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Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz

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Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz. Processamento Digital de Imagens. Módulo III. Processamento no. Domínio da Freqüência. Carga Horária: 60 horas. Roteiro. 7 Processamento no Domínio da Freqüência Introdução Séries de Fourier Transformada de Fourier

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
prof jos eust quio rangel de queiroz
Prof:José Eustáquio Rangel de Queiroz

Processamento Digital de Imagens

Módulo III

Processamento no

Domínio da Freqüência

Carga Horária:60 horas

slide2

Roteiro

7 Processamento no Domínio da Freqüência

  • Introdução
  • Séries de Fourier
  • Transformada de Fourier
  • Filtragem no Domínio da Freqüência
fun o e transformada
Função e Transformada
  • Função
    • Regra para a obtenção de um resultado y sendo dada alguma entrada x
  • Transformada
    • Regra para a obtenção de uma funçãoF a partir de outra f
      • Explicitação de propriedades relevantes de f
      • Representação mais compacta de f
fun o peri dica
Função Periódica

f(t)

f(t1)

t1

t1+P

t

P

  • Definição
    • f(t) é periódica se existir P tal que

f(t+P) = f(t)

  • Período de uma função  Menor constante P que satisfaz a condição f(t+P) = f(t)
atributos de uma fun o peri dica i
Atributos de uma Função Periódica I
  • Amplitude (A)
    • Valor máximo de f(t) em qualquer período
  • Período (P)
    • Intervalo de tempo no qual a função assume todos os valores possíveis e volta a se repetir
atributos de uma fun o peri dica ii
Atributos de uma Função Periódica II
  • Freqüência (1/P)
    • Número de repetições da função na unidade de tempo (1 ciclo/s = 1 Hertz)
  • Fase ()
    • Posição da função dentro de um período
atributos de uma fun o peri dica iii
Atributos de uma Função Periódica III

f(t)

A

t1+P

t1

t

P

  • Representação gráfica
jean baptiste joseph fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier
  • 21/03/1768  Auxerre, França

1807  On the Propagation of Heat in Solid Bodies (Séries de Fourier)

16/05/1830  Paris

analogia f sico matem tica
Analogia Físico-Matemática
  • Prisma x Transformada de Fourier

Função no domínio espacial

f(x)

Luz branca decomposta

em diferentes 

F(M-1)

Feixe de luz branca



F(2)

F(1)

F(0)

Função decomposta em diferentes 

Transformada de Fourier

tempo e freq ncia i
Tempo e Freqüência I
  • Exemplo 01 I
    • h(t) = sen(2ft) +1/3sen(6ft)

f(t)

g(t)

h(t)

f(t)

h(t)= f(t) +g(t)

1

g(t)

1/3

t

1/3 P

P

tempo e freq ncia ii
Tempo e Freqüência II

F(f)

1

1/3

0

f

2f

3f

f

  • Exemplo 01 - Aproximação com 2 harmônicos ímpares
    • f(t) = sen(2ft) +1/3sen(6ft)

g(t)

h(t)

tempo e freq ncia iii
Tempo e Freqüência III
  • Exemplo 02 - Aproximação com 6 harmônicos
tempo e freq ncia iv
Tempo e Freqüência IV

A

Forma de Onda

Amplitude

Espectro

Freqüência

  • Forma de Onda  Valor instantâneo em função do tempo
  • Espectro  Amplitude em função da freqüência
tempo e freq ncia v
Tempo e Freqüência V
  • Forma da função distante de uma forma de onda regular
    • Expansão de Fourier incluirá um número infinito de componentes de freqüência
dom nio da freq ncia
Domínio da Freqüência
  • Espectro do domínio da freqüência  Faixa de freqüências
  • Largura de faixa do domínio da freqüência  Largura do espectro
  • Componente DC  Componente de freqüência zero
  • Componentes AC  Todas as demais componentes
s ries de fourier i
Séries de Fourier I
  • Séries de Fourier
    • Séries trigonométricas infinitas formadas por senos e/ou co-senos
    • Seja a expressão
s ries de fourier ii
Séries de Fourier II
  • Séries de Fourier
    • No conjunto de pontos nos quais a expressão converge  Definição de uma função f, cujos valores em cada x é a soma da série para aquele valor de x
      • Série de Fourier de f
s ries de fourier iii
Séries de Fourier III
  • Periodicidade das funções seno e co-seno I
    • Função periódica com período T > 0
      • Domínio de fcontém (x+T) sempre que contiver x e

