2 = 0 como C = Q / V reemplazando Q/C – Q1/C1 – Q2/C2 =0.Lacarga en cada capacitor es la misma \ 1/C = 1/C1 + 1/C2

Para un circuito cerrado la suma de los potenciales es igual a ceroSV = 0

las placas exteriores inducen la misma cantidad de carga de signo contrario a las placas interiores.

Cuando se cierra el interruptor las placas de los extremos obtienen idéntica cantidad de carga pero de signo contrario, positiva a la izquierda y negativa a la derecha.

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n

1/Ce = å1/Ci

i = 1

Conclusiones

Para un circuito con capacitores en serie el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los inversos de cada uno de ellos 1/Ce = 1/C1 + 1/C2 + ................. + 1/Ci +............... + 1/Cn

Para cada capacitor conectado en serie la carga es la misma Q1 = Q2 =............... = Qi =.................. = Qn.

Para un circuito de capacitores conectados en serie el voltaje de entrada es igual a la suma de los voltajes individuales V = V1 – V2 –........... – Vi –...................... – Vn

la capacitancia equivalente es el reciproco de la ecuación anterior,

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Ejemplo 4 10

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

C1

C2

C3

Se tienen tres capacitores conectados en serie con una batería de 100 V. Si C1 = 30mF, C2 = 40mF, C3 = 24mF. ¿cuál es la capacitancia equivalente y cual es el voltaje en cada capacitor?

Ejemplo 4.10

1 / Ce = 1/ C1 + 1/ C2 + 1/ C3 ; 1 / Ce =1 / (10mF). entonces, Ce = 10mF y Qe = V*Ce = 1000 mC = 1*10-3 C

Como la carga es la misma para capacitores en serie, y Q = V* C, entonces, V1 = Q / C1 = 33.33 V V2 = Q / C2 = 25.00 V V3 = Q / C3 = 41.64 V

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-

-

-

+

+

+

e

e

f

f

-

-

+

+

d

d

c

c

b

b

a

a

Capacitores en paralelo

Se tienen dos capacitores conectados en paralelo C1 y C2, inicialmente descargados, una batería, un interruptor y unos conductores.

La carga total Qt = SQi = Q1 + Q2

Q = C*V

V*Ce=V1*C1+V2*C2

V = V1 = V2 C e = C1 + C2

Cuando se cierra el interruptor los capacitores C1 y C2 conectados en paralelo tienen el mismo potencial ya que la línea ace es una equipotencial y la línea bdf hace otra equipotencial.

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Conclusiones

Para un circuito de capacitores en paralelo la carga total es igual es igual a la suma de las cargas individuales Qt = SQi = Q1 + Q2 + Q3 + ........... + Qi + ............... + Qn

Para un circuito de capacitores en paralelo la capacitancia equivalente es igual a la suma de las capacitancias individuales Ce = SCi = C1 + C2 + C3 +.................. + Ci +.........+ Cn

Para un circuito de capacitores en paralelo el voltaje es igual para cada capacitor V1 = V2 = V3 = ....................... = Vi = ...................... = Vn

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Ejemplo 4 11

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-

+

+

+

+

+

+

C1

C2

C3

Se tienen tres capacitores conectados en paralelo con una batería de 100 V .Si C1 = 1mF, C2 = 2mF, C3 = 3mF.¿cuál es la capacitancia equivalente y cual es la carga en cada capacitor?.

Ejemplo 4.11

La capacitancia equivalente es: Ce = C1 + C2 + C3 = 6mF \ Qt = VCe = 600 mC como el voltaje es el mismo en cada capacitor, y Q = VC, entonces, Q1 = VC1 = 100 mC Q2 = VC2 = 200 mC Q3 = VC3 = 300 mC

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Ejemplo 4 12

+

+

+

-

-

-

C1

C1

+

+

-

-

C3

C3

C2

C2

-

+

V

V

Se tiene un capacitor C1 = 1mF, en paralelo con un capacitor C2 = 2 mF, y un capacitor C3 = 6 mF en serie con los dos anteriores, conectados a una fuente de 24 Voltios ¿cuál es la carga y el voltaje en cada capacitor?

