Prof jos eust quio rangel de queiroz
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Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz. Processamento Digital de Imagens. Módulo III. Processamento no. Domínio da Freqüência. Carga Horária: 60 horas. Roteiro. 7Processamento no Domínio da Freqüência Introdução Séries de Fourier Transformada de Fourier

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Prof jos eust quio rangel de queiroz

Prof:José Eustáquio Rangel de Queiroz

Processamento Digital de Imagens

Módulo III

Processamento no

Domínio da Freqüência

Carga Horária:60 horas


Prof jos eust quio rangel de queiroz

Roteiro

7Processamento no Domínio da Freqüência

  • Introdução

  • Séries de Fourier

  • Transformada de Fourier

  • Filtragem no Domínio da Freqüência


Fun o e transformada

Função e Transformada

  • Função

    • Regra para a obtenção de um resultado y sendo dada alguma entrada x

  • Transformada

    • Regra para a obtenção de uma funçãoF a partir de outra f

      • Explicitação de propriedades relevantes de f

      • Representação mais compacta de f


Fun o peri dica

Função Periódica

f(t)

f(t1)

t1

t1+P

t

P

  • Definição

    • f(t) é periódica se existir P tal que

      f(t+P) = f(t)

  • Período de uma função  Menor constante P que satisfaz a condição f(t+P) = f(t)


Atributos de uma fun o peri dica i

Atributos de uma Função Periódica I

  • Amplitude (A)

    • Valor máximo de f(t) em qualquer período

  • Período (P)

    • Intervalo de tempo no qual a função assume todos os valores possíveis e volta a se repetir


Atributos de uma fun o peri dica ii

Atributos de uma Função Periódica II

  • Freqüência (1/P)

    • Número de repetições da função na unidade de tempo (1 ciclo/s = 1 Hertz)

  • Fase ()

    • Posição da função dentro de um período


Atributos de uma fun o peri dica iii

Atributos de uma Função Periódica III

f(t)

A

t1+P

t1

t

P

  • Representação gráfica


Jean baptiste joseph fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier

  • 21/03/1768  Auxerre, França

    1807  On the Propagation of Heat in Solid Bodies (Séries de Fourier)

    16/05/1830  Paris


Analogia f sico matem tica

Analogia Físico-Matemática

  • Prisma x Transformada de Fourier

Função no domínio espacial

f(x)

Luz branca decomposta

em diferentes 

F(M-1)

Feixe de luz branca



F(2)

F(1)

F(0)

Função decomposta em diferentes 

Transformada de Fourier


Tempo e freq ncia i

Tempo e Freqüência I

  • Exemplo 01 I

    • h(t) = sen(2ft) +1/3sen(6ft)

f(t)

g(t)

h(t)

f(t)

h(t)= f(t) +g(t)

1

g(t)

1/3

t

1/3 P

P


Tempo e freq ncia ii

Tempo e Freqüência II

F(f)

1

1/3

0

f

2f

3f

f

  • Exemplo 01 - Aproximação com 2 harmônicos ímpares

    • f(t) = sen(2ft) +1/3sen(6ft)

g(t)

h(t)


Tempo e freq ncia iii

Tempo e Freqüência III

  • Exemplo 02 - Aproximação com 6 harmônicos


Tempo e freq ncia iv

Tempo e Freqüência IV

A

Forma de Onda

Amplitude

Espectro

Freqüência

  • Forma de Onda  Valor instantâneo em função do tempo

  • Espectro  Amplitude em função da freqüência


Tempo e freq ncia v

Tempo e Freqüência V

  • Forma da função distante de uma forma de onda regular

    • Expansão de Fourier incluirá um número infinito de componentes de freqüência


Dom nio da freq ncia

Domínio da Freqüência

  • Espectro do domínio da freqüência  Faixa de freqüências

  • Largura de faixa do domínio da freqüência  Largura do espectro

  • Componente DC  Componente de freqüência zero

  • Componentes AC  Todas as demais componentes


S ries de fourier i

Séries de Fourier I

  • Séries de Fourier

    • Séries trigonométricas infinitas formadas por senos e/ou co-senos

    • Seja a expressão


S ries de fourier ii

Séries de Fourier II

  • Séries de Fourier

    • No conjunto de pontos nos quais a expressão converge  Definição de uma função f, cujos valores em cada x é a soma da série para aquele valor de x