T Período fundamental

      • Se T é um período de f 2T também o é, como qualquer múltiplo inteiro de T
s ries de fourier iv
Séries de Fourier IV
  • Periodicidade das funções seno e co-seno II
    • Em particular,

sen [(mx)/T]

e

cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,

são periódicas com período fundamental T = 2L/m

s ries de fourier v
Séries de Fourier V
  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno II
    • Duas funções u e v são ditas ortogonais em  ≤ x ≤  se seu produto interno é nulo, i.e., se
s ries de fourier vi
Séries de Fourier VI
  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno III
    • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L.
      • Seja

u(x) = v(x) = sen [(mx)/T]

então:

s ries de fourier vii
Séries de Fourier VII
  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno IV
    • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L.
      • Seja

u(x) = v(x) = cos [(mx)/T]

então:

s ries de fourier viii
Séries de Fourier VIII
  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno V
    • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L.
      • Seja

u(x) = sen [(mx)/T]

e

v(x) = cos [(mx)/T]

então:

s ries de fourier ix
Séries de Fourier IX
  • Supondo que uma série da forma

converge e

  • Considerando as propriedades de ortogonalidade apresentadas, conclui-se que:

e

s ries de fourier x
Séries de Fourier X
  • Funções Pares e Impares
    • f é uma função par se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(x) = f(-x) para cada x do domínio de f.
    • Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(-x) = -f(x) para cada x do domínio de f.
s ries de fourier xi
Séries de Fourier XI
  • Propriedades Elementares I
    • A soma/diferença e o produto/ quociente de duas funções pares é par.
    • A soma/diferença de duas funções ímpares é ímpar, enquanto o produto/quociente de duas funções ímpares é par.
    • A soma/diferença de uma função par e uma função ímparnão é par nem ímpar, enquanto o produto/quociente é ímpar .
s ries de fourier xii
Séries de Fourier XII
  • Propriedades Elementares II
    • Se f é uma função par, então
    • Se f é uma função ímpar, então
s ries de fourier xiii
Séries de Fourier XIII
  • Propriedades Elementares III
    • Como conseqüência das Propriedades 4 e 5, os coeficientes de Fourier de f no caso do co-seno (par) são dados por

e

s ries de fourier xiv
Séries de Fourier XIV
  • Propriedades Elementares IV
    • Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por

e

Então, a série de Fourier será dada por

s ries de fourier xv
Séries de Fourier XV
  • Propriedades Elementares V
    • Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por

e

Então, a série de Fourier será dada por

transformada de fourier i
Transformada de Fourier I
  • Fato
    • Possibilidade de representação de qualquer sinal periódico como uma soma de ondas senoidais e cossenoidais com freqüências harmônicas
      • Se a freqüência fundamental de uma função for f Harmônicas serão funções com freqüências nf (ninteiro)
transformada de fourier ii
Transformada de Fourier II

e

it

=

cos

t

+

isen

t

Im

i

wt

Re

1

  • Fórmula de Euler I

Vetor Rotativo (Fasor)

eiwt é periódico

|eiwt| = 1

Freqüências negativas:

Rotação na direção oposta

transformada de fourier iii
Transformada de Fourier III

Ak

cos

k

t

+

sen

k

t

Bk

½

cos

t

=

(eiwt

+

e-iwt)

Ak

Ak

eikwt

e-ikwt

=

+

2

2

sen

t

=

(eiwt

-

e-iwt)

