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数学模型. 1.3 数学建模能力的培养. 数学建模与解一般数学题是有很大差别的，它没有固定的模式和程序，没有若干条普遍适用的建模准则和技巧，在很大程度上数学建模的创造是一种艺术， 经验、想象力、判断力、洞察力以及直觉和灵感等在数学建模中的作用往往比一些具体的数学知识更大。学习数学建模的方法通常采用案例学习法，即从一个个具体的建模案例中去体会、揣摩、学习如何应用各种数学方法去建立模型。. 初学数学建模的学生，面对一个个实际问题，往往会感到无从下手，这就需要学生亲自动手多做一些数学建模的练习，积累经验，逐步提高数学建模能力。在本课程的学习过程中，学生应注意培养如下几个建模基本能力：.
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数学模型 1.3 数学建模能力的培养 数学建模与解一般数学题是有很大差别的，它没有固定的模式和程序，没有若干条普遍适用的建模准则和技巧，在很大程度上数学建模的创造是一种艺术， 经验、想象力、判断力、洞察力以及直觉和灵感等在数学建模中的作用往往比一些具体的数学知识更大。学习数学建模的方法通常采用案例学习法，即从一个个具体的建模案例中去体会、揣摩、学习如何应用各种数学方法去建立模型。 初学数学建模的学生，面对一个个实际问题，往往会感到无从下手，这就需要学生亲自动手多做一些数学建模的练习，积累经验，逐步提高数学建模能力。在本课程的学习过程中，学生应注意培养如下几个建模基本能力：
数学模型 • 、双向“翻译”能力。其含义是，一方面能够将实际问题用数学的语言表达出来，另一方面是能够将数学模型的解再翻译成实际问题的语言。比如，你面临的是一个经济问题，你首先就要将它转化为数学问题，建立模型求出解后再给出解的经济意义。 ［例２］（平稳的椅子） 【问题】张明与伙伴一道，带一方凳去校露天电影场看电影，由于场地不是很平，他第一次将方凳放在地上时只有三个凳脚着地。问题来了：在起伏不平的地面上，张明同学能将他的方凳放稳从而安心地看电影吗？ 【分析】此问题涉及到两个方面：一是地面，如果太过于凹凸不平（例如悬崖峭壁）显然是无法放平方凳的；二是方凳，其四条腿应一样长，否则长短不一的四条凳腿你如何能将其放平？因此我们有必要对问题的前提作一合理的假定。其次，我们还应寻找出一个变量，将这一实际问题转化为数学问题，注意到三点共面，总有三个凳脚同时着地，我们可将四个凳脚与地面的距离作为考虑的对象。
数学模型 【建模与求解】 假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 则问题转化为：在一光滑曲面上，能否任意找出共面的四点构成一正方形？ 如图二进制建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 记 H 为脚A,C 与地面距离之和， G为脚B,D 与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角， 不妨设H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?) Y X 令 f(θ) = H(θ) - G(θ) 则f是θ的连续函数,且 f(0)=H(0)>0 将方凳旋转 90°,则由对称性知H(π/2)=0, G(π/2)=H(0) 从而 f(π/2)= -H(0) < 0 由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使 f(θ) = 0 即 H(θ) - G(θ) = 0,但 H(θ) 与 G(θ) 非负且至少有一为0，故 H(θ) = G(θ) = 0 。用日常语言来说就是：只要将方凳适当地旋转一个小于90°的角度，即可将其放平。