      • Série de Fourier de f


S ries de fourier iii

Séries de Fourier III

  • Periodicidade das funções seno e co-seno I

    • Função periódica com período T > 0

      • Domínio de fcontém (x+T) sempre que contiver x e

        T Período fundamental

      • Se T é um período de f 2T também o é, como qualquer múltiplo inteiro de T


S ries de fourier iv

Séries de Fourier IV

  • Periodicidade das funções seno e co-seno II

    • Em particular,

      sen [(mx)/T]

      e

      cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,

      são periódicas com período fundamental T = 2L/m


S ries de fourier v

Séries de Fourier V

  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno II

    • Duas funções u e v são ditas ortogonais em  ≤ x ≤  se seu produto interno é nulo, i.e., se


S ries de fourier vi

Séries de Fourier VI

  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno III

    • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L.

      • Seja

        u(x) = v(x) = sen [(mx)/T]

        então:


S ries de fourier vii

Séries de Fourier VII

  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno IV

    • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L.

      • Seja

        u(x) = v(x) = cos [(mx)/T]

        então:


S ries de fourier viii

Séries de Fourier VIII

  • Ortogonalidade das funções seno e co-seno V

    • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L.

      • Seja

        u(x) = sen [(mx)/T]

        e

        v(x) = cos [(mx)/T]

        então:


S ries de fourier ix

Séries de Fourier IX

  • Supondo que uma série da forma

    converge e

  • Considerando as propriedades de ortogonalidade apresentadas, conclui-se que:

    e


S ries de fourier x

Séries de Fourier X

  • Funções Pares e Impares

    • f é uma função par se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(x) = f(-x) para cada x do domínio de f.

    • Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(-x) = -f(x) para cada x do domínio de f.


S ries de fourier xi

Séries de Fourier XI

  • Propriedades Elementares I

    • A soma/diferença e o produto/ quociente de duas funções pares é par.

    • A soma/diferença de duas funções ímpares é ímpar, enquanto o produto/quociente de duas funções ímpares é par.

    • A soma/diferença de uma função par e uma função ímparnão é par nem ímpar, enquanto o produto/quociente é ímpar .


S ries de fourier xii

Séries de Fourier XII

  • Propriedades Elementares II

    • Se f é uma função par, então

    • Se f é uma função ímpar, então


S ries de fourier xiii

Séries de Fourier XIII

  • Propriedades Elementares III

    • Como conseqüência das Propriedades 4 e 5, os coeficientes de Fourier de f no caso do co-seno (par) são dados por

      e


S ries de fourier xiv

Séries de Fourier XIV

  • Propriedades Elementares IV

    • Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por

      e

      Então, a série de Fourier será dada por


S ries de fourier xv

Séries de Fourier XV

  • Propriedades Elementares V

    • Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por

      e

      Então, a série de Fourier será dada por


Transformada de fourier i

Transformada de Fourier I

  • Fato

    • Possibilidade de representação de qualquer sinal periódico como uma soma de ondas senoidais e cossenoidais com freqüências harmônicas

      • Se a freqüência fundamental de uma função for f Harmônicas serão funções com freqüências nf (ninteiro)


Transformada de fourier ii

Transformada de Fourier II

e

it

=

cos

t

+

isen

t

Im

i

wt

Re

1

  • Fórmula de Euler I

Vetor Rotativo (Fasor)

eiwt é periódico

|eiwt| = 1

Freqüências negativas:

Rotação na direção oposta


Transformada de fourier iii

Transformada de Fourier III

Ak

cos

k

t

+

sen

k

t

Bk

½

cos

t

=

(eiwt

+

e-iwt)

Ak

Ak

eikwt

e-ikwt

=

+

2

2

sen

t

=

(eiwt

-

e-iwt)