Como C1 y C2 están en paralelo la Capacitancía equivalente C4 = C1 + C2 C4 = 3 mF

Ejemplo 4.12

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+

+

+

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-

-

+

+

+

-

-

-

C3

C4

V

los capacitores C4 y C3 están en serie la capacitancia equivalente es 1/C5=1/C4+1/C3 1/C5 = 1/(3mF) + 1/(6mF) entonces, C5 = 2 mF

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+

+

+

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-

C5

V

La carga Q5 = V * C5 = 24V * 2mF = 48 mC

teniendo la carga y la capacitancia equivalente, nos regresamos encontrando los voltajes y las cargas en cada capacitor

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+

+

+

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+

+

+

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-

-

C3

C4

V

Como la carga de capacitores en serie es la misma Q5 = Q4 = Q3 = 48 mC \ V4 = Q4 / C4 = 48mC / 3 mF = 16 voltios V3 = Q3 / C3 = 48mC / 6 mF = 8 voltios

En un circuito cerrado la suma de los potenciales es igual a cero SV = 0 entonces 24 V – 16 V – 8 V = 0

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+

+

+

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C1

+

+

-

-

C3

C2

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+

V

V1 = V2 = V4 = 16 voltios

V3 = 8 voltios

Q1 = V1 * C1 = 16 mC Q2 = V2 * C2 = 32 mC Qt = Q1 + Q2 = 48 mC

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+

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+

1 mF

16 V

16 mC

3 mF

8 V

48 mC

2 mF

16 V

32 mC

24 V

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4 6 energ a almacenada en un capacitor cargado

-

+

50 VOLTIOS

4.6 Energía almacenada en un capacitor cargado

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Un capacitor se carga tomando una carga positiva dq, de un conductor y pasándolo al otro conductor. El primer conductor tiene una carga +dq y el segundo una carga –dq.

Una partícula positiva que se mueve en dirección contraria al campo eléctrico realiza un trabajo DW = DU

Entre los dos conductores de un capacitor cargado hay un campo eléctrico, y ese campo puede acelerar una carga de prueba. Así, un capacitor cargado es capaz de realizar trabajo, y debe contener energía.

Al continuar moviendo cargas adicionales dqi, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de mas carga y tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional.

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50 VOLTIOS

Q

(q / C)dq =½ Q2 / C

ò

ò

W

dW

=

=

0

-

+

En cualquier instante la diferencia de potencial V = q / C entonces dW = Vdq = q / C dq

El trabajo total efectuado cuando iniciamos con cero cargas y terminamos con las cargas ± Q

La energía de un capacitor cargado esU = ½ Q2 / C = ½ C V2 = ½ Q V

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Ejemplo 4 13

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

C1

C2

C3

Se tienen tres capacitores conectados en serie con una batería de 100 V. Si C1 = 30mF, C2 = 40mF, C3 = 24mF. ¿cuál es la energía en cada capacitor y cual es la energía de todo el sistema?.

Ejemplo 4.13

1 / Ce = 1/ C1 + 1/ C2 + 1/ C3 ; 1 / Ce =1 / (10mF). entonces, Ce = 10mF y Qe = V * Ce = 1000 mC Ut = ½ Qe V = 50 mJ U1 = ½ Q12/C1 = 16.66 mJ U2 = ½ Q22/C2 = 12.5 mJ U3 = ½ Q32/C3 = 20.83 mJ Ut = U1 + U2 + U3 = 50 mJ

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Ejemplo 4 14

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

C1

C2

C3

Se tienen tres capacitores conectados en paralelo con una batería de 100 V .Si C1 = 1mF, C2 = 2mF, C3 = 3mF.¿cuál es la energía total y cual es la energía en cada capacitor?.

Ejemplo 4.14

La capacitancia equivalente es: Ce = C1+C2+C3 = 6mF \ Qt = VCe = 600 mC

Ut = ½ Qe V = 30*10-3 J U1 = ½ C1 V2 = 5*10-3 J U2 = ½ C2 V2 = 10*10-3 J U3 = ½ C3 V2 =15*10-3 J Ut = U1 + U2 + U3 = 30 mJ

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Ejemplo 4 15

a

b

e

C2

C1

Se cierra el interruptor

Considérese el circuito de la figura donde C1 = 2 mF. C2 = 4 mF y e = 24 voltios. El capacitor C1 se carga primero llevando el interruptor a a, el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado C2 pasando el interruptor a b.

Ejemplo 4.15

Calcule a) la carga inicial del capacitor C1 y su energía inicial, b) la carga final de cada capacitor, la energía final y el voltaje en cada capacitor. c) la variación de la energía.