Bk

Bk

eikwt

e-ikwt

-

+

½

Ck

eikwt

C-k

e-ikwt

+

=

(Ak

-

iBk), k>0

Ck

=

2

2

½

=

(A|k|

-

iB|k|), k<0

Ck

  • Fórmula de Euler II
transformada de fourier iv
Transformada de Fourier IV

1

¥

ò

f

(

t

)

=

F

(

)

[cos

t

+

isen

t

]

d

2

p

-

¥

e

it

=

cos

t

+

isen

t

1

¥

ò

f

(

t

)

=

F

(

)

e

it

d

2

p

-

¥

  • Possibilidade de representação funções não periódicas como somatórios de funções senoidais e cossenoidais de (possivelmente) todas as freqüências
transformada de fourier v
Transformada de Fourier V

Á

[

f

(

t

)

]

1

¥

¥

=

F

(

)

=

f

(

t

)

e

-it

dt

ò

ò

f

(

t

)

=

F

(

)

e

it

d

2

p

-

-

¥

¥

  • F()Espectro da função f(x)
    • Distribuição de freqüências presentes na função
    • Computação a partir def(x)mediante a Transformada deFourier
transformada de fourier vi
Transformada de Fourier VI

1,5

f(x)

1,3

1,1

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-0,1

x

-0,3

-0,5

1/2

Á

ò

[

f

(

t

)

]

=

1

e

-it

dt

=

=

F

(

)

=

f

(

t

)

e

-it

dt

-

1/2

p

sen

f

-1

=

=

-i/2

i/2

(e

- e

)

p

iw

f

w

¥

ò

f

=

p

2

-

¥

  • Exemplo 02 I – Função box

1

1,

x

£

2

f

(

x

)

=

1

0,

x

>

2

transformada de fourier vii
Transformada de Fourier VII

F()

1,5

1,3

=

sinc

f

1,1

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-6

-4

-2

2

4

6

-0,1

-0,3

p

sen

f

-0,5

w

F

(

)

=

p

f

  • Exemplo 02 I – Função box
transformada de fourier viii
Transformada de Fourier VIII

1,5

f(x)

1,3

1,

x

= 0

ì

1,1

ï

0,9

f

(

x

)

=

p

0,7

í

sen

f

0,5

, x

≠ 0

ï

0,3

p

î

f

0,1

-0,1

x

-0,3

-0,5

p

(

)

¥

ò

sen

f

w

F()

1,5

F

(

)

=

e

-it

d

f

=

p

1,3

f

p

2

1,1

-

¥

0,9

0,7

1

1,

x

£

0,5

0,3

2

f

(

x

)

=

0,1

1

0,

x

>

-0,1

2

-0,3

-0,5

  • Exemplo 03 – Função sinc
transformada de fourier ix
Transformada de Fourier IX
  • Exemplo 04 – Função coswx

F()

f(x)

1

0

x

-1

1

-1

Se f(x) for par F() também será par

transformada de fourier x
Transformada de Fourier X

F()

f(x)

1

-1

0

x

1

-1

-

  • Exemplo 04 – Função senwx

Se f(x) for ímpar F() também será ímpar

transformada de fourier xi
Transformada de Fourier XI

f(x)

k

0

x

  • Exemplo 05 – Função constante

F()

2k

0

Função  na origem

Se f(x) for constante F() só conterá a componente de freqüência 0

transformada de fourier xii
Transformada de Fourier XII

f(x)

F()

1/2

1

0

x

0

  • Exemplo 06 – Função impulso unitário

A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra

transformada de fourier xiii
Transformada de Fourier XIII

g(x)

f(x)

1

1

-4T

-3T

-2T

-T

0

T

2T

3T

4T

x

0

x

  • Exemplo 07 I – Função comb

A função comb é uma seqüência infinita de impulsos d uniformemente distribuídos no tempo (ou espaço)

transformada de fourier xiv
Transformada de Fourier XIV

f(x)