Bk

Bk

eikwt

e-ikwt

-

+

½

Ck

eikwt

C-k

e-ikwt

+

=

(Ak

-

iBk), k>0

Ck

=

2

2

½

=

(A|k|

-

iB|k|), k<0

Ck

  • Fórmula de Euler II


Transformada de fourier iv

Transformada de Fourier IV

1

¥

ò

f

(

t

)

=

F

(

)

[cos

t

+

isen

t

]

d

2

p

-

¥

e

it

=

cos

t

+

isen

t

1

¥

ò

f

(

t

)

=

F

(

)

e

it

d

2

p

-

¥

  • Possibilidade de representação funções não periódicas como somatórios de funções senoidais e cossenoidais de (possivelmente) todas as freqüências


Transformada de fourier v

Transformada de Fourier V

Á

[

f

(

t

)

]

1

¥

¥

=

F

(

)

=

f

(

t

)

e

-it

dt

ò

ò

f

(

t

)

=

F

(

)

e

it

d

2

p

-

-

¥

¥

  • F()Espectro da função f(x)

    • Distribuição de freqüências presentes na função

    • Computação a partir def(x)mediante a Transformada deFourier


Transformada de fourier vi

Transformada de Fourier VI

1,5

f(x)

1,3

1,1

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-0,1

x

-0,3

-0,5

1/2

Á

ò

[

f

(

t

)

]

=

1

e

-it

dt

=

=

F

(

)

=

f

(

t

)

e

-it

dt

-

1/2

p

sen

f

-1

=

=

-i/2

i/2

(e

- e

)

p

iw

f

w

¥

ò

f

=

p

2

-

¥

  • Exemplo 02 I – Função box

1

1,

x

£

2

f

(

x

)

=

1

0,

x

>

2


Transformada de fourier vii

Transformada de Fourier VII

F()

1,5

1,3

=

sinc

f

1,1

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

-6

-4

-2

2

4

6

-0,1

-0,3

p

sen

f

-0,5

w

F

(

)

=

p

f

  • Exemplo 02 I – Função box


Transformada de fourier viii

Transformada de Fourier VIII

1,5

f(x)

1,3

1,

x

= 0

ì

1,1

ï

0,9

f

(

x

)

=

p

0,7

í

sen

f

0,5

, x

≠ 0

ï

0,3

p

î

f

0,1

-0,1

x

-0,3

-0,5

p

(

)

¥

ò

sen

f

w

F()

1,5

F

(

)

=

e

-it

d

f

=

p

1,3

f

p

2

1,1

-

¥

0,9

0,7

1

1,

x

£

0,5

0,3

2

f

(

x

)

=

0,1

1

0,

x

>

-0,1

2

-0,3

-0,5

  • Exemplo 03 – Função sinc


Transformada de fourier ix

Transformada de Fourier IX

  • Exemplo 04 – Função coswx

F()

f(x)

1

0

x

-1

1

-1

Se f(x) for par F() também será par


Transformada de fourier x

Transformada de Fourier X

F()

f(x)

1

-1

0

x

1

-1

-

  • Exemplo 04 – Função senwx

Se f(x) for ímpar F() também será ímpar


Transformada de fourier xi

Transformada de Fourier XI

f(x)

k

0

x

  • Exemplo 05 – Função constante

F()

2k

0

Função  na origem

Se f(x) for constante F() só conterá a componente de freqüência 0


Transformada de fourier xii

Transformada de Fourier XII

f(x)

F()

1/2

1

0

x

0

  • Exemplo 06 – Função impulso unitário

A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra


Transformada de fourier xiii

Transformada de Fourier XIII

g(x)

f(x)

1

1

-4T

-3T

-2T

-T

0

T

2T

3T

4T

x

0

x

  • Exemplo 07 I – Função comb

A função comb é uma seqüência infinita de impulsos d uniformemente distribuídos no tempo (ou espaço)


Transformada de fourier xiv

Transformada de Fourier XIV

f(x)