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a

b

e

C2

C1

La carga Qt cuando se lleva el interruptor a a Qt = C1 * V = 2 mF * 24 V = 48 mC y su energía Ui = ½ Qt2 / C1 = 576 mJ

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a

b

e

C2

C1

Cuando el interruptor se lleva de a, a b, la carga Qt se redistribuye con el capacitor dos, el capacitor uno cede una carga Q al capacitor dos. La nueva carga de C1 y C2 es: Q1 = Qt – Q y de C2 es Q = Q2.

La energía de C1 es : U1 = ½ Q12 / C1 = 64 mJ La energía de C2 es : U2 = ½ Q22/ C2 = 128 mJ La energía total Uf = U1 + U2 = 192 mJ

DU = Ui - Uf= 576 mJ - 192 mJ = 384 mJ Esta energía se transformo en calor o en forma de ondas electromagnéticas

Como el voltaje en paralelo es el mismo; V1 = V2 ; V1 = (Qt – Q) / C1 ; V2 = Q / C2 entonces, (Qt – Q1)/C1 = Q/C2\ Q=Qt * C2 / (C1+C2) = 32 mC = Q2; Q1=Qt – Q=16 mC; V1= Q1/C1 = 8V.; V2 =Q2/C2 = 8 V

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4 7 densidad de energ a en un campo el ctrico

La capacitanciade un capacitor C de placas paralelas, la diferencia de potencial entre las placas de un capacitor y la energía de un capacitor cargado es: es:

C = eo A / d ; V = E d ; U = ½ C V2 ; U = ½(eoA/d ) (E d )2 = ½ eo (A*d) E2

Como el volumen v = A*d, entonces, La densidad de energía o la energía por unidad de volumen es : UE=U/ v = ½ eo E2

4.7 Densidad de energía en un campo eléctrico

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Ejemplo 4 16

En un capacitor de placas paralelas las placas tienen un área de 40 cm2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico.

Ejemplo 4.16

A = 40*10-4 m2; d = 2.5*10-3 m a) La capacitancia; C = eo A / d = 14.15 PF C= 14.15*10-12 F b) La energía almacenada; U= ½V2C = 8.15 nJU = 8.15*10-9 J

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En un capacitor de placas paralelas las placas tienen un área de 40 cm2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico.

A = 40*10-4 m2; d = 2.5*10-3 m c) El campo eléctrico; V = Ed \E=V/d = 9600 V/m d) La energía en la unidad de volumen (densidad de energía); UE = ½ eo E2 = 407.4 mJ

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4 8 diel ctricos

Un dieléctrico es un material no conductor, como el caucho el vidrio o el papel encerado , etc. Cuando un material se inserta entre las placas de un capacitor aumenta la capacitancia, Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en un factor k adimensional, conocido como constante dieléctrica.

4.8 Dieléctricos

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4 9 capacitores con diel ctrico

e

0.0 VOLTIOS

4.9 Capacitores con dieléctrico

Supongamos que tenemos una batería, un voltímetro, unos cables de conexión y un capacitor descargado de placas paralelas separadas una distancia d y de área A

Cerramos el interruptor

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-

-

-

+

+

+

e

150 VOLTIOS

Cargado el capacitor genera un campo eléctrico (Eo) y una diferencia de potencial (Vo). La capacitancia inicial Co = (e0*A / d). Las placas adquieren cargas iguales (Qo) pero de diferente signo, entonces, Qo = Vo * Co ; Vo = Eo * d

Abrimos el interruptor

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+

+

+

e

150 VOLTIOS

100 VOLTIOS

Conclusiones El voltaje Vo se hace k veces menor con dieléctrico Vo / k = V La capacitancia Co se hace k veces mayor con dieléctrico C = Co k = k (e0*A / d) El campo eléctrico Eo es k veces menor con dieléctrico Eo / k = E

Como : 1) Qo = Vo * Co ; 2) Vo = Eo * d

3) Qo = V * C ; 4) V = E * d

Dividiendo 1 y 3; Vo * Co = V * C 2 y 4; Vo /V = Eo / E por tanto Vo / V = C / Co = Eo / E = k

donde k es la constante dieléctrica

Cuidadosamente insertamos en el capacitor un dieléctrico sin que haya fuga de cargas, el capacitor tendrá la misma carga Qo, una diferencia de potencial V, un campo eléctrico E Qo = V * C ; V = E * d.