数学模型 本题解决问题的关键是：建立恰当的坐标系，利用旋转巧妙地将一个表面上与数学毫无关系的问题转化为一数学问题并给出了证明。你从中得到了什么启发？如果将方凳换为条凳，结论还成立吗？ ２．想象力。指人们在原有知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新的形象。类比与联想是建模中常常使用的思维方法，如将交通流与水流进行类比，传染病的扩散与生物种群的增长相类比等等。建模中可大胆想象，小心求证。 【例３】（动物的身材） 【问题】假如你现在某一生猪收购站实习，站长希望你帮助他能够从生猪的身长（头尾不算）估计出它的体重来。 【分析】一种办法是对一批生猪（数量要足够多）一一记录下它们的身长与体重，然后用统计的办法找出身长与体重的关系。现在我们希望不仅得到生猪身长与体重的关系，而且得到对所有四足动物都适用的估计公式，这就要另辟途径了。如果我们对动物的生理结构进行生物学上的复杂研究，将很难得到有使用价值的模型来。其实，体重与体积成正比，体积与身长有什么关系？另外请想象一下，动物的四足支撑着的躯干，象不象一根圆的横梁？
数学模型 【假设】 1.四足动物的躯干是一圆柱体，设长为l,直径d,横断面积s；（简化假设） 2. 躯干是一支撑在四肢上的弹性梁，在体重f 的作用下其最大下垂度（挠度）为b；（类比假设） 3. 对同一种动物而言，躯干的相对挠度b/l是一常数。（生物进化假设，b/l太大将导致四肢无法支撑，太小则是一种浪费） 【建模】因为体重f与体积v成正比，而v = sl =π(d/2)2 l ,所以 (1) (2) 我们的目标是找出f与l的比例关系，下面只需先找出d与l的关系即可。 由假设2及弹性梁的理论，挠度与梁的重量及长度的立方成正比，与梁的横断面积及直径的平方与反比，故有 (2) 图三 四足动物躯干示意图
数学模型 但 ，所以 (3) 再由假设3，b/l为常数，从而l3/d2亦为常数，可得 (4) 将(4)代入(1)即得 (5) 即四足动物的体重与身长的4次方成正比。其比例系数仍需由统计数据确定。 ３．发散思维与跳跃思维方式。有一些问题表面上看起来似乎很难下手或计算极为困难，但如果改变一下思维方式，从其他角度去考虑，往往会有出人意料的效果。
数学模型 【例４】兄妹两人分别在离家２千米和１千米且方向相反的两所学校上校，每天同时放学后分别以４千米／小时和２千米／小时的速度步行回家。一小狗以６千米／小时的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？ 【分析与求解】对于第一问，普通的想法是先算小狗第一次从男孩奔向女孩所跑的路程s1，然后计算小狗从女孩奔向男孩所跑的路程s2，再算男孩第二次奔向女孩所跑的路程s3，……，则小狗总共跑的路程为：s1+s2+s3+……。但计算起来却非常麻烦。事实上有一很简单的算法：小狗奔跑的时间等于兄妹两人各自回到家所需的时间即0.5小时，从而小狗奔波了0.5*6=3千米路程。 对于第二问，普通的想法是无法求解的。正确的结论是小狗可以在两校之间的任一位置上。解决的思路是：反过来思考，不管小狗在何处，当兄妹两人同时从各自的学校放学回到家时，处于他们中间的小狗必然也回到了家。这一事实可用数学的语言证明如下：
数学模型 如图以家为原点建立坐标系， 分别用b,g,d代表男孩，女孩和小狗， 同时用b(t),g(t),d(t)分别代表在t时刻 男孩、女孩和小狗的坐标，则有 b(0)=-2,g(0)=1, -2≤d(0)≤1, 且 b(t)≤d(t)≤g(t) 当t→0.5时b(t)→0,g(t)→0, 故由极限的两边夹法则即知： lim d(t) =0，证毕。 ４．应用计算机解决数学问题的能力。计算机技术的飞速发展，为在现代社会的各个领域中应用数学方法解决实际问题提供了工具与可能。有很多问题尽管已经建立了数学模型，但是如果不用计算机还是无法解决的，或者在短时间内是解决不了的。这就要求读者掌握一些常用的数学软件使用方法以及基本的计算机编程能力。实例将在本书后面的章节中介绍。 ５．洞察力。即能够从纷纭复杂的现象中迅速抓住问题的关键所在，去伪存真，去粗存精，找到建立模型的方法与途径，当然，这是建立在充分占有资料的基础之上的。洞察力不是在短时期内可以学会的，它必须经过持之以恒的建模实践而逐渐形成，是我们努力的目标。