1

-4T

-3T

-2T

-T

0

T

2T

3T

4T

x

F()

Á(

2

(- 2n/T)

2/T

(x)) =

comb

comb

comb

comb

T

T

T

T

n =

n =

-

-

n =

n =

-

-

Á(

(x)) =2/Tcomb2/T ()

comb

comb

comb

comb

T

T

T

T

- 2/ T

0

2/T

  • Exemplo 07 II – Função comb

A transformada de Fourier de uma função comb é também uma função comb


Transformada de fourier xv

Transformada de Fourier XV

2

x

-

1

2

e

2

p

  • Exemplo 08 – Função gaussiana

f(x)

F()

0,18

0,18

0,13

0,13

0,08

0,08

0,03

0,03

0

x

0

-0,02

-0,02

A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra


Transformada de fourier xvi

Transformada de Fourier XVI

  • Propriedades Qualitativas

    • Espectro de uma função  Quantidade relativa de altas e baixas freqüências

      • Aguçamento de bordas  Realce de freqüências altas

      • Suavização de regiões  Realce de freqüências baixas

    • Função limitada em faixaEspectro sem freqüências acima de um limite máximo

      • Exemplos  Funções seno e cosseno

      • Contra-exemplos  Funções box e gaussiana


Transformada de fourier xvii

Transformada de Fourier XVII

  • Imagens  Funções 2D discretas

  • Transformada de Fourier 2D  Uso do produto de senos e cossenos

  • Transformada de Fourier de uma imagem discreta  Possibilidade de armazenamento no mesmo espaço de armazenamento da imagem

  • Algoritmo Numérico  Computação de transformadas discretas a partir da Transformada Rápida de Fourier (FFT)


Prof jos eust quio rangel de queiroz

Transformada Contínua de Fourier I

¥

iwx

-2

p

ò

Á

w

F

(

)

=

f(x)e

dx

=

(

f

(

x

))

x

=

¥

iwx

2

p

-

1

ò

F(w)e

dw

Á

w

f

(

x

)

=

=

(

F

(

))

u

=

  • Transformada Contínua 1D

Transformada 1D

Transformada Inversa 1D


Prof jos eust quio rangel de queiroz

Transformada Contínua de Fourier II

¥

¥

i(wx+y)

-2

p

ò

ò

Á

w,

F

(

)

=

f(x,y)e

dxdy

=

(

f

(

x,y

))

¥

¥

-

1

i(wx+y)

2

p

ò

ò

Á

w,

F

(

)e

f

(

x,y

)

=

dwd

w,

(

F

(

))

=

  • Transformada Contínua 2D

Transformada 2D

Transformada Inversa 2D


Prof jos eust quio rangel de queiroz

Transformada Discreta de Fourier I

  • Sinais Discretos

Função discreta f :

{ f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }


Prof jos eust quio rangel de queiroz

Transformada Discreta de Fourier II

N-1

N-1

2

p

iwx/N

-2

p

iwx/N

1

N

f

(

x

)

=

F(w)e

F

(

u

)

=

f(x)e

w

=

0

x

=

0

  • Transformada Discreta 1D

Transformada 1D

w = 0, 1, 2, ..., N-1

Transformada Inversa 1D

x = 0, 1, 2, ..., N-1


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Transformada Discreta de Fourier III

N-1

M-1

-2

p

i(wx/N+y/M)

1

M

1

N

F

(

w,

)

=

f(x,y)e

x

=

0

y

=

0

N-1

M-1

2

p

i(wx/N+y/M)

f

(

x,y

)

=

F(w,)e

w

=

0

=

0

  • Transformada Discreta 2D

Transformada 2D

w = 0, 1, 2, ..., N-1

 = 0, 1, 2, ..., M-1

Transformada Inversa 2D

x = 0, 1, 2, ..., N-1

y = 0, 1, 2, ..., M-1


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Transformada Discreta de Fourier III

  • Transformada Discreta 2D – Nota Prática

    • Consideração de xij como uma matriz

    • Possibilidade de computação da DFT 2D

      • Computação da transformada 1D em todas as linhas da imagem (seguida da)