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Ejemplo 4 17

A

d

k2

k1

Suponga que tenemos un capacitor de placas paralelas de área A y separadas una distancia d, se introduce dentro del capacitor dos dieléctricos en serie de constante dieléctrica k1 y k2. Cada unotiene área A y ocupa la mitad de la distancia entre las placas. a) Cual es la nueva capacitancia del capacitor. b) si la separación entre las placas es 2 cm, el área de las placas de 10 cm2, un dieléctrico es vidrio pyrex de constante dieléctrica k1 =5.6, el otro dieléctrico es teflón de constante dieléctrica k2 = 2.1 y cual es la capacitancia del capacitor

Ejemplo 4.17

La capacitancia equivalente en serie es: Ce = C1* C2 / (C1+C2) C1 = k1 (e0*A) / d/2 ; C2 = k2 (e0*A) / d/2 Ce = {k1e0A / d/2 * k2e0A/d/2} / {k1e0A/d/2 + k2e0A/d/2} Ce = (2e0A/ d)*(k2 k1/ k2+ k1)) = 1.35 PF

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Ejemplo 4 18

A

d

k1

k2

Suponga que tenemos un capacitor de placas paralelas separadas una distancia d y de área A, se introduce dentro del capacitor dos dieléctricos en paralelo de constante dieléctrica k1 y k2. Cada uno ocupa la distancia d y la mitad del área. a) Cual es la nueva capacitancia del capacitor. b) Si la separación entre las placas es 2 cm, el área de las placas de 10 cm2, el primer dieléctrico es vidrio pyrex de constante dieléctrica k1 = 5.6, el segundo dieléctrico es teflón de constante dieléctrica k2 = 2.1. ¿cuál es la capacitancia del capacitor?.

Ejemplo 4.18

La Capacitancía equivalente en paralelo es: Ce = C1 + C2 C1 = k1 (e0*A/2) / d ; C2 = k2 (e0*A/2) / d Ce = k1e0* (A/2) / d + k2e0* (A/2) / d Ce = (e0*A / (2d) * (k1 + k2) = 1.70 PF

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4 10 una descripci n at mica de los diel ctricos

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+ -

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e

Supongamos que tenemos una batería, un interruptor, unos cables de conexión, un capacitor de placas paralelas y un dieléctrico.

4.10 Una descripción atómica de los dieléctricos

En un dieléctrico los dipolos se orientan aleatoriamente en ausencia de un campo eléctrico. Si las moléculas del dipolo poseen momento del dipolo eléctrico permanente en ausencia de un campo eléctrico se denominan moléculas polares (el agua).

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Ei

Eo

e

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La diferencia de potencial Vo y el campo eléctrico externo Eo se reducen un factor k veces cuando se introduce un dieléctrico en el capacitor Vo / k = V y Eo / k = E. Esta relación puede comprenderse advirtiendo que es posible que un dieléctrico este polarizado.

Cuando se aplica un campo eléctrico externo Eo se ejerce un momento de torsión sobre los dipolos, lo que origina que estos queden parcialmente alineados con el campo. El grado de alineamiento aumenta con la reducción de la temperatura y con el aumento de la intensidad del campo eléctrico.

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Ei

Eo

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Si las moléculas del dipolo eléctrico no poseen un momento del dipolo permanente un campo eléctrico externo Eo produce cierta separación de carga y un momento de dipolo inducido.

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Ei

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Los dipolos alineados parcialmente producen un campo eléctrico interno Eique se opone al campo externo Eo causando una reducción en el campo eléctrico neto

E = Eo - Ei

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Ei

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e

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El campo eléctrico externo Eo en el capacitor esta dirigido hacia la derecha y ejerce fuerzas sobre las moléculas del material dieléctrico, bajo la influencia de estas fuerzas, los electrones en el dieléctrico se mueven desde sus posiciones de equilibrio hacia la izquierda.

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Ei

Eo

e

+

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+

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Por tanto el campo eléctrico aplicado polariza el dieléctrico.