1

-4T

-3T

-2T

-T

0

T

2T

3T

4T

x

F()

Á(

2

(- 2n/T)

2/T

(x)) =

comb

comb

comb

comb

T

T

T

T

n =

n =

-

-

n =

n =

-

-

Á(

(x)) =2/Tcomb2/T ()

comb

comb

comb

comb

T

T

T

T

- 2/ T

0

2/T

  • Exemplo 07 II – Função comb

A transformada de Fourier de uma função comb é também uma função comb

transformada de fourier xv
Transformada de Fourier XV

2

x

-

1

2

e

2

p

  • Exemplo 08 – Função gaussiana

f(x)

F()

0,18

0,18

0,13

0,13

0,08

0,08

0,03

0,03

0

x

0

-0,02

-0,02

A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra

transformada de fourier xvi
Transformada de Fourier XVI
  • Propriedades Qualitativas
    • Espectro de uma função  Quantidade relativa de altas e baixas freqüências
      • Aguçamento de bordas  Realce de freqüências altas
      • Suavização de regiões  Realce de freqüências baixas
    • Função limitada em faixaEspectro sem freqüências acima de um limite máximo
      • Exemplos  Funções seno e cosseno
      • Contra-exemplos  Funções box e gaussiana
transformada de fourier xvii
Transformada de Fourier XVII
  • Imagens  Funções 2D discretas
  • Transformada de Fourier 2D  Uso do produto de senos e cossenos
  • Transformada de Fourier de uma imagem discreta  Possibilidade de armazenamento no mesmo espaço de armazenamento da imagem
  • Algoritmo Numérico  Computação de transformadas discretas a partir da Transformada Rápida de Fourier (FFT)
slide48

Transformada Contínua de Fourier I

¥

iwx

-2

p

ò

Á

w

F

(

)

=

f(x)e

dx

=

(

f

(

x

))

x

=

¥

iwx

2

p

-

1

ò

F(w)e

dw

Á

w

f

(

x

)

=

=

(

F

(

))

u

=

  • Transformada Contínua 1D

Transformada 1D

Transformada Inversa 1D

slide49

Transformada Contínua de Fourier II

¥

¥

i(wx+y)

-2

p

ò

ò

Á

w,

F

(

)

=

f(x,y)e

dxdy

=

(

f

(

x,y

))

¥

¥

-

1

i(wx+y)

2

p

ò

ò

Á

w,

F

(

)e

f

(

x,y

)

=

dwd

w,

(

F

(

))

=

  • Transformada Contínua 2D

Transformada 2D

Transformada Inversa 2D

slide50

Transformada Discreta de Fourier I

  • Sinais Discretos

Função discreta f :

{ f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }

slide51

Transformada Discreta de Fourier II

N-1

N-1

2

p

iwx/N

-2

p

iwx/N

1

N

f

(

x

)

=

F(w)e

F

(

u

)

=

f(x)e

w

=

0

x

=

0

  • Transformada Discreta 1D

Transformada 1D

w = 0, 1, 2, ..., N-1

Transformada Inversa 1D

x = 0, 1, 2, ..., N-1

slide52

Transformada Discreta de Fourier III

N-1

M-1

-2

p

i(wx/N+y/M)

1

M

1

N

F

(

w,

)

=

f(x,y)e

x

=

0

y

=

0

N-1

M-1

2

p

i(wx/N+y/M)

f

(

x,y

)

=

F(w,)e

w

=

0

=

0

  • Transformada Discreta 2D

Transformada 2D

w = 0, 1, 2, ..., N-1

 = 0, 1, 2, ..., M-1

Transformada Inversa 2D

x = 0, 1, 2, ..., N-1

y = 0, 1, 2, ..., M-1

slide53

Transformada Discreta de Fourier III

  • Transformada Discreta 2D – Nota Prática
    • Consideração de xij como uma matriz
    • Possibilidade de computação da DFT 2D
      • Computação da transformada 1D em todas as linhas da imagem (seguida da)
      • Computação da transformada 1D em todas as colunas da imagem