      • Computação da transformada 1D em todas as colunas da imagem

Resultado similar com a inversão do processo de computação da transformada 1D


Prof jos eust quio rangel de queiroz

Propriedades da FT I

Á

af(x,y) + bg(x,y)  aF(w, ) + bG(w, )

  • Linearidade I

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w, )


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Propriedades da FT II

Á

af(x,y) + bg(x,y)  aF(w,) + bG(w,)

  • Linearidade

cqd


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Propriedades da FT III

  • Escalamento ou Ampliação

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w,)

Á

g(ax,by)  1/|ab|G(w/a,/b)


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Propriedades da FT IV

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w,)

  • Deslocamento

Á

f(x-a,y-b)  F(w,)e-i2(aw+b)


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Propriedades da FT V

  • Separabilidade

f(x,y) = f1(x)f2(y)

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

f1(x)f2(y)  F1(w)F2() = F(w,)

Á

f1(x)  F1(w)

Á

f2(y)  F2()


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Propriedades da FT VI

Á

f(xcos +ysen, -xsen +ycos)  F1(wcos  +sen, -wsen + cos)

  • Invariância da Rotação


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Propriedades da FT VII

¥

¥

ò

ò

f(,)

g(x-,y-)

dd ⇔ F(w,)G(w,)

  • Convolução

Á

f(x,y)  F(w,)

Á

g(x,y)  G(w,)


Dft bidimensional i

DFT Bidimensional I

  • DFT Direta e Inversa 2D I

    para u=0, 1, 2, ..., M-1, v=0, 1, 2, ..., N-1 e


Dft bidimensional ii

DFT Bidimensional II

  • DFT Direta e Inversa 2D II

    • f(x,y) representa as amostras da função f(x0+xx,y0+y  y), para x=0, 1, 2, ..., M-1, e y=0, 1, 2, ..., N-1

    • Aplica-se o mesmo a F(u,v)

    • Os incrementos nas amostras em ambos os domínios estão relacionados por

      e


Dft bidimensional iii

DFT Bidimensional III

  • DFT Direta e Inversa 2D III

    • f(x,y) é sempre considerada uma função real de dimensão 2, tipicamente uma imagem.

    • F(u.v) é, em geral, uma função complexa.


Dft bidimensional iv

DFT Bidimensional IV

  • DFT Direta e Inversa 2D IV

    • Espectro de Potência de f(x,y)


Senos e cossenos 2d i

Senos e Cossenos 2D I

cos[2 (x,0)]

sen[2 (0,y)]

sen[2 (x,0)]

cos[2(0,y)]

  • Exemplo 03

    • Normalização para ajuste ao intervalo [0:1]


Senos e cossenos 2d ii

Senos e Cossenos 2D II

cos[2 (5x,2y)]

sen[2 (3x,-5y)]

sen[2 (-3x,6y)]

cos[2(3x,4y)]

  • Exemplo 04

    • Normalização para ajuste ao intervalo [0:1]


Periodicidade e simetria do conjugado

Periodicidade e Simetria do Conjugado

  • Exemplo 05


Transla o

Translação

e

  • Exemplo 06

Origem

Transformada com origem no centro da matriz

Imagem

original

Transformada

sem deslocamento


Rota o

Rotação

  • Uso de coordenadas polares

    • f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, )

Imagem original

Espectros

Imagem rotacionada


Visualiza o da ft em 2d i

Visualização da FT em 2D I

  • Visualização usual como uma função de intensidade

    • Facilidade de visualização

      ondecé uma constante arbitrária.