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s

- si

si

- s

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Ei

Eo

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+

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-

El campo eléctrico externo Eo y el campo eléctrico inducido Ei se relacionan con la densidad superficial de carga como, Eo = s / e0 yEi = si/ e0.puesto que el campo E con dieléctrico es E = Eo / k,

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s

- si

si

- s

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Ei

Eo

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+

-

entonces, el campo neto,E = Eo – Ei ; (Eo/k) = Eo – Ei, por tanto, Ei = Eo (1 – 1/k) si/ e0 = s / e0 (1 - 1/k) la densidad superficial de carga inducida es si = s(1 - 1/k)

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Ejemplo 4 19

El área de unas placas paralelas es de 1000 cm2 y tienen una separación de 2 cm. La diferencia de potencial inicial entre ellas sin dieléctrico es Vo = 2000 voltios y disminuye hasta V = 500 voltios cuando se inserta una lamina de dieléctrico entre las mismas. Encuentre:

Ejemplo 4.19

A = 0.1 m2, d = 2*10-2 m. Vo = 2000 V, V = 500 V, a) La capacitancia inicial: Co = (e0*A / d) = 44.21*10-12 F b) La carga Q de cada placa: Qo = Q = CoVo= 88.42*10-9 C c) La capacitancia: C después de insertar el dieléctrico: C = Q / V = 176.84*10-12 F d) La constante dieléctrica: k = C / Co = Vo / V = 4

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El área de unas placas paralelas es de 1000 cm2 y tienen una separación de 2 cm. La diferencia de potencial inicial entre ellas sin dieléctrico es Vo = 2000 voltios y disminuye hasta V = 500 voltios cuando se inserta una lamina de dieléctrico entre las mismas. Encuentre:

e) la permisividad: e = ke0 = 35.37*10-12 C2/(Nm2) f) la carga inducida en cada cara del dieléctrico: Como si = s(1 - 1/k) , pero, si = Qi/A y s= Q/A, entonces, Qi/A = Q/A(1 -1/k), cancelando, Qi = Q(1 -1/k)= 66.32*10-9 C g) El campo eléctrico sin dieléctrico Eo y con dieléctrico E Eo = Vo / d = 1*105 V/m y E = V/d = 25000 V/m

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4 11 dipolo el ctrico en un campo el ctrico

+

P

2a

-

Un dipolo eléctrico consta de dos cargas iguales y opuestas separadas una distancia 2a

4.11 Dipolo eléctrico en un campo eléctrico

Se define el momento del dipolo eléctrico de esta configuración como el vector P que esta dirigido de –Q a +Q a lo largo de la línea que une las cargas, y cuya magnitud es 2aQ (P = 2aQ)

Supongamos que se coloca el dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme

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F+

b

F-

b

+

a

a

t = P E

a

E

a

-

El momento de torsión (t) debido a una de las fuerza sobre la carga t= F b^, donde b (b = a sena) es el brazo de palanca de la fuerza, esta fuerza tiende a producir una rotación en la dirección de las manecillas del reloj.

El momento de torsión neto tn = tF+ + tF- = 2 F b^= 2 F (a Sena) = 2 E Q a Senatn = (2aQ) E Sena = P E Sena Es conveniente expresar el momento de torsión en forma vectorial como el producto cruz de P y E

el momento del dipolo forma un ángulo a con el campo.

Las fuerzas sobre las dos cargas son de igual magnitud (F = Q E) y de sentidos contrarios, por tanto, la fuerza neta sobre el dipolo es cero, las dos fuerzas producen un momento de torsión (t) sobre el dipolo y este tiende a girar de modo tal que su eje se alinea con el campo

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Como la fuerza electrostática es conservativa el trabajo realizado por el campo eléctrico al girar el dipolo un ángulo q.

W = òt · dq = ò PE Senq dq = PE ò Senq dq : q varia entre q y q0, entonces, W = PE (Cosq – Cosq0 )

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Puesto que el trabajo realizado por el agente que produce el campo externo es;

W = -DU = -{U(q) -U(q0)} = - PE (Cosq – Cosq0) Si U(q0) = 0 , entonces U = -PE Cosq = -P· E

Así la energía U es mínima cuando cuando P i E son paralelos.

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Ejemplo 4 20

Un dipolo eléctrico, que consta de dos cargas de 2 nC de diferente signo están separadas 10 mm dentro de un campo eléctrico uniforme de 1000 N/C. a) ¿cuál es la magnitud del momento dipolar eléctrico?. b) ¿cuál es la diferencia de energía potencial correspondiente a las orientaciones paralela y antiparalela del campo’.

