Gazdaságstatisztika

1. Gazdaságstatisztika Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák II. 17. előadás

2. χ2 -próbák alkalmazásai Mi ezekkelfoglalkozunk. • Teljes eseményrendszer valószínűségeinek tesztelése • Illeszkedésvizsgálatok • Tiszta • Becsléses • Homogenitásvizsgálat • Függetlenségvizsgálat

3. Döntési elv χ2 -próbák esetén Illeszkedésvizsgálat esetén: f(2) P(2szám< 2krit()|H0 igaz) = 1-  =  DF   =1-  2 szám 2 szám 2 2 krit 

4. Homogenitásvizsgálat χ2 -próbával • Homogenitásvizsgálat segítségével eldönthetjük, hogy két valószínűségi változó azonos eloszlásúnak tekinthető-e. • H0: a vizsgált valószínűségi változók azonos eloszlásúak • H1: a vizsgált valószínűségi változók nem azonos eloszlásúak • A közösnek feltételezett eloszlásfüggvényre nincs kikötés • Az adatokat úgynevezett kontingencia táblázatba rendezzük • A kontingencia táblázat cellái tartalmazzák • A tapasztalati gyakoriságokat, a bal felső sarokban; a számított elméleti gyakoriságokat, a jobb alsó sarokban • Döntési elv: H0-át elfogadjuk, ha 2szám ≤2krit; egyébként H0-át elvetjük. r: a sorok száma fi· : az i-edik sor peremgyakorisága (sorösszege) f·j : a j-edik oszlop peremgyakorisága (oszlopösszege) N: minta elemszáma Fij : az elméleti gyakoriságok DF = r-1 

5. Homogenitásvizsgálat χ2 -próbávalKontingencia táblázat f1· Perem-gyakoriságok f ·1 f ·2 

6. Homogenitásvizsgálat a “szakácskönyvben” Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálatχ2-próbával H0: F=F0 Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálatχ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σn Függetlenségvizsgálatχ2-próbával H0: ξésηfüggetlen Egymintás próbák Kétmintás próbák Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékére Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzetére Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1 = σ2

7. Példa1 Az engedéllyel rendelkező budai és pesti virágárusok közül egymástól függetlenül egy-egy mintát vettek a virágárak vizsgálata céljából. A két mintába került árusoktól - többek között - a rózsa szálankénti árát is megkérdezték. Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten annak a hipotézisnek a helyességét, hogy a rózsaárak nagyság szerinti eloszlása a budai és pesti virágárusok körében azonos. Az adatokat a következő táblázat tartalmazza. 1Forrás: Hunyadi – Vita: Statisztika közgazdászoknak, KSH, Budapest, 2002 

8. Példa (adatok) 

9. Példa - megoldás H0: Fbudai= Gpesti n1=72 n2=84 r =7 DF= r-1= 6  = 0,01 2 krit= 16,8 

10. Példa - megoldás Fij = ? Pl.: F11 = 72·8/156 = 3,69 F21 = 72·28/156 = 12,92 2 szám= (3-3,69)2/3,69 + 0.111 + 6.375 + 5.465 + 0.115 + 0.099 + 0.157 + 0.135 + 2.327 + 1.995 + 0.260 + 0.223 + 0.776 + 0.665 =18.831 Következtetés: 1%-os szignifikancia szint mellett elvetjük azt a hipotézist, hogy a rózsaárak nagyság szerinti eloszlása a budai és pesti virágárusok körében azonos. 

11. Homogenistásvizsgálat χ2 -próbávalKapcsolódó feladat • A Gazdaságstatisztika példatárban • VII. Hipotézisvizsgálatok • Nemparaméteres próbák • 4. feladat

12. Függetlenségvizsgálat χ2 -próbával • Két minősítő ismérv között van-e sztochasztikus kapcsolat? • Diszkért, azaz minősítéses, illetve csoportosított (kategorizált) folytonos változók közötti kapcsolat vizsgálatára alkalmas a függetlenségvizsgálat χ2 –próbával • A hipotézsiek: • H0: a két változó független • H1: a két változó nem független • A próba végrehajtása hasonló a homogenitásvizsálathoz • DF=(r-1)(s-1), ahol r a kontingencia táblázat sorainak, s pedig az oszlopainak száma • Döntési elv: H0-át elfogadjuk, ha 2szám≤2krit; egyébként H0-át elvetjük. 

13. Függetlenségvizsgálat a “szakácskönyvben” Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálatχ2-próbával H0: F=F0 Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálatχ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σn Függetlenségvizsgálatχ2-próbával H0: ξésηfüggetlen Egymintás próbák Kétmintás próbák Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékére Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzetére Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1 = σ2

14. Példa1 Egy szociológiai vizsgálatban a mintába került személyektől megkérdezték a saját és szüleik iskolai végzettségét. A megkérdezettek és az apjuk iskolai végzettsége közötti összefüggést a következő táblázat tartalmazza.Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten, azt a nullhipotézist, hogy a megkérdezettek és apjuk iskolai végzettsége független egymástól. * Forrás: Hunyadi – Vita: Statisztika közgazdászoknak, KSH, Budapest, 2002 

15. Példa (adatok) 

16. Példa - megoldás H0: a megkérdezettek iskolai végzettsége független apjuk iskolai végzettségétől N = 2723 r =4 s = 4 Elméleti értékek: Pl.: F11 = 462·1435/2723 = 244 F21 = 462·438/2723 = 74 : F12 = 644·1435/2723 = 339 F22 = 644·438/2723 = 104 : DF= (r-1)(s-1) = 9  = 0,01 2 krit= 21,7 2 szám= 710,4 

17. Példa - megoldás 

18. Minőségi ismérvek asszociációja • A minőségi ismérvek között kapcsolat szorossága a minőségi ismérvek közötti asszociációval vizsgálható • Cramer-féle asszociációs együttható • 0 és 1 közötti értéket vesz fel. • Minél közelebb esik 1-hez, annál szorosabb a kapcsolat q = min(r,s) N = 2723 2 = 710,4 r = s = 4  q = 4 

19. Példa (*) A csokoládé, a vanília és az eper-fagylaltok iránti preferenciát vizsgálták kisiskolások körében. 4 korcsoportban, összesen 289 kisiskolástól kérdezték meg, hogy melyik fagylaltok kedveli a leginkább. A felmérés eredményét a következő táblázat összegzi. Feltételezhető-e, hogy a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától?

20. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálatχ2-próbával H0: F=F0 Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálatχ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálatχ2-próbával H0: ξésηfüggetlen Egymintás próbák Kétmintás próbák Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékére Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzetére Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

21. Példa (*) - megoldás r = 3; s = 4; DF = (3-1)*(4-1) = 6 χ20,05= 12,592  = 5% F11= 148*50/289 = 25,606 F21= 44*50/289 = 7,612 … F34=97*29/289=9,734 χ2sz ≤χ20,05 =>a nullhipotézis elfogadható: a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától. f1· f2· f3· f·1 f·2 f·3 f·4

22. Homogenistásvizsgálat χ2 -próbávalKapcsolódó feladatok • A Gazdaságstatisztika példatárban • VII. Hipotézisvizsgálatok • Nemparaméteres próbák • 3. és 6. feladatok