Resultado similar com a inversão do processo de computação da transformada 1D

slide54

Propriedades da FT I

Á

af(x,y) + bg(x,y)  aF(w, ) + bG(w, )

  • Linearidade I

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w, )

slide55

Propriedades da FT II

Á

af(x,y) + bg(x,y)  aF(w,) + bG(w,)

  • Linearidade

cqd

slide56

Propriedades da FT III

  • Escalamento ou Ampliação

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w,)

Á

g(ax,by)  1/|ab|G(w/a,/b)

slide57

Propriedades da FT IV

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w,)

  • Deslocamento

Á

f(x-a,y-b)  F(w,)e-i2(aw+b)

slide58

Propriedades da FT V

  • Separabilidade

f(x,y) = f1(x)f2(y)

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

f1(x)f2(y)  F1(w)F2() = F(w,)

Á

f1(x)  F1(w)

Á

f2(y)  F2()

slide59

Propriedades da FT VI

Á

f(xcos +ysen, -xsen +ycos)  F1(wcos  +sen, -wsen + cos)

  • Invariância da Rotação
slide60

Propriedades da FT VII

¥

¥

ò

ò

f(,)

g(x-,y-)

dd ⇔ F(w,)G(w,)

  • Convolução

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w,)

dft bidimensional i
DFT Bidimensional I
  • DFT Direta e Inversa 2D I

para u=0, 1, 2, ..., M-1, v=0, 1, 2, ..., N-1 e

dft bidimensional ii
DFT Bidimensional II
  • DFT Direta e Inversa 2D II
    • f(x,y) representa as amostras da função f(x0+xx,y0+y  y), para x=0, 1, 2, ..., M-1, e y=0, 1, 2, ..., N-1
    • Aplica-se o mesmo a F(u,v)
    • Os incrementos nas amostras em ambos os domínios estão relacionados por

e

dft bidimensional iii
DFT Bidimensional III
  • DFT Direta e Inversa 2D III
    • f(x,y) é sempre considerada uma função real de dimensão 2, tipicamente uma imagem.
    • F(u.v) é, em geral, uma função complexa.
dft bidimensional iv
DFT Bidimensional IV
  • DFT Direta e Inversa 2D IV
    • Espectro de Potência de f(x,y)
senos e cossenos 2d i
Senos e Cossenos 2D I

cos[2 (x,0)]

sen[2 (0,y)]

sen[2 (x,0)]

cos[2(0,y)]

  • Exemplo 03
    • Normalização para ajuste ao intervalo [0:1]
senos e cossenos 2d ii
Senos e Cossenos 2D II

cos[2 (5x,2y)]

sen[2 (3x,-5y)]

sen[2 (-3x,6y)]

cos[2(3x,4y)]

  • Exemplo 04
    • Normalização para ajuste ao intervalo [0:1]
transla o
Translação

e

  • Exemplo 06

Origem

Transformada com origem no centro da matriz

Imagem

original

Transformada

sem deslocamento

rota o
Rotação
  • Uso de coordenadas polares
    • f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, )

Imagem original

Espectros

Imagem rotacionada

visualiza o da ft em 2d i
Visualização da FT em 2D I
  • Visualização usual como uma função de intensidade
    • Facilidade de visualização

ondecé uma constante arbitrária.

visualiza o da ft em 2d ii
Visualização da FT em 2D II

|F(u,v)|

D(u,v)

  • Exemplo 07
filtragem no dom nio da freq ncia i
Filtragem no Domínio da Freqüência I
  • Relações Espaço × Freqüência

Imagem microscópica de um circuito integrado

Imagem

Transformada de Fourier

  • Características:
  • Incrustações de óxido
  • Bordas a ±45º
filtragem no dom nio da freq ncia
Filtragem no Domínio da Freqüência