Ejemplo 4.20

a) P = Qd = 2*10-9 C * 10 *10-3 m = 2 *10-11 C-m b) W = -DU = -{U(q) -U(q0)} = - PE (Cosq – Cosq0) W = -DU = - PE (Cos0 – Cos 180) -DU = -4 *10-8 J

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Michael faraday

  • Michael Faraday (1791-1867) físico y químico británico, hijo de un herrero, recibió poca formación académica y es conocido principalmente por sus descubrimientos de la inducción electromagnética, de las leyes de la electrólisis, también demostró que en un recinto metálico (caja o jaula de Faraday) forma una pantalla eléctrica

  • Mientras trabajaba de aprendiz con un encuadernador de Londres, leyó libros de temas científicos y realizó experimentos en el campo de la electricidad. En 1812 asistió a una serie de conferencias impartidas por el químico Humphry Davy y envió a éste las notas que tomó en esas conferencias junto con una petición de empleo. Davy le contrató como ayudante en su laboratorio químico de la Institución Real y en 1813 le llevó con él a un largo viaje por Europa.

En 1833 sucedió a Davy como profesor de química en esta Institución. Dos años más tarde le fue concedida una pensión vitalicia de 300 libras anuales. Faraday recibió numerosos galardones científicos.

Realizó sus primeras investigaciones en el campo de la química bajo la dirección de Davy. Un estudio sobre el cloro le llevó al descubrimiento de dos nuevos cloruros de carbono. También descubrió el benceno. Faraday investigó nuevas variedades de vidrio óptico y llevó a cabo con éxito una serie de experimentos de licuefacción de gases comunes.

Sin embargo, las investigaciones que convirtieron a Faraday en el primer científico experimental de su época las realizó en los campos de la electricidad y el magnetismo.

Sus experimentos en magnetismo le llevaron a dos descubrimientos de gran importancia. Uno fue la existencia del diamagnetismo y el otro fue comprobar que un campo magnético tiene fuerza para girar el plano de luz polarizada que pasa a través de ciertos tipos de cristal

Faraday entró en la Sociedad Real en 1824 y al año siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Institución Real. Además de muchos artículos para publicaciones especializadas, Faraday escribió Manipulación química (1827), Investigaciones experimentales en electricidad (1844-1855) e Investigaciones experimentales en física y química (1859). Murió el 25 de agosto de 1867, cerca de Hampton Court (Surrey).

En 1821 trazó el campo magnético alrededor de un conductor por el que circula una corriente eléctrica (la existencia del campo magnético había sido observada por vez primera por el físico danés Hans Christian Oersted en 1819).

En 1831 Faraday descubrió la inducción electromagnética, y el mismo año demostró la inducción de una corriente eléctrica por otra. Durante este mismo periodo investigó los fenómenos de la electrólisis y descubrió dos leyes fundamentales: que la masa de una sustancia depositada por una corriente eléctrica en una electrólisis es proporcional a la cantidad de electricidad que pasa por el electrolito, y que las cantidades de sustancias electrolíticas depositadas por la acción de una misma cantidad de electricidad son proporcionales a las masas equivalentes de las sustancias.

Michael Faraday

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4 12 auto evaluaci n

4.12 Auto- evaluación

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Ejercicio 4 1

En un capacitor de placas cuadradas y paralelas, las placas están separadas una distancia de 0.8 mm; cada placa tiene una carga 60 nC de diferente signo y entre ellas hay un campo eléctrico de 3*104 V/m. Encuentre a) la diferencia de potencial; b) la capacitancia; c) el área de las placas; d) ¿cuál es el lado de la placa.?

Ejercicio 4.1

R) a) V = 24 V b) Q = 2.5 nF c) A = 2261.95 cm2d) L = 47.6 cm

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Ejercicio 4 2

Un cable coaxial recto y largo tiene un alambre interior de radio a = 1 mm y una cubierta exterior de radio b, Cuando se aplica una diferencia de potencial de 27 voltios, la densidad de carga (l) sobre el alambre interior es de 4 nC/m2. ¿cuánto vale el radio exterior)

Ejercicio 4.2

R) b = 1.45 mm

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Ejercicio 4 3

Una batería de 12 V se conecta entre dos esferas concéntricas de un capacitor esférico. Los radios de las esferas son de 15 y 20 cm ¿cuál es la carga sobre cada una de ellas?

Ejercicio 4.3

R) Q = 800 *10-12 F

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Ejercicio 4 4

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+

16.67V 16.67mC

1mF

1mF

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100mC 50V

100mC 25V

100mC 8.33V

4mF

4mF

12mF

12mF

2mF

2mF

2mF

2mF

16.67V 33.34mC

-

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+

+

+

3mF

3mF

100 V

100 V

16.67V 50.01mC

Repuesta

Se tienen seis capacitores y una batería de 100 V como aparece en la figura. Encuentre la carga y la diferencia de potencial en cada capacitor

Ejercicio 4.4

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Ejercicio 4 5

Un capacitor C1 = 4 mF se conecta a una batería de 20 V. La batería se desconecta, un capacitor C2 de 6 mF se coloca de tal forma que las placas del mismo signo se unan ¿cuál es la diferencia de potencial final en cada capacitor?