Visualiza o da ft em 2d ii

Visualização da FT em 2D II

|F(u,v)|

D(u,v)

  • Exemplo 07


Filtragem no dom nio da freq ncia i

Filtragem no Domínio da Freqüência I

  • Relações Espaço × Freqüência

Imagem microscópica de um circuito integrado

Imagem

Transformada de Fourier

  • Características:

  • Incrustações de óxido

  • Bordas a ±45º


Filtragem no dom nio da freq ncia

Filtragem no Domínio da Freqüência

H(u,v)

3

1

4

Transformada

Inversa de Fourier

Transformada

de Fourier

X

Parte Real

2

f(x,y)

F(u,v)

G(u,v)

g(x,y)

Domínio da

Freqüência

Domínio do Espaço


Filtragem no dom nio da freq ncia1

Filtragem no Domínio da Freqüência

  • Processo de Filtragem no Domínio da Freqüência

    • Multiplica-se a imagem por (-1)x+y para centrar a origem das freqüências;

    • Calcula-se F(u,v), i.e, a DFT da imagem;

    • Multiplica-se a F(u,v) pela função filtro F(u,v);

    • Calcula-se a transformada inversa;

    • Obtém-se a parte real do resultado de (4);

    • Multiplica-se o resultado em (5) por (-1)x+y.


Filtros b sicos i

Filtros Básicos I

Imagem Original

Imagem filtrada

  • Notch I


Filtros b sicos ii

Filtros Básicos II

  • Notch II

    • Valores negativos:

      • Imagens são restritas a valores positivos e para visualização são convertidas para a faixa de 0 a 255;

      • Removendo-se onível médio, obtém-se valores negativos;

      • Valores negativos no slide anterior foram convertidos para0;


Filtros b sicos iii

Filtros Básicos III

  • Notch III

    • Visualização de uma imagem com valores negativos no MATLAB

      • Uso deimshow

        imshow(img, [low high])


Filtros b sicos iv

Filtros Básicos IV

Função de Transferência

Imagem resultante

  • Passa-Baixas

    • Uniformização de grandes regiões

      • Efeito de “borramento” da imagem


Filtros b sicos v

Filtros Básicos V

Origem

Função de Transferência

Imagem resultante

  • Passa-Altas

    • Ênfase de detalhes finos (e.g., bordas, textura)

      • Efeito de “aguçamento” da imagem


Filtros b sicos vi

Filtros Básicos VI

H(u, v)

H(u, v)

1

v

u

v

D0

D(u, v)

u

Função de Transferência

Espectro

  • Passa-Baixas Ideal I

Freqüência de Corte


Filtros b sicos vii

Filtros Básicos VII

  • Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 08

Imagem 500×500 pixels

Saída FPBI, raio=5

Saída FPBI, raio=15

Saída FPBI, raio=30

Saída FPBI, raio=80

Saída FPBI, raio=230


Filtros b sicos viii

Filtros Básicos VIII

  • Passa-Baixas Butterworth I

Grau

Freqüência de Corte


Filtros b sicos ix

Filtros Básicos IX

  • Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 09

Imagem 500×500 pixels

Saída FPBI, raio=5

Saída FPBI, raio=15

Saída FPBI, raio=30

Saída FPBI, raio=80

Saída FPBI, raio=230


Filtros b sicos x

Filtros Básicos X

  • Passa-Baixas Gaussiano I

Freqüência de Corte

Abertura


Filtros b sicos xi

Filtros Básicos XI

  • Passa-Baixas Gaussiano II – Exemplo 10

Imagem 500×500 pixels

Saída FPBI, raio=5

Saída FPBI, raio=15

Saída FPBI, raio=30

Saída FPBI, raio=80

Saída FPBI, raio=230


Filtros b sicos xii

Filtros Básicos XII

  • Passa-Altas I

Hfpai=1-Hfpbi

Hfpab=1-Hfpbb

Hfpag=1-Hfpbg


Filtros b sicos xiii

Filtros Básicos XIII

D0 = 15 D0 = 30 D0 = 80

Passa-altas Ideal

Passa-altas Butterworth

Passa-altas Gaussiano

  • Passa-Altas II


Prof jos eust quio rangel de queiroz

José Eustáquio Rangel de Queiroz

Professor Adjunto DSC/UFCG

Site departamental:www.ufcg.edu.br/~rangel

E-mail: [email protected]

[email protected]

Fone: 1119/1120 Ramal 2214


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