H(u,v)

3

1

4

Transformada

Inversa de Fourier

Transformada

de Fourier

X

Parte Real

2

f(x,y)

F(u,v)

G(u,v)

g(x,y)

Domínio da

Freqüência

Domínio do Espaço

filtragem no dom nio da freq ncia1
Filtragem no Domínio da Freqüência
  • Processo de Filtragem no Domínio da Freqüência
    • Multiplica-se a imagem por (-1)x+y para centrar a origem das freqüências;
    • Calcula-se F(u,v), i.e, a DFT da imagem;
    • Multiplica-se a F(u,v) pela função filtro F(u,v);
    • Calcula-se a transformada inversa;
    • Obtém-se a parte real do resultado de (4);
    • Multiplica-se o resultado em (5) por (-1)x+y.
filtros b sicos i
Filtros Básicos I

Imagem Original

Imagem filtrada

  • Notch I
filtros b sicos ii
Filtros Básicos II
  • Notch II
    • Valores negativos:
      • Imagens são restritas a valores positivos e para visualização são convertidas para a faixa de 0 a 255;
      • Removendo-se onível médio, obtém-se valores negativos;
      • Valores negativos no slide anterior foram convertidos para0;
filtros b sicos iii
Filtros Básicos III
  • Notch III
    • Visualização de uma imagem com valores negativos no MATLAB
      • Uso deimshow

imshow(img, [low high])

filtros b sicos iv
Filtros Básicos IV

Função de Transferência

Imagem resultante

  • Passa-Baixas
    • Uniformização de grandes regiões
      • Efeito de “borramento” da imagem
filtros b sicos v
Filtros Básicos V

Origem

Função de Transferência

Imagem resultante

  • Passa-Altas
    • Ênfase de detalhes finos (e.g., bordas, textura)
      • Efeito de “aguçamento” da imagem
filtros b sicos vi
Filtros Básicos VI

H(u, v)

H(u, v)

1

v

u

v

D0

D(u, v)

u

Função de Transferência

Espectro

  • Passa-Baixas Ideal I

Freqüência de Corte

filtros b sicos vii
Filtros Básicos VII
  • Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 08

Imagem 500×500 pixels

Saída FPBI, raio=5

Saída FPBI, raio=15

Saída FPBI, raio=30

Saída FPBI, raio=80

Saída FPBI, raio=230

filtros b sicos viii
Filtros Básicos VIII
  • Passa-Baixas Butterworth I

Grau

Freqüência de Corte

filtros b sicos ix
Filtros Básicos IX
  • Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 09

Imagem 500×500 pixels

Saída FPBI, raio=5

Saída FPBI, raio=15

Saída FPBI, raio=30

Saída FPBI, raio=80

Saída FPBI, raio=230

filtros b sicos x
Filtros Básicos X
  • Passa-Baixas Gaussiano I

Freqüência de Corte

Abertura

filtros b sicos xi
Filtros Básicos XI
  • Passa-Baixas Gaussiano II – Exemplo 10

Imagem 500×500 pixels

Saída FPBI, raio=5

Saída FPBI, raio=15

Saída FPBI, raio=30

Saída FPBI, raio=80

Saída FPBI, raio=230

filtros b sicos xii
Filtros Básicos XII
  • Passa-Altas I

Hfpai=1-Hfpbi

Hfpab=1-Hfpbb

Hfpag=1-Hfpbg

filtros b sicos xiii
Filtros Básicos XIII

D0 = 15 D0 = 30 D0 = 80

Passa-altas Ideal

Passa-altas Butterworth

Passa-altas Gaussiano

  • Passa-Altas II
slide88

José Eustáquio Rangel de Queiroz

Professor Adjunto DSC/UFCG

Site departamental:www.ufcg.edu.br/~rangel

E-mail: [email protected]

[email protected]

Fone: 1119/1120 Ramal 2214

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