Ejercicio 4.5

R) V1f = 8 V y V2f = 8 V

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Ejercicio 4 6

Dos capacitores C1 de 3 mF y C2 de 6 m F están conectados en serie con una batería de 30 voltios. La batería se desconecta y las placas del mismo signo se unen. a) Encuentre la diferencia de potencial en cada capacitor antes y después que se conectan en paralelo y b) ¿cuál es la variación de la energía?

Ejercicio 4.6

R) a) Vi1 = 20 V ; Vi2 = 10 V b) DU= 100.4 mJ

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Ejercicio 4 7

Las placas de un capacitor de placas paralelas están separadas 1 mm. ¿para que diferencia de potencial la densidad de la energía será 1.8 *10-4 J/m3?

Ejercicio 4.7

R) V = 6.83 V

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Ejercicio 4 8

Un capacitor de placas paralelas lleno de aire tiene una capacitancia de 1.32 PF, la separación de las placas se duplica y entre ellas se inserta cera. La nueva capacitancia es de 2.57 PF. Determine la constante dieléctrica de la cera

Ejercicio 4.8

R) k = 3.89

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Ejercicio 4 9

Consideremos que tenemos un capacitor de placas paralelas de área A y separadas una distancia d, introducimos en paralelo dos dieléctricos de constante dieléctrica k1 y k2, cada uno de estos ocupan una área A/2 y una distancia d/2, se introduce luego un tercer dieléctrico de constante dieléctrica k3 en serie con los anteriores y llena por completo el capacitor.

a) ¿cuál es la nueva capacitancia del capacitor? b) Si un dieléctrico es vidrio pyrex de constante dieléctrica k1 = 5.6, el otro dieléctrico es teflón de constante dieléctrica k2 = 2.1 , el tercero es papel de constante dieléctrica 3.7, el área de las placas de 10 cm2 y la separación entre las placas es de 2 cm ¿cuál es la capacitancia del capacitor?

Ejercicio 4.9

R) a) Ce = (2e0*A / d)*((k1+ k2) k3) / (k1+ k2 + 2k3) y b) Ce = 1.67 PF

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Ejercicio 4 10

Un dipolo eléctrico, que consta de dos cargas de 5 nC de diferente signo están separadas 20 mm dentro de un campo eléctrico uniforme de 500 N/C. a) ¿cuál es la magnitud del momento dipolar eléctrico?. b) ¿cuál es la diferencia de energía potencial correspondiente a las orientaciones paralela y antiparalela del campo?.

Ejercicio 4.10

R) a) P = 100 *10-12 Cm y b) W = -DU = -1 *10-7 J

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4 13 solucionarlo

4.13 Solucionarlo

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S 4 1

-

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+

+

+

d

S 4.1

a) La diferencia de potencial; V = Ed = 24 V b) La capacitancia; Q = VC, entonces, C = Q/V = 2.5 nF c) el área, como C = e0*A / d, entonces, A= C*d / e0 = 0.226 m22 = 2261.95 cm2d) Como la placas es cuadrada; A = L2, entonces, L = ÖA = 47.6 cm

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S 4 2

b

a

+Q

-Q

C = 2pe0 L / Ln (b /a)

S 4.2

Como la capacitancia de un capacitor cilíndrico es: C = 2pe0 L / Ln(b /a) = Q / V 2pe0 / Ln (b /a) = (Q/L) / V = l / V V(2pe0) / l = Ln(b/a) ; exp(V (2pe0) / l) = b / a por tanto: b = a exp(V (2pe0) / l) = 1.45 mm

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S 4 3

-Q

a

b

+Q

C = a*b / (K (b – a))

S 4.3

Como la capacitancia de un capacitor esférico es: C = {a*b / (K (b – a)) = Q / V, entonces, Q = V (a*b / (K (b – a))) = 800 PF = 800 *10-12 F

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S 4 4

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1mF

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+

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4mF

12mF

2mF

2mF

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3mF

100 V

S 4.4

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1mF

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4mF

12mF

2mF

2mF

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+

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3mF

100 V

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Universidad autonoma de colombia

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+

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1.2mF

6mF

100 V

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1.0mF

100 V

100 V 100mC

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1.2mF

6mF

100 V

100mC 83.33V

100mC 16.67V

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1mF

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4mF

12mF

2mF

2mF

-

-

+

+

3mF

100 V

16.67V 16.67mC

100mC 50V

100mC 25V

100mC 8.33V

16.67V 33.34mC

16.67V 50.01mC

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S 4 5

e

C1

C2

S 4.5

La carga inicial Q1i = VC1 = 80 mC

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e

C1

C2

Cuando el capacitar C1 se desconecta de la batería y se une en paralelo al capacitar C2 que se encuentra descargado se produce una redistribución de carga, el C1 da parte de su carga (Q1i) a C2, sea Q2 la carga que recibe C2.

Como en paralelo los voltajes son idénticos para cada capacitor V1 = V2,entonces,(Q1i – Q2) / C1 = Q2 / C2\ Q2 = Q1C2 / (C1 + C2) = 48 mC, como, V1 = (Q1i – Q2) / C1 = 8 V V2 = Q2 / C2 = 8 V

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S 4 6

2mF

3mF

6mF

30V

30V

S 4.6

La capacitancia equivalente; Ce = C1C2 / (C1+ C2) = 2 mF la carga; Qt = CeV = 60 mC La energía; Ut = ½Qt2 / Ce = 900 mJ

En serie la carga es la misma para cada capacitor entonces Qi1= Qi2 = Qt = 60 mC, Los voltajes son; Vi1= Qi1 / C1 = 20 V ; Vi2 = Qi2 / C2 = 10 V V = Vi1 + Vi2 = 30 V La energía en cada capacitor es Ui1 = ½Qi12 / C1 = 600 mJ ; Ui2 = ½Qi22 / C2 = 300 mJ Ut = Ui1 + Ui2 = 900 mJ

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3mF

6mF

En paralelo el capacitor de mayor capacitancia adquiere mayor carga, por tanto, C1 tiene que cederle una cantidad de carga (Q) a C2 y los dos capacitores quedan al mismo voltaje V1f = V2f.

(Qt – Q) / C1 = (Qt – Q) / C2, entonces, Q = Qt (C2 – C1) / (C2 + C1) = 20 mC, por tanto, Q1f = (Qt – Q) = 40 mC ; Q2f = (Qt + Q) = 80 mC V1f = Q1f / C1= 13.33 V ; V2f = Q2f / C2 = 13.33 V U1f = ½V1f2 C1= 266.53 mJ y U2f = ½V2f2 C2 = 533.07 mJ Uf = U1f + U2f = 799.6 mJ La variación de la energía; DU = Ui - Uf = (900 - 799.6) mJ DU= 100.4 mJ

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S 4 7

S 4.7

La densidad de energía en la unidad de volumen es UE = ½eoE2, entonces, E = Ö(2 UE /eo) = 6380.83 V/m, como, V = Ed = d Ö(2U/eo) = 6.83 V

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S 4 8

S 4.8

La capacitancia del capacitor con aire es; Co = e0*A / d La capacitancia del capacitor con dieléctrico es; C = k*e0*A / (2d) dividiendo las dos ecuaciones Co / C =(e0*A/d) / {k*e0*A / (2d)}, entonces, Co / C = 2 /k, por tanto, k = 2C / Co = 3.89

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S 4 9

A

d

k3

k1

k2

S 4.9

C1 = k1 (e0*A/2) / (d/2) ; C2 = k2 (e0*A/2) / (d/2)C3 = k3(e0*A) / (d/2) = k3 2e0*A / d C12 = k1 (e0*A/2) / (d/2) + k2 (e0*A/2) / (d/2)C12 = (e0*A / d) * (k1+ k2)

Ce = {(e0*A / d)(k1+ k2) * k3 2e0*A / d } / {(e0*A / d)(k1+ k2) + k3 2e0*A / d } Ce = (2e0*A / d)*((k1+ k2) k3) / (k1+ k2 + 2k3) = 1.67 PF

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S 10

a) P = Qd = 5 *10-9 C * 20E-3 m = 100 *10-12 C-m b) W = -DU = -{U(q) -U(q0)} = - PE (Cos q – Cos q0) W = -DU = - PE (Cos 0 – Cos 180) W = -DU = -1 *10-7 J

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